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山东省2008-2013年普通高中学生学业水平考试数学会考试题及必备知识


2013 年高中数学会考复习必背知识点
2015/12/12 lw
第一章 集合与简易逻辑 第二章 函数 1、求 1、含 n 个元素的集合的所有子集有 2 个
?1
n

y ? f ( x) 的反函数:解出 x ? f

( y) , x, y 互换,写出 y ? f ?1 ( x) 的定义域; a

?1,


2、对数:①:负数和零没有对数,②:1 的对数等于 0: loga 1 ? 0 ,③:底的对数等于 1: loga ④:积的对数: loga (MN ) 幂的对数: loga 第三章 数列 1、数列的前 n 项和: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ; 数列前 n 项和与通项的关系: a n ? ?

? loga M ? loga N ,

商的对数: log a

M ? log a M ? log a N N

M n ? n loga M ; log a m b n ?

n log a b , m
?a1 ? S1 (n ? 1) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

2、等差数列 : (1) 、定义:等差数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数; (2)通项公式: an

? a1 ? (n ? 1)d

(其中首项是 a 1 ,公差是 d ; )

(3)前 n 项和:1. S n ?

n(n ? 1) n(a1 ? a n ) ? na1 ? d (整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数) 2 2

3、等比数列: (1 ) 、定义:等比数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, (q (2)通项公式: a n

? 0) 。

? a1q

n ?1

(其中:首项是 a 1 ,公比是 q )

na1 ,( q ? 1) ? ? a (1 ? q n ) (3)前 n 项和: S n ? ? a1 ? a n q ? 1 , (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
第四章 三角函数 1 弧度制: (1) 180
?

? ? 弧度,1 弧度 ? (

180

?

) ? ? 57 ?18 ' ;弧长公式: l ?| ? | r

( ? 是角的弧度数)

2、三角函数 (1) 、定义:

sin ? ?
3、

y x y x r r    cos? ?     t an? ?    cot? ?    sec ? ?    csc ? ? r r x y x y

特殊角的三角函数值

? 的角度 0? 30 ? 45 ? 60 ? 90 ? 120 ? 135 ? 150 ? 180 ? 270 ? 360 ? 5? ? ? ? 2? 3? 3? ? ? 的弧度 0 ? 2?
6 4 3 2 3 4

6

2

sin ?

0

1 2

2 2 2 2

3 2
1 2

1
0

3 2
?1 2

2 2

1 2

0

?1
0

0

cos?

1

3 2

? 2 ? 3 2 2

?1

1

tan?

0

3 3

1
2

3



? 3

4、同角三角函数基本关系式: sin

? ? cos2 ? ? 1

? 3 3 s i? n t a? n ? c o? s

?1

0



0

t a? n c o? t ?1

5、诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限) 正弦上为正;余弦右为正;正切一三为正 公式二: 公式三: 公式四: 公式五:

sin(180? ? ? ) ? sin ? cos(180? ? ? ) ? ? cos? tan( 180? ? ? ) ? ? tan?

s i n1(8 ? 0? ? ) ? ? s i n ? cos 1(8 ? 0? ? ) ? ? c o ? s t an 1 (8 ? 0? ? ) ? t a n ?
? cos? sin ? ? cos? sin ?

s i n? (? ) ? ? s i n ? c o s? (? ) ? c o ? s t a n?( ?) ? ? t a n ?

sin(360? ? ? ) ? ? sin ?   cos(360? ? ? ) ? cos?   tan( 360? ? ? ) ? ? tan?

6、两角和与差的正弦、余弦、正切 S (? ? ? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? S (? ?? ) : sin(? ? ? ) ? sin ? cos ?

C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? C(? ?? ) : cos(a ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
t an? ? t an ? T(? ? ? ) : t an( ? ? ?) ? 1 ? t an? t an ?

tan? ? tan ? T(? ? ? ) : tan( ? ? ?) ?
7、辅助角公式: a sin x ? b cos x

1 ? tan? tan ?

? ? a b ? a2 ? b2 ? sin x ? cos x ? ? 2 ? 2 2 2 a ?b ? a ?b ?

? a2 ? b2 (sin x ? cos? ? cos x ? sin ?) ? a2 ? b2 ? sin(x ? ?)
8、二倍角公式: (1) S 2? :

sin 2? ? 2 sin ? cos ?

C 2? : cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 T2? :
sin ? cos ? ? ta2 n? ? 2t a ? n 1? t a 2 n?

(2) 、降次公式: (多用于研究性质)

1 sin 2? 2 1 ? cos 2? 1 1 sin 2 ? ? ? ? cos 2? ? 2 2 2 1 ? cos 2 ? 1 1 cos 2 ? ? ? cos 2? ? 2 2 2
9、三角函数: 函数 定义域 值域 [-1 ,1] 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间
3? ?? ? ? 2 ? 2k? , 2 ? 2k? ? ? ?

y ? sin x

x?R

T ? 2?

? ? ? ? ? ? 2k? , ? 2k? ? ? 2 ? 2 ?

y ? cos x
函数

x?R
定义域

[-1 ,1] 值域 [-A ,A]

T ? 2?
振幅

偶函数

?(2k ? 1)? ,2k? ?
频率 相位

?2k? , (2k ? 1)? ?
初相 图象

周期

y ? A sin(?x ? ? ) x ? R

A

T ?

2?

?

f ?

1 ? ? T 2?

?x ? ?

