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考空间向量的数量积性质的解题策略


浅谈高考空闻向量的 数量积性质的解题策略
张喜新疆乌鲁木齐市第41中学 犏要 一。一一 7—4”獬
O A B

作点B在l上的射影B’则而叫向量而在
轴l上或在;方向上的正射影,简称射影。 可以证明得,A'B’:I面I c0S c:,;>-;.;(证明 略,图如下所示。)

B,0口



教学活动要遵循内在规律,只有当一切外在 事实(知识)通过教师的主导作用,最后被主

体(学生)认识之后,这外在东西才会为主体
真正占有,这种转化只有在参与实践中才能 体会并重新构建、形成知识体系。我们的教材 中的好多知识表面上是孤立的,若我们的教 师在引领学生认知这些内容的同时,有“意 识”的揭示这种“知识链”,内化我们学生的 理解,让学生对知识的构建“水到渠成”,这 不失寿一种有效教学的好途径。



cAY30c=错OB=掣,此时oB,可以看
16I’“。…J。“1’1”’5

作是云与三方向上的单位向量;的数量积
此性质的内含理解有四点:


6’d其札=号),这就是由数量积这条性质
滋生而成的,故此结论重新可以理解为:

荚键词
数量积;向量;角度;距离

①结果是一个数量(本身含正负号),

②其正负号由向量幽P所成角的范围决
定l③加上绝对值l A'B’I=t—a.;1便是一条线

f..罢.I

。∞a:—I=盟(这里刚好满足三角函数中余


段长度(这里㈠B’I、I面I刚好组成一个直
作为新课程改革,高中数学教材的两 个显著变化就是“向量和导数”的引入。其 目的也很明确:为研究函数、空间图形,提 供新的研究手段,即充分体现它们的工具 性。但这种“工具性”,只有在深剔理解的 基础上才能用好,而要想用活,这又需要我 们在实践中不断“开发”新的认识,丰富知 识网络,形成较完善的“认知模块”、“知识 体系”。例如全日制普通高级中学教科书 《数学?第二册(下B)》P,,中,关于空间 向量的数量积有这样三条性质: (1)0一-;爿:J c05<G一,e>, (2)二上5§二.i:0, (3)
I二f2=二.二。

角三角形的两条直角边);④可以推广为求 一条线段在另一条直线上的正射影(此线 段所在直线与已知直线的位置关系可以异 面直线)。

弦的定义:邻边比斜边)。 1.2线面角o(o efo,告】)的求法的新认 识:
sinO=J

(二)性质的“知识链”
对教材引进空间向量的“坐标法”来 解决空间中“三大角”问题,我们的学生可 以i兑是欣喜若狂啊,因为学生觉得这种方 法好!可操作性强!(只要能建系,有坐标 就行!)但在实际应用中,学生觉得这些结 论不易理解,加上这些结论只能逐步形成 和完善,靠死记硬背吧,今天记了明天又忘 了!等到用时,仍是“生硬、呆板”,甚至 张冠李戴。如何突破这一问题?我认为其 根本原因是:在学生的认知结构里,这一性 质未能如愿地形成“知识链”。那么,这一 性质是怎样与相关问题产生“对接或联系” 的呢? (1)它是空间三大角(即线线角、线 面角、二面角的平面角)用向量法求解的 “对接点”。

一一[一PA.;f cos<PA∥I 2两而

(其中二为平面ft.的一个法向量),此

结论重新可以理黼豳8-篇=篇,
此时OP又可以看作是两在;上的投影, 即砀与二方向上的单位向量;的数量积


JP—A.!I
PA

雨.;,(其中.=羔),故sinO:—』生(这
l”l

作为“工具性”,性质(2)(3)比较 明显,会立即得到充分的应用。可是对于性 质(1),当时,在上新授课时我总认为:这 条性质没有什么“本质上”的用处,有点像

里刚好满足三角函数中正弦的定义:对边 比斜边)。

“房间里的摆设”——配角。但是随着时间
的推移,笔者发现了它的奥妙之处:在后继 的有关空间问题中的“三大角度”和“三大 基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无 穷的用途,并带来意想不到的“知识链”反 应,极大地丰富了关于空间向量的“数量 积”这一运算的“认知模块”的内涵。本文 便梳理和佐证这一认知,以飨读者。

