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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第1篇 第1讲 集合及其运算



第1讲 [学习目标]

集合及其运算

1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.

知 识 梳 理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或?表示. 2.集合间的基本关系 表示关系 相等 集合间的 基本关系 真子集 空集 子集 文字语言 集合 A 与集合 B 中的所有元素都相同 A 中任意一个元素均为 B 中的元素 A 中任意一个元素均为 B 中的元素,且 B 中至少有一个 元素不是 A 中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 符号语言 A=B A?B

?

3.集合的基本运算 集合的并集 图形 语言 符号 语言 A∪B={x|x∈A,或 x∈ A∩B={x|x∈A,且 x∈ B} B} ?UA={x|x∈U, 且 x?A} 集合的交集 集合的补集

辨 析 感 悟 1.元素与集合的辨别 (1)若{ 1}={0,1},则 x=0,1.(×) (2)含有 n 个元素的集合的子集个数是 2n,真子集个数是 2n-1,非空真子集的个 数是 2n-2.(√) (3)若 A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则 A∩B={x|x∈R}.(×) 2.对集合基本运算的辨别 (4)对于任意两个集合 A,B,关系(A∩B)?(A∪B)总成立.(√) (5)(2013· 浙江卷改编)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则(?RS)∪T ={x|-4≤x≤1}.(×) (6)(2013· 陕西卷改编)设全集为 R, 函数 f(x)= 1-x2的定义域为 M, 则?RM={x|x >1,或 x<-1}.(√) [感悟· 提升] 1.一点提醒 求集合的基本运算时,要认清集合元素的属性(是点集、数集或其

他情形)和化简集合,这是正确求解集合运算的两个先决条件.如第(3)题就是混 淆了数集与点集. 2.两个防范 一是忽视元素的互异性,如(1);

二是运算不准确, 尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心,如 (6). 3.集合的运算性质:①A∪B=B?A?B;②A∩B=A?A?B;③A∪(?UA)=U; ④A∩(?UA)=?.

考点一 【 【例 1】 】

集合的基本概念

【例 1】(1)(2013· 江西卷)若集合 A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则 a =( ). D.0 或 4

A.4 B.2 C.0

(2)(2013· 山东卷)已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个

数是(

). D.9

A.1 B.3 C.5

解析 (1)由 ax2+ax+1=0 只有一个实数解,可得当 a=0 时,方程无实数解; 当 a≠0 时,则 Δ=a2-4a=0,解得 a=4(a=0 不合题意舍去). (2)x-y∈{-2,-1,0,1,2}. 答案 (1)A (2)C 规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大,特别是含有字母 的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
? ? b 【训练 1】已知 a∈R,b∈R,若?a,a,1?={a2,a+b,0},则 a2 ? ?
014

+b2

014



________. b 解析 由已知得a=0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根 据集合中元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 014+b2 014=1. 答案 1 考点二 集合间的基本关系

【例 2】 (1)已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B?A,求 实数 m 的取值范围. (2)设 U=R, 集合 A={x|x2+3x+2=0}, B={x|x2+(m+1)x+m=0}. 若(?UA)∩B =?,求 m 的值. 审题路线 (1)分 B=?和 B≠?两种情况求解, 当 B≠?时, 应注意端点的取值. (2) 先求 A,再利用(?UA)∩B=??B?A,应对 B 分三种情况讨论. 解 (1)当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2. 当 B≠?时,若 B?A,如图.

?m+1≥-2, 则?2m-1≤7, ?m+1<2m-1,

解得 2<m≤4.

综上,m 的取值范围是(-∞,4]. (2)A={-2,-1},由(?UA)∩B=?,得 B?A, ∵方程 x2+(m+1)x+m=0 的判别式 Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?.

∴B={-1}或 B={-2}或 B={-1,-2}. ①若 B={-1},则 m=1; ②若 B={-2},则应有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且 m=(-2)· (-2)=4,这 两式不能同时成立, ∴B≠{-2}; ③若 B={-1,-2},则应有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且 m=(-1)· (-2) =2,由这两式得 m=2. 经检验知 m=1 和 m=2 符合条件.∴m=1 或 2. 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集 是否为空集进行分类讨论,做到不漏解. (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助 分析与求解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论. 【训练 2】(1)已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则 满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

(2)(2014· 郑州模拟)已知集合 A={-1,1},B={x|ax+1=0},若 B?A,则实数 a 的所有可能取值的集合为( ).