?

五点法

10、解三角形: (1) 、三角形的面积公式: S ?

?

1 1 1 ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2

(2)正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R, 边用角表示: a ? 2 R sin A,  b ? 2 R sin B,c ? 2 R sin sin A sin B sin C
(3)余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? cos A b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac ? cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? (a ? b) 2 ? 2ab(1 ? cocC)
求角: cos A ? 第五章、平面向量 1、坐标运算:(1)设 a
?
?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2      cos B ?      cosC ? 2bc 2ac 2ab

? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? ,则 a ? b ? ?x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ?
? ?

?

?

?

数与向量的积:λ

a ? ? ?x1 , y1 ? ? ??x1 , ?y1 ?,数量积: a? b ? x1 x 2 ? y1 y 2
AB ? ?x2 ? x1 , y 2 ? y1 ? .(终点减起点)
2
?

(2)、设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2
(3)、平面向量的数量积:
? ?

;向量 a 的模| a |: | a |
? ?

? a ? a ? x2 ? y 2 ;
? ?

a? b ? a ? b cos? , 注意: 0? a ? 0 , 0 ? a ? 0 , a ? (?a) ? 0

? ?

(4)、向量 a

?

? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y 2 ? 的夹角 ?
? ?

?

,则 cos ?

?

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
?
2 2


2

x2 ? y 2

2

2、重要结论: (1)、两个向量平行: (2)、两个非零向量垂直 a
? ?

a// b ? a ? ? b (? ? R) , a// b ? x1 y 2 ? x2 y1 ? 0
,a
?

?

?

?

? b ? a? b ? 0

? ?

? b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

?

x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? 则定比分点坐标公式 ? y ? y ? 1 ? ?y 2 ? 1? ? ?



x ? x2 ? x? 1 ? 2 中点坐标公式 ? ? y ? y ? 1 ? y2 ? 2 ?

第六章:不等式 1、 均值不等式: (1) 、 (2) 、a>0,b>0; a ? b ?

a 2 ? b2 ? 2ab

( ab ?

a2 ? b2 ) 2
一正、二定、三相等

2 ab 或 ab ? (

a?b 2 ) 2

2、解指数、对数不等式的方法:同底法,同时对数的真数大于 0; 第七章:直线和圆的方程 1、斜 率: k

? tan ?

, k ? (??,??) ;直线上两点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y 2 ) ,则斜率为 k ?

(2) 、斜截式: y ? kx ? b ; y ? y1 ? k ( x ? x1 ) ; A C (3) 、一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为 0) 斜率 k ? ? , y 轴截距为 ? B B 2、直线方程: (1) 、点斜式: 3、两直线的位置关系 (1) 、平行: l1 // l 2

y 2 ? y1 x 2 ? x1

? k1 ? k 2且b1 ? b2

A1 B C ? 1 ? 1 时 , l1 // l 2 ; A2 B2 C2

垂直: k1 ? k 2 ? ?1 ? l1 ? l 2 (2) 、到角范围:

A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ? l1 ? l 2 ;

?0, ? ?
?
2 ]

到角公式 : t an? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0 k1、k 2 都存在, 1 ? k1k 2 ? 0

夹角范围: (0,

夹角公式: tan? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

(3) 、点到直线的距离公式 d ? 6、圆的方程: (2)圆的一般方程 x
2

Ax0 ? By0 ? C (直线方程必须化为一般式) A2 ? B 2

? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2
2 D 2 ? E 2 ? 4 F 的圆;

D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 时,表示一个以 ( ? D ,? E ) 为圆心,半径为 1
第九章 直线 平面 简单的几何体 1、长方体的对角线长 l
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ;正方体的对角线长 l ? 3a
?? ?R;
2

2、两点的球面距离求法:球心角的弧度数乘以球半径,即 l 3、球的体积公式: V

?

4 ? R 3

3

,球的表面积公式: S

? 4? R

4、柱体 V

? s ? h ,锥体 V ?

2 1 S h s ? h ,锥体截面积比: 1 ? 1 2 3 S 2 h2

第十一章:概率:1、概率(范围) :0≤P(A) ≤1(必然事件: P(A)=1,不可能事件: P(A)=0)

2、等可能性事件的概率: P ( A)

?

m .3、互斥事件有一个发生的概率: n

A,B 互斥: P(A+B)=P(A)+P(B);A、B 对立:P(A)+ P(B)=1 4、独立事件同时发生的概率:独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P n (k ) ? Cn P
k k

(1 ? P)n?k .

山东省 2008 年普通高中学生学业水平考试数学试题
第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本答题共 15 个小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 个符合题目要求) 1.若全集 U={1.,2,3,4} ,集合 M={1,2},N={2,3},则集合 CU(M U N)= A.{1,2,3} B.{2} C.{1,3,4} D.{4} ( )

2.若一个几何体的三视图都是三角形,则这个集合体是 ( ) A. 圆锥 B.四棱锥 C.三棱锥 D.三棱台 ( ) D.

3.若点 P(-1,2)在角 ? 的终边上,则 tan ? 等于 A. -2 B. ?