1.1线线角a(a∈【o,刁)的求法的新认
识: 我们把这两条线赋予恰当的两个向量, 问题就化归为两个向量的夹角(两个向量 所成的角的范围为【0,丌】),即 1.3二面角的平面角e(0∈【0,丌】)的 求法的新认识:

(一)性质的产生与内含 已知向量面:;和轴l,;是1上与1同
方向的单位向量,作点A在l上的射影A’,

踟捆<一a,-刑箫{I踹f./,我1n能
J口¨D ¨口I

旧州c。6i)I=糕(其中
一nI

否加以重新认识这个公式呢?如图,

b-i—n2是两二面角所在平面的各一个法向

 

科技教育刽新

中国科技信息2008年第20期

CHINA SCIENCE

Am

TEGHNOLOGY

INFOflMATION Oct.2008

量)此结论重新可以理解为: 1百-一n2.I I西.!.I 。o I:些丝:—』=!LL(这里刚好满足三
I,,l 1n2

数量积砀?a其中;=喜I n1)。

值。即:d=|历?昙I nl{。
三大距离的统一理解:

角函数中余弦的定义:邻边比斜边)。

d=|两?—I呈Il(点面距)d=I历‘高I(异
I珂l

面距)、d={两‘斋l
2.2点线距求法的新认识 1)新认识之一: 如图,若存在有一条与l相交的直线 时,就可以先求出由这两条相交直线确定

(点线距之一)、

d2爿葡12一I葫12且f翻HPd’青I(点线距之
二)、其本质特征是:一个向量在其所求的 距离所在直线的一个向量上的投影,也即 数量积此性质的直接应用。 由上述的剖析过程不难再看出:空间 中的三大角与三大基本距离的计算,都隐

的平面的一个法向量二,则点P到l的距离

d爿葡.昙I
三大角的统一理解:

I刀l。


哪a:掣“。o一』、

l朋I

吐昙:l

藏于这个。特定”的数量积的性质之中,体 现在这个公式结构的“统一美”之中,把问 题的本质揭示得“淋漓尽致”,而又不失自 然!这给“立体几何”中向量的工具性的 体现,增色了几分美感与统一感!

I历.。!一l



I:型--n2:喧、
Inll n2I

(三)性质的应用
2)新认识之二: 若不存在有一条与l相交的直线时, 例1、(2005年山东省(理科)高考第 20题) 如图,已知长方体ABCD—A,B,C.D., AB=2,AA,=l,直线BD与平面AA,B.B 所成的角为30。,AE垂直BD于E,F为 A.B,的中点。

其从上述梳理完全可以看出其本质特 征:这里的“空间角”的求法,完全与直角 三角形中的三角函数的“正弦或余弦的定

我们可以先取l上的一个向量二,再利
用fJ口D产=|PAf2一IOAl2 来解, 即: d2刊葡12一l葫12,而数量O B可以理解为

义”发生了对接——对边或邻边就是斜边
的向量在此边向量上的投影,即斜边向量 与对边或邻边方向上的单位向量的数量积, 而理解与掌握这里的“空间角”的直角三角 形的构图,学生完全可以达到。系统化”和 “自主化”,因为直角三角形中的三角函数 定义,他们太熟悉r!即将知识的“生长 点”建立在学生认知水平的“最近发展区”, 那学习就会水到渠成! (2)它又是空间三大距离(即点线距、 点面距、异面直线间距离)用向量法求解的 。联系点”。 空间中有七大距离(除球面上两点间 的距离外)基本上可转化为点点距、点线 距、点面距,而点线距和点面距又是重中之 重!另外两异面直线间的距离,高考考纲