A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 解析 (1)由题意知: A={1,2}, B={1,2,3,4}. 又 A?C?B, 则集合 C 可能为{1,2}, {1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
? ? ? ? 1 ? 1 (2)a=0 时,B={x|1≠0}=??A;a≠0 时,B=?x?x=-a ??A,则-a=-1 或 ? ? ? ? ?

1 -a=1,故 a=0 或 a=1 或-1. 答案 (1)D (2)D 考点三 集合的基本运算

? ? ? ??1? ? 【例 3】(1)(2013· 湖北卷)已知全集为 R,集合 A=?x??2?x≤1 ?,B={x|x2-6x+ ? ?? ? ? ? ?

8≤0},则 A∩?RB=( A.{x|x≤0}

).

B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2,或 x>4} D.{x|0<x≤2,或 x≥4}

(2)(2014· 唐山模拟)若集合 M={y|y=3x},集合 S={x|y=lg(x-1)},则下列各式 正确的是( A.M∪S=M C.M=S ). B.M∪S=S

D.M∩S=?

? ?1? ? 解析 (1)A=?x|?2?x≤1?={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以?RB={x|x<2,或 x> ? ? ? ?

4},此时 A∩?RB={x|0≤x<2,或 x>4}. (2)M={y|y>0},S={x|x>1},故选 A. 答案 (1)C (2)A

规律方法 一般来讲,集合中的元素离散时,则用 Venn 图表示;集合中的元素是 连续的实数时,则用数轴表示,此时要注意端点的情况. 【训练 3】(1)已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ).

A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} (2)已知全集 U=R, 集合 A={x|-1≤x≤3}, 集合 B={x|log2(x-2)<1}, 则 A∩(?
UB)=________.

解析 (1)?UA={0,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. (2)由 log2(x-2)<1,得 0<x-2<2,2<x<4,所以 B={x|2<x<4}.故?UB= {x|x≤2,或 x≥4},从而 A∩(?UB)={x|-1≤x≤2}. 答案 (1)C (2){x|-1≤x≤2}

数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合 问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可 能地借助数轴、 直角坐标系或韦恩图等工具, 将抽象的代数问题具体化、 形象化、 直观化,然后利用数形结合的思想方法解决. 学生用书 第 3 页

创新突破 1——与集合有关的新概念问题 【典例】已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则 B 中 所含元素的个数为( ).

A.3 B.6 C.8 解析 法一(列表法)

D.10 因为 x∈A,y∈A,所以 x,y 的取值只能为 1,2,3,4,5,故 x,

y 及 x-y 的取值如下表所示: x x-y y 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 -1 0 1 2 3 -2 -1 0 1 2 -3 -2 -1 0 1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

由题意 x-y∈A,故 x-y 只能取 1,2,3,4,由表可知实数对(x,y)的取值满足条件 的共有 10 个,即 B 中的元素个数为 10,故选 D. 法二(直接法) 因为 A={1,2,3,4,5}, 所以集合 A 中的元素都为正数, 若 x-y∈A, 则必有 x-y>0,x>y. 当 y=1 时,x 可取 2,3,4,5,共有 4 个数; 当 y=2 时,x 可取 3,4,5,共有 3 个数; 当 y=3 时,x 可取 4,5,共有 2 个数; 当 y=4 时,x 只能取 5,共有 1 个数; 当 y=5 时,x 不能取任何值. 综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为 4+3+2+1=10. 答案 D [反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质, 紧扣新定 义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算. (2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命 题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的 是考生创造性解决问题的能力. 【自主体验】

1.(2013· 广东卷)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n}.令集合 S={(x,y,z)|x, y,z∈X,且三条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z, w,x)都在 S 中,则下列选项正确的是( A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S 解析 题目中 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一个成立说明 x,y,z 是互不相等 的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨取 x=1,y=2,z=3,w=4 满足题意, 且(2,3,4)∈S,(1,2,4)∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S 成立. 答案 B 2.(2013· 浙江部分重点中学调研)设 A 是整数集的一个非空子集,对于 k∈A,如 果 k-1?A, 且 k+1?A, 那么称 k 是 A 的一个“好元素”. 给定 S={1,2,3,4,5,6,7,8}, 由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有( A.6 个 B.12 个 C.9 个 D.5 个 ). ).

解析 依题意,可知由 S 的 3 个元素构成的所有集合中,不含“好元素”,则这 3 个元素一定是相连的 3 个数.故这样的集合共有 6 个. 答案 A

对应学生用书 P219 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知集合 A={x|x2-2x>0},B={x|- 5<x< 5}, 则( ). B.A∪B=R D.A?B

A.A∩B=? C.B?A

解析 集合 A={x|x>2,或 x<0},所以 A∪B={x|x>2,或 x<0}∪{x|- 5<x < 5}=R.