5 5

C. ?

1 2

2 5 5
( )

4.下列函数中,定义域为 R 的是 A. y= x B. y=log2X
|x|

C. y=x

3

D. y=

1 x
( )

5.设 a>1,函数 f(x)=a 的图像大致是

6.为了得到函数 y=sin(2x-

? ) (X ? R)的图像,只需把函数 3
( )

y=sin2x 的图像上所有的点

? 个单位长度 3 ? C.向左平移 个单位长度 3
A.向右平移 ( )

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6
B.向右平移

7. 若 一 个 菱 长 为 a 的 正 方 形 的 个 顶 点 都 在 半 径 为 R 的 球 面 上 , 则 a 与 R 的 关 系 是

A. R=a

B. R=

3 a 2

C. R=2a

D. R= 3a

8.从 1,2,3,4,5 这五个数字中任取两数,则所取两数均为偶数,则所取两数均为偶数的概率 是 A. ( )

1 10

B.

1 5

C.

2 5

D.

3 5

9.若点 A(-2,-3) 、B(0,y) 、C(2,5)共线,则 y 的值等于 ( ) A. -4 B. -1 C. 1 D. 4 ( ) D. 192
2

10.在数列{an}中,an+1=2an,a1=3,则 a6 为 A. 24 B. 48 C. 96
2

11.在知点 P(5a+1,12a)在圆(x-1) +y =1 的内部,则实数 a 的取值范围是 A. -1<a<1 B. a<

( )

12.设 a,b,c,d ? R,给出下列命题: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a>b,c>d,则 a+b>b+d; ③若 a>b,c>d,则 ac>bd; ④若 ac >bc 则 a>b; 其中真命题的序号是 A. ①② B. ②④ C. ①②④
2 2,

1 13

C. ?

1 1 <a< 5 5

D. ?

1 1 <a< 13 13

( ) D. ②③④

13.已知某学校高二年级的一班和二班分别有 m 人和 n 人(m ? n) 。某次学校考试中,两班学生的 平均分分别为 a 和 b(a ? b) ,则这两个班学生的数学平均分为 A. ( )

a?b 2

B. ma+nb

C.

ma ? nb m?n

D.

a?b m?n

14.如图所示的程序框图中, 若给变量 x 输入-2008, 则变量 y 的输出值为 ( A. -1 C. 1 )

B . -2008 D. 2008
0

15.在△ABC 中,若 a= 5 2 ,c=10,A=30 ,则 B 等于 ( ) A. 105
0

B. 60 或 120

0

0

C. 15

0

D. 105 或 15

0

0

第Ⅱ卷 (非选择题 共 55 分) 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16.函数 y=2sin(

?
3

x?

1 )的最小正周期是 2



17.今年某地区有 30000 名同学参加普通高中学生学业水平考试, 为了了解考试成绩, 现准备采用 系统抽样的方法抽取样本。已确定样本容量为 300,给所有考生编号为 1~30000 以后,随机抽 取的第一个样本号码为 97,则抽取的样本中最大的号码数应为 18.已知函数 f(x)= ? . . .

? x ? 1 ( x ? 0) ,则 f(f(-2) )= ( x ? 0) ?0

19.已知直线 a,b 和平面 ? ,若 a ? b,a ? 20.若 x,y 满足 ?

? ,则 b 与 ? 的位置关系是


?x ? y ? 3 ,则 z=3x+4y 的最大值是 ? y ? 2x

三、解答题(本小题共 5 个小题,共 35 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(本小题满分 6 分)求函数 f(x)=2sin(x+

? )-2cosx 的最大值。 6

22.(本小题满分 6 分) 直线 L 过直线 L1:x+y-1=0 与直线 L2: x-y+1=0 的交点, 且与直线 L3: 3x+5y=7 垂直,求直线 L 的方程。

23. (本小题满分 7 分)在盒子里有大小相同,仅颜色不同的 5 个小球,其中红球 3 个,黄球 2 个,现从中任取一球请确定颜色后再放回盒子里,取出黄球则不再取球,且最多取 3 次,求: (1)取一次就结束的概率; (2)至少取到 2 个红球的概率。

24. (本小题满分 8 分)等差数列{an}中,a1+a4+a7=15,a3+a6+a9=3,求该数列前 9 项和 S9.

25. (本小题满分 8 分)已知奇函数 f(x)= (1)求实数 a、b 的值:

1 x?b 的定义域为 R,且 f(1)= . 2 2 x ?a

(2)证明函数 f(x)在区间(-1,1)上为增函数: (3)若 g(x=3 -f(x) ,证明 g(x)在(- ?,?? )上有零点。
-x

山东省 2008 年学业水平(会考)考试答案 一、选择题 1.D 2.C 3.A 14.A 4.C 5.A 15.D 6. B 7.B 8.A 9. C 10. C 11.D 12.B

13. C 二、填空题 16、 6 三、解答题

17、 29997

18、 1

19、b ? ?或b ∥α

20、 11

21. 解:

f ( x) ? 2(

3 1 sin x ? cos x) ? 2 cos x ? 3 sin x ? cos x 2 2

? ). 6 ? ∵ -1≤sin(x- )≤1 6
= 2sin(x- ∴ f (x)max = 2 . 22. 解:联立 x+y-1=0 与 x-y+1=0, 得 x = 0, y = 1 . ∴直线 l1 与直线 l2 的交点是(0,1).

3 , 且直线 l⊥直线 l3 . 5 5 所以,直线 l 的斜率是 k = . 3
因为直线 l3 的斜率是 k3= ? 因此,直线 l 的方程是 5x – 3y + 3 = 0. 23. 解: (1)设第一次就取到黄球的事件为 A, 则 P(A)= (2)设前两次取到红球,且第三次取到黄球的事件为 B, 设前三次均取到红球为事件 C, 则 B、C 为互斥事件, 故所求事件的概率为:

2 5

P(B∪C)= P(B)+ P(C) =

3? 3? 2 3? 3? 3 9 ? ? 5 ? 5 ? 5 5 ? 5 ? 5 25

24. 解:由 ?