雨在l上的向量二的投影,也即为:

l葫I=I再瓤
2.3异面直线间距离求法的新认识 从这几年的高考《考纲说明》观察,我 们不难发现,对异面直线间距离的考查本 意不能太难,但若出现难一点的考题,命题 者又能自圆其说的新情况。实际上,这种自 圆其说法归根到底在于高考考纲中的说i’去 只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示 下的距离。那也就是说,在不要作出公垂线 (也许学生作不出)的情况下,也可以求出 它们的距离的,那就是用向量法。 如图所示:若直线l,与直线1,是两异 面直线,求两异面直线的距离。

中明确要求对于异面直线的距离,只要求
会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距 离。因此对异面直线间的距离的考查有着 特殊的身份。教材按排中引进了向量法来 解决距离问题,也给问题的解决带来新的 活力!不用作出(或找出)所求的距离了。 2.1点面距求法的新认识



//

i1


a=I—poi=i—I如e---i—PA

I掣:掣
J”ⅡPAl l"I



(其中二为平面Ot的一个法向量),此结论

略解在两直线上分别任取两点A、C、

B、D,构造三个向量牙,一'面,记与两直
线的公垂线共线的向量为;,则由

重新可以理解为:d={PA‘言I,即雨在二上
的投影,即两与二方向上的单位向量;的

由已知AB=2,AA。=l,可得A(O,0, 0),B(2,0,0),F(1,0,1),又AD上平面 AAlBlB,从而BD与平面AAlBlB所成的 角为么DBA=30。,又AB=2,AE上

万.二:o与历.二:0,得二,则它们的距离
就可以理解为:历在二上的投影的绝对

 

~236一



D,』£=1,一。=竽,从而易得

cc孚,一;m,c-c孚,;.o,,设£t孚忍。x
由删上EBI,得历.一EBI=0,BlJ

(II)当解0变化时,求直线BC与 平面VAB所成的角的取值范围. 解法1:(I)‘.’AC=BC=o【,.‘./kACB 是等腰三角形,又D是AB的中点,.‘.CD 上AB,又VC上底面ABC,.’.VC J-AB, 于是AB上平面VCD。 又
AB

£够2'2。]’D(0,劁
(I)因为磊=B,孚.。].丽=(-1,o,J)所以 一 …” c。s<万,而>:一AE‘丽BF=一-2BF 42=一鱼4,易知

-^

。=(一孚.鸭西_(-孚’2-口'o)=;+却-2)
=口2—2口十三, 得(口一三xn一吾)=。,即n=;或n=;(含去),

c平面删B’..平而FAB上平面VCD.

(II)过点C在平面VD内作CH上VD 于H,则由(I)知CH j-平面VAB.连接 BH,于是么CBH就是直线BC与平面VAB 所成的角。

异面直线AE、BF所成的角为arccos—"q-Z (II)易知平面AA.B的一个法向量

牡c譬,如
所以而=(o’o,压),j两=‘丁4i,一吾,一西


鬲=(o,l,o),设二=(x,Y,z)是平面BDF的一

在Rt△CHD中,CH=半asinO



个法向量,历:(一2,孳,o)
.一 fl j

丽历

哩一冰压 惰一∽哆

陀、

嘉r 潦




所以瞄c二,;滓鬲。斋=孚
即平面BDF与平面AA.B N成的:N

j殳;;--(x,Y,z)N㈣NABNBlE
都垂直,



i殳ZCBH=甲,iF.RtABHC‘{|,CH=asinQ,

角的大小(锐角)为arcc。s:掣
(III)点A到平面BDF的距离,即而
在平面BDF的法向量‘r/上的投影的绝对

.?.譬s|mo=s帅,-.Io<o<等,
.?.o<sin0 ct,。c

『_面:o

则1;.乖:o得,;=(打,】'o)(令y21),

s呻<譬.又os‘P≤≥,

值,所以距驴周‘争冒=孚所
l;Aff,,A到平面BDF的距离为半
例2、(2005年重庆(理科)高考第20 题)

故J爿石’南旧
(II)由已知有历上面,丽上面,故二
面角A—EB。一A.的两个半平面的法向量

.?.o<Q<;.
即直线BC与平面VAB所成角的取值

范围为(o,三).
解法2:(I)以CA.CB、cV所在的 直线分别为X轴、y轴、z轴,建立如图所 示的空间直角坐标系,则c(o,0,0),A(a,0,

为丽与一EA。 因否丽:葫;(o,o,扼),历:(一拿,一;。拒)'

鼢。;强:登:墨,
故。∞o;

o),B(o,a,o),D(詈,詈,o),乃=(鸭口,o).