答案 B 2.(2013· 广东卷)设集合 S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则 S∩T=( ).

A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 解析 S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}. 答案 A 3.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集共有( A.2 个 C.6 个 B.4 个 D.8 个 ).

解析 P=M∩N={1,3},故 P 的子集共有 4 个. 答案 B 4.(2013· 辽宁卷)已知集合 A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则 A∩B=( A.(0,1) B.(0,2] ).

C.(1,2) D.(1,2] 解析 0<log4x<1, 即 log41<log4x<log44, ∴1<x<4, ∴集合 A={x|1<x<4}, ∴A∩B={x|1<x≤2}. 答案 D 5.设集合 A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为 ( ).

A.{x|x≥1}

B.{x|-4<x<2}

C.{x|-8<x<1} D.{x|1≤x<2} 解析 阴影部分是 A∩?RB.集合 A={x|-4<x<2}, ?RB={x|x≥1}, 所以 A∩?RB ={x|1≤x<2}. 答案 D 二、填空题 6.(2013· 江苏卷)集合{-1,0,1}共有________个子集. 解析 所给集合的子集个数为 23=8 个.

答案 8 7. 集合 A={0,2, a}, B={1, a2}, 若 A∪B={0,1,2,4,16}, 则 a 的值为________. 解析 根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是 a=4. 答案 4 8.集合 A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________. 解析 由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合 A 中的最小整数 为-3. 答案 -3 三、解答题 9.已知集合 A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若 A∩B={-3}, 求 A∪B. 解 由 A∩B={-3}知,-3∈B. 又 a2+1≥1,故只有 a-3,a-2 可能等于-3. ①当 a-3=-3 时,a=0,此时 A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1, -3}. 故 a=0 舍去. ②当 a-2=-3 时,a=-1, 此时 A={1,0,-3},B={-4,-3,2}, 满足 A∩B={-3},从而 A∪B={-4,-3,0,1,2}. 10.设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}, (1)若 B?A,求 a 的值; (2)若 A?B,求 a 的值. 解 (1)A={0,-4}, ①当 B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解得 a<-1; ②当 B 为单元素集时,a=-1,此时 B={0}符合题意; ③当 B=A 时,由根与系数的关系得: ?-2?a+1?=-4, ? 2 解得 a=1. ?a -1=0, 综上可知:a≤-1 或 a=1. (2)若 A?B,必有 A=B,由(1)知 a=1.

能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.若集合 A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的 个数为( ). D.2

A.5 B.4 C.3

解析 当 x=-1,y=0 时,z=-1;当 x=-1,y=2 时,z=1; 当 x=1,y=0 时,z=1;当 x=1,y=2 时,z=3.故 z 的值为-1,1,3,故所求集 合为{-1,1,3},共含有 3 个元素. 答案 C 2.(2013· 江西七校联考)设全集 U=R,集合 M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x< 2},则 N∩(?UM)=( A.{x|-2≤x<1} ). B.{x|0<x≤1}

C.{x|-1≤x≤1} D.{x|x<1} 解析 M={x|y=lg(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1,或 x<-1},所以?UM={x| -1≤x≤1},结合数轴易得 N∩(?UM)={x|0<x≤1}. 答案 B 二、填空题 3. 已知集合 A={x∈R||x+2|<3}, 集合 B={x∈R|(x-m)(x-2)<0}, 且 A∩B=(- 1,n),则 m=________,n=________. 解析 A={x|-5<x<1},因为 A∩B={x|-1<x<n},B={x|(x-m)(x-2)<0},所

以 m=-1,n=1. 答案 -1 三、解答题 4.已知集合 A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据 下列条件,求实数 a 的取值范围. (1)A∩B=A;(2)A∩B≠?. 解 因为集合 A 是函数 y=2x-1(0<x≤1)的值域,所以 A=(-1,1],B=(a,a +3). 1

?a≤-1, (1)A∩B=A?A?B?? ?a+3>1, 即-2<a≤-1,故当 A∩B=A 时,a 的取值范围是(-2,-1]. (2)当 A∩B=?时,结合数轴知,a≥1 或 a+3≤-1,即 a≥1 或 a≤-4. 故当 A∩B≠?时,a 的取值范围是(-4,1). 学生用书 第 3 页


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