?a1 ? a 4 ? a7 ? 15 ?a3 ? a6 ? a9 ? 3
a1+a9 = a4+a6 = 6

得, ?

?a 4 ? 5 ?a6 ? 1
( 9 a1 ? a9) ? 27 2



所以,S9=

25. 解:(1)因为 f(X)的定义域为 R,且为奇函数, 所以 f(0)=0,即=0,所以 b=0, 又 f(1)=

1 1 = 所以 a=1 a ?1 2 x (2)由(1)知 f(x)= 2 x ?1
所以 设-1<X1<X2<1, f(x1)-f(x2)=

1 2

x1 x ? 22 x ?1 x2 ?1
2 1

=

2 x 1 x2 ? x1 ? x2 x12 ? x2 = 2 (x1 ? 1)(x2 ? 1) 2

X1 X 2

( X1 ? X 2 ) ? ( X 2 ? X1 )
2 (x1 ? 1)(x2 2 ? 1)

=

(x1 x 2 ? 1)(x 2 ? x1 ) 2 (x1 ? 1)(x2 2 ? 1)

由 -1<X1<X2<1, 得 X2 -X1>0 , x1x2<1 . ∴f(x1) – f (x2) < 0 , f (x1) < f(x2) ∴ 函数 f(x)在区间(-1,1)上为增函数 . (3)∵ g(x) = 3
-x

-

x , ∴ g(0) =1>0 . x ?1
2 1

g(1) =

1 1 1 ? ? ? ? 0. 3 2 6

∴ g(0)g(1) < 0 . ∴ g(x)在(0,1)内至少有一个零点. 因此,函数 g(x)在(-∞,+∞)上有零点.

山东省 2009 年新课标学业水平考试样卷一(高中数学)
第Ⅰ卷(选择题 共 45 分) 一、选择题(本大题共 15 小题,每小题 3 分,共 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个 符合题目的要求) 1、已知集合 U ? ? 1,2,3 4,5,6,7?, A ? ?2,4,6?, B ? ? 1,3,5,7?, A ? CU B 等于 A

?2,4,6?

B

?1,3,5?

C

?2,4,5?

D

?3,5?

2、函数 f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 等于 A 0.5 B 2 C 4 D 0.25

3、若过坐标原点的直线 l 的斜率为 ? 3 ,则在直线 l 上的点是 A C

(1, 3) (? 3,1)

B D

( 3,1) (1,? 3)

4、某建筑物的三视图如图所示,则此建筑物结构的形状是 A 圆锥 B 四棱柱 C 从上往下分别是圆锥和四棱柱 D 从上往下分别是圆锥和圆柱 5、直线 l1 : kx ? (1 ? k ) y ? 3 ? 0和l 2 : (k ? 1) x ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 k 的值是 A -3 B 0 C 0 或-3 D 0或1 6、算法程序框图如图所示,最后输出的结果是 A C 数列 ?n?的第 100 项 数列 ?n?的前 100 项和 B D 数列 ?n?的前 99 项和 数列 ?n?的前 101 项和

7、抽样时,每次抽取的个体再放回总体的抽样为放回抽样,那么 在分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中,属放回抽样的有 A 3个 B 2个 C 1个 D 0个 8、袋内装有红、白、黑球分别为 3、2、1 个,从中任取两个, 则互斥而不对立的事件是 A 至少一个白球;都是白球

B C D

至少一个白球;至少一个黑球 至少一个白球;一个白球一个黑球 至少一个白球,红球、黑球各一个

9、已知 sin ? cos ? ?

1 ? ,0 ? ? ? , 则 sin ? ? cos ? 的值是 8 2
B

A

3 2

1 4

C

?

3 2

D

5 2

10、已知正方形 ABCD 的棱长为 1,设 AB ? a, AC ? c, BC ? b, 则 a ? b ? c 等于 A 0
0

B

2

C

2 2

D

3

11、 cos105 等于

A

2? 3

B

2? 6 4

C

2? 6 4

D

6? 2 4

12、在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 6, C ? 1200 ,则 sin A 的值是

A

57 19

B

21 7

C

3 38

D

?

57 19

2 2 13、在等差数列 ?an ? 中,若an ? 0, a3 ? a8 ? 2a3 a8 ? 9 ,则其前 10 项和为

A

-13

B

-15

C

-11

D

-9

14 、 若 a, b, c ? R , 给 出 下 列 命 题 : ① 若 a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ; ② 若

a ? b, c ? d , 则a ? c ? b ? d ;
③若 a ? b, c ? d , 则ac ? bd ;④若 a ? b, c ? 0,则ac ? bc .其中正确命题的序号是 A ①②④ B ①④ C ①③④ D ②③ 15、下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是 x Y A 4 15 5 17 B 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27

二次函数模型 C 指数函数模型 D 对数函数模型 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在题中的横线上) 16、已知幂函数 y ? f ( x) 的图像过点 (2, 2 ) ,则 f (9) ? ______________. 17、圆心在直线 y=2x 上,且与 x 轴相切与点(-1,0)的圆的标准方程是 _________________________. 18、一个容量为 20 的样本数据,分组后,组距与频数如下:

一次函数模型

(10,20],2; (20,30],3; (30,40],4; (40,50],5; (50,60],4; (60,70],2. ,则样本在区间 (10,50] 上的频率是_____________.
19、设 a ? ( x,?2),b ? (?3,5), 且 a, b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是___________. 20 、在等比数列 ?an ? 中,an ? 0(n ? N * ),且a6 ? a4 ? 24, a3 a5 ? 64, ,则 ?an ? 的前 8 项和是 ________. 三、解答题(本大题共 5 小题,共 35 分,解答应写出文字说明或演算步骤) 21、本小题满分 6 分 已知向量 a ? (cos? , sin ? ), b ? (cos? , sin ? ), a ? b ?