些剑::』竺!:宰,
EAI IBIAI
√)

所以tafIo=警。
如图,在三棱柱ABC—A.B,C.中,AB j_侧面BB,C.C,E为棱CC.上异于C、C. 例3.(2007年湖北(理科)高考第18 题) 如图,在三棱锥V—ABC中,VC上底 面ABC,AC上BC,D是AB的中点,且
AC=BC=ol,Z

的一点,EA上EB.,已知AB=拒,BB.=2,


Be=l,么BCC.=i,求: (I)异面直线AB与EB.的距离; (Ⅱ)二面角A—EB,一A.的平面角 的正切值。

VDC=e(0<e‘孔

一AB"C—D_(-刚州器a'o)=一j1口'+

圭口2+o-o'日[JAB_LCD. 同理而-一VD=(-a,a,O).(詈.詈,一半a劬e)
:一-.-1122+妻口2+o:0, 2 2
(I)求证:平面VA B上V C D,


解:(I)以B为原点,面、丽分别为y,
z轴建立空间直角坐标系.由于BC=l,
'r

BB.=2,AB=压,么BCC。={,在三棱柱
ABC—A,B,C,中有

B(0,0,0),A(0,0,压), B。(0,2,0),A,(0,2,压)

下转第859页》一争

 

一237一

实现成效,关系到学生能否形成合理的知 识、能力和素质结构。因此,高职课程体系 必须打破按学科为本的结构框,紧紧围绕 高职教育的培养目标,以职业分类为依据, 面向职业岗位群的特征,紧随职场需求的 变化,整合原有课程内容,开发市场适应性 强的新课程。可借鉴崮外职业教育较为完 善的课程模式,如德围的双元制、流行北美 的CBE模式、澳大利亚的TAFE模式等等, 以推进课程体系改革。同时,要积极与企业 合作开发课程,根据技术领域和职业岗位 (群)的任职要求,参照相关的职业资格标 准,改革课程体系和教学内容,建立突出职 业能力培养的课程标准。 3、面向职业岗位要求,强化专业知识 技能训练 高职院校不仅要在专业培养目标中明 确专业知识和技能的重要地位,而且要明 确不同职业岗位的核心能力,组织相关教 师和聘请专家成立专I.J的培训队伍,对学 生进行专业知识和技能强化训练,满足用 人单位对专业知识与技能的需求。同时,加 快。双证并重”的制度建设。 4、更新教育思想,加强对学生综合素 质的培养 由于在教育思想上对高职教育所界定 的。技术应用”以及理论上的“必需、够用” 的原则理解片面、简单,容易造成重视专业 知识与技能而忽视学生综合素质的培养的 状况。为此,高职院校应从教育思想上提高 认识,并根据不同专业和岗位的特点,框定 一个综合素质培养计划,由专任教师负责 实施,努力把学生培养成一专多能的综合 性人才。高职学生多是在一线T作,他们的 工作环境需要他们具有较强的组织能力、 合作能力和与人沟通的能力以及解决现场 实际问题的能力。所以,敬业与责任心的培 养,日常行为的规范与遵守纪律的观念培 养,毅力与耐心的培养,协作与集体观念的 培养对高职学生也尤为莺要。 5、加强高职教育师资队伍建设 高等职业教育的任务越来越重,作用 越来越突出,它肩负着为生产、建设、管理、 服务等第一线培养高等技术应用性人才的 使命。这就要求我们与时俱进,开拓创新, 明确高等职业教育在整个高等教育中的性 质、地位、作用后,加大宣传力度,转变人 们鄙视高职教育的思想观念,尤其政府部 门除了加大投入外,还要为高职教育的健 康发展,创造良好的内外郎环境不断提高 全社会对高职教育的认识。拓宽。双师”素 质教师队伍的来源渠道,鼓励并帮助社会 上各行业中优秀人才到高职任教,充实教 师队伍,以适应教学的需要。同时制定科学 的师资培训,根据职业教育改革与发展对 师资的总体要求,改革培养师资的课程结 构及教学模式培养制度,突出职教特色。

参考文献

…。一。”…“一……”镁

一上接第254页 的知识体系,老师要肯定学生探索成功的 部分,并激励他们进一步探究新知。

[”王伟廉等,高等学校教学改革的理论研 究【M].昆明:云南教育出版衽.1995 [2]张萍.高职教育人才培养模式与文化基 础课程改革研究[D].西北师范大学.2005 鼻 [5]教育研究现阶段需要直面的问题.中国 教育报.2008一05—16 [4]郝克明,谈松华等.对21世纪我国教 育体系若干问题的初步探讨[J】.教育研究,
1 990

3.项目教学法的教学效果
项目教学法目的明确,充分调动了学 生学习的兴趣,在((Visual FoxPro程序设 计》课程的教学实践中,学生设计出信息管 理系统界面友好,功能齐备。对于学习的经 历和学,1的方法都为后续课程的学习打下 了坚实的基础。项目教学法通过将完整的 项目分解为小的单元任务,从而把知识难 点分解,更易于被学生接受掌握。层层递进 的项目任务激发了学生的学习热情。在情 感上使学生产生对计算机技术的敬佩感和 自己作为科学技术应用者的自豪感。随着 项目教学法的不断深入,相信培养出来的 各类人才,可以直接进入到企业的生产领 域,为企业带来直接的效益,提高r企业的 生产效率,创造更大的社会价值。

作者简介
工作及专业研究。



吴文贰男讲师1 965年出生主要从事教学

叫上接第255页
题。 学生在制作课件的过程中搜集了大量 的英文资料,大大提高了对英语的理解和 运用能力,同时各小组都想展示自己的计 算机专业知识,形成良好的竞争学风,这些 都是比英语知识本身更重要的。

参考文献

一‘一…一调

[1]张岚.高职教育中项目教学法的探讨. 中国冶金教育.2008年第1期 [2]杨才峰.大学基础课的任务驱动法教学 探究.河北广播电视大学学报.2008.1 [5]张奇.项目驱动式教学在《管理信息系 统》中的应用探讨.计算机教育.2007. [4]徐云晴.职校计算机语言类课程教学改 革的探索与思考.中小学电教.2007.11 作者简介
易慧女满族1 974年4月生辽宁辽阳人 讲师软件工程硕士主要研究数据库技术与 安全已发表过多篇论文。

四,结论
研究性学习激发了学生的探究精神和 进行语言实践的热情,也锻炼了学生搜集 信息的能力(搜集、筛选、澄清),组织信 息的能力(概括、分类、系统化),传递信 息的能力(讨论、撰写、官讲),为学生应 用现代技术手段提供了施展空间。在浩瀚 的信息资源中,学生们体验着探究的辛劳 和乐趣,实践着英语在真实情境中的运用, 正如学生所体会到的,在这样的学习过程 中,我们所提高的决不仅仅是英语听、说、 读、写的能力,更是计算机专业知识的延续 以及与英文知识的大融合。 实践证明,研究性学习是学习个体与 学习群体的学习活动相瓦结合的一种学习 方式,是教学主体与教学客体相互转化,相 互促进,共同完成以激活创新学习内容和 知识结构的一种教学模式。这种教学方式 将带给课堂一种全新的学习氛围,带给学 生一种蓬勃向上的学爿精神和愉悦的学习 心态,并将迅速、全面地提高学生的基本素 质,为学生今后走上社会终身学爿奠定了 良好的基础。



日☆上接第257页 AB上阳.又CDnVD=D一.AB上平面VCD. 又.4Bc平面蹦占. .’。平面VAB j-平面VCD。 (Ⅱ)设直线BC与平面VAB所成的角 为由,平面VAB的一个法向量为n=(x,Y, Z),

则由13?否:0,rt-历:0.
点评:本小题丰要考查线面关系、直 线与平面戍角的有关知识,考查空|’日J想象 能力和推理运算能力以及应用向量知识解 决数学问题的能力。

参考文献

‘…



[1 J王蔷.英语教学法教程.北京高等教育 出版社.2000 [2J应俊峰.研究性教程.天津教育出版社.
200{

f5】辜秋明.研究性学习在中等职校计算机 教学中的探索与实践.中国科技信息.2005 年1 5期

帮 参考文献 [1]2006年普通高等学校招生全国统一考 试大纲(理科.数学).高等教育出版社
[2]浙江省高考命题咨询委员们编著.浙 江省高考命题解析.数学.