2 5 ,求 cos(? ? ? ) 的值. 5

22、本小题满分 6 分 在正方体 ABCD ? A1 B1C 1D1 中, E , F 分别是 DC和CC1 的中点.求证: D1 E ? 平面ADF

23、本小题 8 分已知 a ? R ,解关于 x 的不等式 (a ? x)(x ? 1) ? 0 .

24、本小题 7 分 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2bx ? a ( a , b ? R ) (1)若 a 从集合 {0,1, 2,3} 中任取一个元素, b 从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,求方程

f ( x) ? 0 恰有两个不相等实根的概率;
(2)若 b 从区间 [0, 2] 中任取一个数, a 从区间 [0,3] 中任取一个数,求方程 f ( x) ? 0 没有实 根的概率.

25、本小题 8 分 对于函数 f ( x) ? a ?

2 (a ? R) . 2 ?1
x

(1)用函数单调性的定义证明 f ( x)在(??,??) 上是增函数; (2)是否存在实数 a 使函数 f ( x) 为奇函数?

2010 年山东省普通高中学业水平考试数学试题
第一卷(选择题 共 45 分)
一、选择题(15’×3=45’)
1、已知角的终边经过点(-3,4) ,则 tanx 等于

4 D 3 3 2、已知 lg2=a,lg3=b,则 lg 等于 2 b A a-b B b-a C a
A B

3 4

?

3 4

C

?

4 3

D

a b

3、设集合 M= ?(1,2)?,则下列关系成立的是 A 1∈M B 2∈M C (1,2)∈M D (2,1)∈M 4、直线 x-y+3=0 的倾斜角是 A 300 B 450 C 600 D 900 5、底面半径为 2,高为 4 的圆柱,它的侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若 b<0<a(a,b∈R),则下列不等式中正确的是 A b2<a2 B

? 4 ,o),cosx= ,则 tanx 等于 5 2 3 3 4 4 ? A B ? C D 4 3 4 3 n ?1 8、已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn= ,则 a3 等于 n?2 1 1 1 1 A B C D 20 24 28 32 9、在Δ ABC 中,sinA ? sinB-cosA ? cosB<0 则这个三角形一定是
7、已知 x∈(A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数 f ( x) ?

1 1 ? b a

C

-b<-a

D a-b>a+b

1 ( x ? 2) ,则 f(x) x?2

A 在(-2,+ ? ),内单调递增 B 在(-2,+ ? )内单调递减 C 在(2,+ ? )内单调递增 D 在(2,+ ? )内单调递减 11、在空间中,a、b、c 是两两不重合的三条直线,α 、β 、γ 是两两不重合的三个平面,下列 D1 A1 B1 C1

D

命题正确的是 A 若两直线 a、b 分别与平面α 平行, 则 a∥b B 若直线 a 与平面β 内的一条直线 b 平行,则 a∥β C 若直线 a 与平面β 内的两条直线 b、c 都垂直,则 a⊥β D 若平面β 内的一条直线 a 垂直平面γ ,则γ ⊥β 12、不等式(x+1) (x+2)<0 的解集是 A

?x ? 2 ? x ? ?1?

B

?x x ? ?2或x ? ?1? C ?x1 ? x ? 2?

D

?x x ? 1或x ? 2?
开始

13、正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1 C1 与 BD 所在直线所成角的大小是 A 300 B 450 C 600 D 900 14、某数学兴趣小组共有张云等 10 名实力相当的组员, 现用简单随机抽样的方法从中抽取 3 人参加比赛, 则张云被选中的概率是 A 10% B 30% C 33.3% D 37.5% 15、如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c, 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ? ”或“:=” ) A c>x B x>c C c>b D b>c

输 入 a,b,c x=a 是 x=b 是 x=c

b>x? 否

第二卷(非选择题共 55 分)
二、填空题(5’ ×4=20’)
16、已知 a>0,b>0,a+b=1 则 ab 的最大值是____________ 否 17、若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行,则实数 a 等于____________

?2 x , ( x ? 4) 18、已知函数 f ( x) ? ? , ? f ( x ? 1), ( x ? 4)
那么 f(5)的值为____________ 19、在[-π ,π ]内,函数 y ? sin( x ?

输出 x 结束

?
3

) 为增函数的区间是____________

20、设┃a┃=12,┃b┃=9,a ? b=-54 2 , 则 a 和 b 的夹角θ 为____________

三、解答题(共 5 小题,共 35 分)
21、已知 a =(2,1)b=(λ ,-2) ,若 a⊥ b,求λ 的值 22、 (6’)已知一个圆的圆心坐标为(-1, 2) ,且过点 P(2,-2) ,求这个圆的标准方程

23、 (7’)已知 ?an ? 是各项为正数的等比数列,且 a1=1,a2+a3=6,求该数列前 10 项的和 Sn

24、 (8’)已知函数 f ( x) ?

3 1 sin x ? cos x, x ? R 2 2

求 f(x)的最大值,并求使 f(x)取得最大值时 x 的集合 25、 (8’)已知函数 f(x)满足 xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且 f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的任意 x 都 成立 (1)求 f(x)的解析式及定义域 (2)写出 f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?

参考答案
一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A 1 1 ? 5? 3? 二、16、 17、 18、8 19、 [ ? , ] 20、 4 3 6 6 4 三、21、解:∵a⊥b,∴a ? b=0,又∵a=(2,1) ,b =(λ ,-2) ,∴a ? b=2λ -2=0,∴λ =1
22、解:依题意可设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=r2。 ∵点 P(2,-2)在圆上,∴ r2=(2+1)2+(-2-2)2=25 ∴所求的圆的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=52 。 23、解:设数列 ?an ? 的公比为 q,由 a1=1,a2+a3=6 得:q+q2=6,即 q2+q-6=0,

a1 (1 ? q10 ) 1 ? 210 解得 q=-3(舍去)或 q=2∴S10= ? ? 210 ? 1 ? 1023 1? q 1? 2
24 解:∵ f ( x) ?

3 1 ? ? ? sin x ? cos x ? sin x cos ? cos x sin ? sin(x ? ) 2 2 6 6 6

∴f(x)取到最大值为 1 当x?

?
6

? 2k? ?

?

2 , k ? Z ,即x ? 2k? ? ? , k ? Z时 ,f(x)取到最大值为 1 2 3

∴f(x)取到最大值时的 x 的集合为 ? x│x ? 2k? ?

? ?

2 ? ? .,k ? Z ? 3 ?
b , x?c

25、解: (1)由 xf(x)=b+cf(x),b≠0,∴x≠c,得 f ( x) ? 由 f(1-x)=-f(x+1)得

b b ?? ∴c=1 1? x ? c x ?1? c b ?1 1 ? 由 f(2)=-1,得-1= ,即 b=-1∴ f ( x) ? , 2 ?1 x ?1 1? x
∵1-x≠0,∴x≠1 即 f(x)的定义域为 x│x ? 1

?

?

(2)f(x)的单调区间为(- ? ,1) , (1,+ ? )且都为增区间 证明:当 x∈(- ? ,1)时,设 x1<x2<1, 则 1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? x2 1 1 ,∵1- x1>0,1- x2>0 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

x1 ? x2 1 1 <0 ? ? 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴f(x)在(- ? ,1)上单调递增。同理 f(x)在(1,+ ? )上单调递增。

山东省 2011 年高中学业水平考试数学
一、选择题:本大题共 15 小题,每题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1.集合 M ? {0}, N ? {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ,则 M ? N 等于 A.{-1,1} B.{-1} C.{1} D.{0}
1

2.下列函数中,其图象过点(0,1)的是 A. y ? 2 x B。 y ? log 2 x C。 y ? x 3 D. y ? sin x

3.下列说法正确的是 A.三点确定一个平面 C。过一条直线的平面有无数多个

B。两条直线确定一个平面 D. 两个相交平面的交线是一条线段

4.已知向量 a ? (2,1), b ? (?3, 4) ,则 a ? b 的坐标为 A. (-5,3)
0

?

?

? ?

B.(-1,5)
0 0 0

C.(5,-3)

D.(1,-5)

5. cos 75 cos15 ? sin 75 sin15 的值为

A..0

B.

1 2

C.

3 2

D. 1

6.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为 A. -8 B. 0 C. 2 D. 10

7.高三某班共有学生 56 人,其中女生 24 人,现用分层抽样的方法,选取 14 人参加一项活动, 则应选取女生 开始 A. 8 人 B. 7 C. 6 人 D. 5 人 8.已知一个半球的俯视图是一个半径为 4 的圆,则它的主(正)视图的面积是 A. 2? B. 4? C. 8? D. 16? S=0,n=1 9.函数 f ( x) ? ( x ?1)( x ? 3x ? 10) 的零点个数是
2

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

10.已知函数 f ( x) ? sin(

?
2

? x)( x ? R) ,下面结论正确的是
B. 函数 f ( x ) 在区间 [0,

S=S+
] 上是增函数

1 n

? A. 函数 f ( x ) 的最小正周期为 2
C. 函数 f ( x ) 是奇函数

?
2

n=n+1 n>3 是 输出S 否

D. 函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 0 对称

11.如图所示的程序框图,其输出的结果是 A. 1 B.

3 2

C.

11 6

D.

25 12

12.在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(b ? c ? a) ? 3bc ,则角 A 等于 A. 30
0

B. 60

0

C.

1200

D. 150

0

13.不等式组 ? x ? 0

? ?x ? y ? 4 ? ?y ? 0

表示的平面区域内横、纵坐标均为整数的点的个数是 D. 9

A.15 B.14 C. 10 14.已知变量 x , y 有如下观察数据:

x
y

0 2.4

1 4.5

3 4.6

4 6.5

则 y 对 x 的回归方程是 ? y ? 0.83x ? a ,则其中 a 的值为 A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.35 15.等比数列的前 2 项和为 2,前 4 项和为 10,则它的前 6 项和为 A. 31 B. 32 C. 41 D. 42 二、填空题:本大题共 5 题,每题 4 分,共 20 分. 16.已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, x ? 0 ,若 f ( x) ? 10 ,则 x ? 。

17.等差数列 10、7、4?的第 10 项是 。 18.将一枚硬币连续投掷 3 次,则恰有连续 2 次出现正面向上的概率为 19.已知 sin ? ?