 

浅淡高考空间向量的数量积性质的解题策略
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 被引用次数: 张喜 新疆乌鲁木齐市第41中学 中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2008,""(20) 0次

参考文献(2条) 1.2006年普通高等学校招生全国统一考试大纲(理科.数学) 2.浙江省高考命题咨询委员会 浙江省高考命题解析.数学

相似文献(10条) 1.期刊论文 杨震.YANG Zhen 用向量的数量积解决的问题 -遵义师范学院学报2006,8(4)
介绍了用向量的数量积解决垂直、解方程组、证明等式与不等式、求长度、求角、判断多边形形状、求参数的范围等问题的方法.

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4.期刊论文 罗奇.Luo Qi 向量在代数解题中的运用 -桂林师范高等专科学校学报2008,22(2)
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5.期刊论文 石永泉.代常友.SHI Yong-quan.DAI Chang-you 钻探方法确定岩体结构面产状 -中国地质灾害与防治 学报2007,18(1)
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6.期刊论文 杜汉华 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 -广东教育(教研版)2007,""(10)
教学目标 1.知识目标:掌握平面向量数量积的坐标表达式并灵活应用平面向量数量积公式;掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式;能运用数量 积表示两个向量的夹角,会用平面向量数量积判断两个平面向量的垂直关系:理解各公式的正向及逆向运用.

7.期刊论文 汤茂林 数量积在初等代数中的应用 -科技信息(科学·教研)2007,""(13)
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8.期刊论文 褚仕文 向量的数量积的应用 -中学数学杂志(高中版)2002,""(1)
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9.期刊论文 雷启富 对一个数量积性质的认识 -思茅师范高等专科学校学报2009,25(6)
教学活动要遵循内在的规律,只有当一切外在事实(知识)通过教师的主导作用,最后被主体(学生)认识后,这些外在东西才会为主体真正占有,这种转 化只有在实践中才能体会并重新构建、形成知识体系.高中数学教材中的许多知识表面上是孤立的,若教师在引领学生认识这些内容的同时,有"意识"的揭 示这种"知识链",内化学生的理解,让学生对知识的构建"水到渠成".这不失为一种有效教学的途径.

10.期刊论文 李孝生.LI Xiao-sheng 空间两向量的数量积公式在立几解题中的活力 -遵义师范学院学报2005,7(3)
在解答立体几何问题时,若能把立体几何问题转化为空间向量的运算,解答起来会收到事半功倍的效果.作者介绍了空间两向量的数量积公式在证明立 体几何中的线面中的位置关系及处理空间角和空间距离等问题中的方法和技巧.

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§6 空间向量的数量积(二)
江苏省涟水中学 2013-2014 高二数学教学案 § 6 空间向量的数量积(二)教学目的:1、掌握空间向量的数量积的坐标形式 2、会用向量的方法解决有关垂直、夹角、距离...
1.2空间向量的数量积(1)
教学难点:空间数量积计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 观察、思考、交流、讨论、小结。 3.2 空间向量的数量积(一)板书设计 1、空间向量数量积的性质:...
空间向量的数量积
向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律; 2.会用向量的方法...2014年注册会计师考试攻略 2013年注会经济法统考真题 2013年注会设计统考真题及答案...
3.空间向量数量积运算
何通海 审核人 刘新元 教学目标 1.掌握空间向量的数量积的定义及其几何意义; 2.掌握空间向量数量积的性质及其简单应用. 教学重点 教学难点 主要教具 教一、复习...
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