3 ? , ? ? ( , ? ) ,则 sin 2? 等于 5 2
0

。 cm.

20.一个圆锥的母线长是 20cm,母线与轴的夹角为 30 ,则圆锥的底面半径是

三、计算题:本大题共 5 题,其中第 21、22 题每题 6 分,23 题 7 分,24、25 题每题 8 分 21.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? n2 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。

22.已知平面向量 a ? (1, 3), b ? (cos x,sin x) ,设函数 f ( x) ? a ? b ,求函数 f ( x ) 的最大值及 取最大值时 x 的值。

?

?

? ?

23.袋中有标号为 1、2、3、4、5 的 5 个球,从中随机取出两个球。 (1)写出所有的基本事件; (2)求所取出的两个球的标号之和大于 5 的概率。

24.设 f ( x) ? x 2 ? ax 是 R 上的偶函数 (1)求实数 a 的值 (2)用定义证明: f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数。

25.已知平面上两点 M (4,0), N (1,0) ,动点 P 满足 | PM |? 2 | PN | (1) 求动点 P 的轨迹 C 的方程。 (2) 若点 Q (a,0) 是轨迹 C 内一点,过点 Q 任作直线 l 交轨迹 C 于 A,B 两点,使证:

???? ?

??? ?

???? ? ??? ? ???? ? ??? ? QA ?QB 的值只与 a 有关;令 f (a) ? QA ?QB ,求 f (a ) 的取值范围。

数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 15 小题,每题 3 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符 合题目要求的. 1~5:DACCB 6~10:ACCCD 11~15:CBABD 二、填空题:共 5 题,每题 4 分,共 20 分. 16. ? 3 17. ? 17 18.

1 4

19. ?

24 25

20. 10

三、三、计算题:本大题共 5 题,其中第 21、22 题每题 6 分,23 题 7 分,24、25 题每题 8 分 21. 【解析】当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 ;当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 不满足

?2, n ? 1, an ;所以数列的通项公式为 an ? ? ?2n ? 1, n ? 2.
22. 【解析】 f ( x) ? a ? b ? (1, 3) ? (cosx, sin x) ? cos x ? 3 sin x

? ? ? 1 3 ? ? 2( cos x ? sin x) ? 2 sin(x ? ) ,当 x ? ? 2k? ? ,即 x ? 2k? ? 时,函数 f ( x) 取 6 2 3 2 2 6
得最大值 2. 23. 【解析】 (1)随机取两个球的基本事件为(1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5). (2)两球标号之和大于 5 的有(1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) ,共有 7 个, 所以所求概率为

7 . 10
2 2

24. 【解析】 (1)因为函数 f ( x) ? x ? ax 是偶函数, f (? x) ? x ? ax ? f ( x) ,即

x 2 ? ax ? x 2 ? ax ,所以 a ? 0 .
(2)证明:由(1)知 f ( x) ? x ,任设两个变量 x1 , x2 ? (0,??) ,不妨设 x1 ? x2 ,则
2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ,因为 x1 ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,又
x1 , x2 ? (0,??) , 所以 x1 ? x2 ? 0 , 所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,
即函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数. 25. 【解析】(1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 PM ? (4 ? x,? y) ,

2

2

???? ? ??? ? PN ? (1 ? x,? y) , PM ? (4 ? x) 2 ? y 2 ) , PN ? (1 ? x) 2 ? y 2 ) ,由 | PM |? 2 | PN | ,得
(4 ? x) 2 ? y 2 ) ? 2 (1 ? x) 2 ? y 2 ) ,整理得 x2 ? y 2 ? 4 ,它的轨迹是圆心在原点,半径为 2 的
圆. (2)由题意知直线斜率 k 存在,则直线方程为 y ? k ( x ? a) ,代入 x 2 ? y 2 ? 4 , 整 理 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 2ak2 x ? (k 2 a 2 ? 4) ? 0 , 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 得 x1 ? x2 ?

2ak 2 , 1? k 2


x1 x2 ?

a 2k 2 ? 4 1? k 2

.

QA? QB ? ( x1 ? a, y1 ) ? ( x2 ? a, y2 )

? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? y1 y2

y1 y2 ? k 2 ( x1 ? a)(x2 ? a) ? k 2[ x1x2 ? a( x1 ? x2 )] ,
所以 QA? QB ? (1 ? k 2 )[x1 x2 ? a( x1 ? x2 )] ? (1 ? k )[
2

k 2 a 2 ? 4 a ? 2ak 2 ? ? a2 ] ? a2 ? 4 , 与k 无 1? k 2 1? k 2

关,只与 a 有关 . 所以 f (a) ? a 2 ? 4 ,又因为点 Q (a, 0) 是轨迹 C 内一点,所以 ? 2 ? a ? 2 ,

0 ? a 2 ? 4 , ? 4 ? a 2 ? 4 ? 0 ,即 f (a) ? a 2 ? 4 的取值范围是 (?4,0) .

山东省 2013 年 1 月普通高中学业水平考试

数 学 试 题
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页,满分 100 分,考试限定 时间 90 分钟.交卷前,考生务必将自己的姓名、考籍号、座号填写在答题卡的相应位置,考试 结束后,讲本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(共 60 分)
注意事项: 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用像皮擦干净后 再选涂其他答案标号,不涂在答题卡上,只涂在试卷上无效. 一、选择题(本大题共 20 小题,每小题 3 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.设集合 M ? {1,2,3}, N ? {1,2} ,则 M ? N 等于 A. {1,2} B. {1,3} C. {2,3} D. {1, ,2,3}

2.函数 f ( x) ? lg( x ? 2) 的定义域是 A. [2,??) 3. 410 角的终边落在 A.第一象限 B.第二象限 4.抛掷一枚骰子,得到偶数点的概率是 A. C.第三象限 D.第四象限
0

B. (2,??)

C. (3,??)

D. [3,??)

1 6

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2

5.在等差数列 {a n } 中, a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,则 a8 等于 A. 13 B. 14 C. 15 D. 16

6.下列函数中,在区间 (0,??) 内单调递减的是 A. y ? x
2

B. y ?

1 x

C. y ? 2

x

D. y ? log2 x

7.直线 x ? y ? 0 与 x ? y ? 2 ? 0 的交点坐标是 A. (1,1) B. (?1,?1) C. (1,?1) D. (?1,1)

8.在区间 [0,4] 上任取一个实数 x ,则 x ? 1 的概率是 A. 0.25
2 2

B. 0 . 5

C. 0 .6

D. 0.75

9.圆 x ? y ? 6 x ? 0 的圆心坐标和半径分别是

A. (3,0),9 10. tan

B. (3,0),3

C. (?3,0),9

D. (?3,0),3

13? 的值是 3

A. ?

3 3

B. ? 3

C.

3 3

D. 3

11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 a ? 1, b ? 2, C ? 1200 ,则 c 等于 A. 2 B. 5 C. 7 D. 4

12.在等比数列 {an } 中, a 4 ? 4 ,则 a 2 ? a6 等于 A. 32 B. 16

13.将函数 y ? 2 sin( x ? 对应的表达式为 A. y ? 2 sin(

?

C. 8

D. 4

1 ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,所得图象 2 3
B. y ? 2 sin(

1 ? x? ) 2 3

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?

3

)

1 ? x? ) 2 6 2? ) D. y ? 2 sin( 2 x ? 3

14.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b ? 2c sin B ,则 sin C 等于

A. 1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

15.某广告公司有职工 150 人.其中业务人员 100 人,管理人员 15 人,后勤人员 35 人,按分层 抽样的方法从中抽取一个容量为 30 的样本,则应抽取管理人员 A. 15 人 B. 5 人 C. 3 人 D. 2 人 16.如图是一个空间几何体的三视图,则这个几何体侧面展开图的面积是

? 4 ? B. 2 C. ? D. 2?
A.

1

正(主)视图

侧(左)视图

1

?x ? 1 ? 17.不等式组 ? y ? 1 表示的平面区域面积是 ?x ? y ? 1 ? 0 ?

俯视图

(第 16 题图)

A.

1 2

B.

1 4

C. 1

D. 2

18.容量为 100 的样本数据被分为 6 组,如下表 1 2 3 组号 频数 14 17

4 20

5 16

6 15

x

第 3 组的频率是 A. 0.15 B. 0.16 C. 0.18 19.若 a ? b ? c ,则下列不等式中正确的是 A. ac ? bc B. a ? b ? b ? c C. a ? c ? b ? c D. a ? c ? b 20.如图所示的程序框图,其输出的结果是 A. 11 B. 12 C. 131 D. 132

D. 0.20
开始

k ? 12, S ? 1
k ? 10
否 是

S ?S?k k ? k ?1

输出 S 结束

第Ⅱ卷(共 40 分)
注意事项: 1、第Ⅱ卷分填空题和解答题两种题型. 2、第Ⅱ卷所有题目的答案,考生应用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上规定的范围内,在 试卷上答题无效. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分) 21.已知向量 a = (1,?2) , 22.已知函数 f ( x) ? ?

b = (1,?2) ,则向量 a ? b 的坐标是___ (2 ,?4) _.
,则 f (3) ? ____9________.

?x 2 , x ? 0 ? x, x ? 0

23.过点 (0,1) 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的直线方程的一般式是_____x+2y-2=0_______. 24.等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n . 已知 a6 ? 3 ,则 S 11 ? ______33______.
甲 0 50 32 1 2 乙 8 2 889 5

25.甲、乙两名篮球运动员在六场比赛中得分的茎叶图如图所 52 3 示,记甲的平均分为 a ,乙的平均分为 b ,则 b ? a ? ___0.5_.

第 25 题图

三、解答题(本大题共 3 小题,共 25 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 26. (本小题满分 8 分) 已知向量 调递增区间.

a = (1 ? sin x,

3) , b = (1, 3) .设函数 f ( x) ?

a ? b ,求 f ( x) 的最大值及单

27. (本小题满分 8 分) 已知:如图,在四棱锥 V ? ABCD 中,底面 ABCD 是 平行四边形, M 为侧棱 VC 的中点. 求证: VA // 平面 BDM

28. (本小题满分 9 分)
已知函数

f ( x) ? 3x 2 ? 2(k ? 1) x ? k ? 5(k ? R) 在区间 (0,2) 内有零点,求 k 的取值范围.


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