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3.2.1直线的点斜式方程ppt课件


3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程

复习回顾
1.倾斜角的定义

2. 斜率的定义

k ? tan ?

(? ? 900)

3.两点斜率公式 4.平行

y2 ? y1 y1 ? y2 k? .或k ? x2 ? x1 x1 ?

x2

(x1 ? x2 )

l1∥l2 l1⊥l2

k1=k2. k1k2=-1.

条件:不重合、都有斜率 5.垂直

条件:都有斜率

复习回顾
在平面直角坐标系内如何确定一条直 线呢? (1)已知两点可以确定一条直线. (2)已知直线上的一点和这条直线的 一个方向(斜率或倾斜角)可以确定 一条直线.

思考1

已知直线l经过已知点P0(x0,y0),并且它

的斜率是k,P(x,y)是直线l上不同于点P0的任意一点,

那么x,y满足什么关系? y l P(x,y)
P0(x0,y0)
O

y - y0 k= x - x0
可化为y - y0 = k ?x - x0 ?

x

思考2

方程y-y0=k(x-x0)的解与直线

l上所有点P(x,y)的关系是什么?
y l P(x,y) P0(x0,y0)
O

y ? y0 ? k ( x ? x0).
x

直线方程的概念 如果以一个方程的解为坐标的 点都是某条直线上的点,反过来, 这条直线上的点的坐标都是这个 方程的解,那么,这个方程就叫 做这条直线的方程,这条直线就 叫做这个方程的直线.
6

一、直线的点斜式方程 由直线上一定点和直线的斜率确定的 直线方程,叫直线的点斜式方程.

过点P(x 斜率为k的直线l的方程为: 0 0 ,y0 ),

y ? y0 ? k ( x ? x0).
成立的条件:斜率存在的直线.
思考:直线的点斜式方程能否表示 坐标平面上所有的直线呢?

y

l
P0 (x0 , y 0 )

O

x

情景1: 当直线l经过点P0(x0,y0)且 倾斜角是0°时,(即直线平行与x轴) 直线l 的方程是什么?

y ? y0 ? 0或y ? y0

y
l
P 0 ( x0 , y0 )

O

x

情景2:已知直线l经过已知点P0(x0,y0), 且它的斜率不存在(与y轴平行),直线l的

方程是什么?

x ? x0 ? 0或x ? x0

y

l
P 0 ( x0 , y0 )

O

x

例1:直线l经过点P0(-2, 3),且倾斜角?=45? , 求直线l的点斜式方程,并画出直线l.
解: k ? tan 45 ? 1
0

? y ?3 ? x ? 2 即x ? y ? 5 ? 0
令x ? 0得y ? 5, y ? 0得x ? ?5 y ? 4得x ? ?1
l

P1
P0

y
4 3 2 1

-2 -1 O

x

练习:P95,练习1,2

思考2 已知直线l的斜率是k,与y轴的交点是

P(0,b),求直线方程.
代入点斜式方程得, y
P(0,b)

直线l 的方程:y-b=k(x-0),

即y= kx+b.

O

x

2、斜截式方程
y

斜率

b

y=kx+b

O

x

方程由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定,所

以方程叫做直线的斜截式方程,简称斜截式.
成立的条件:直线的斜率存在.
注意:1、截距:直线与y轴交点的数值(有正负) 2、距离:为正数

思考3

方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式

类似,你能说出一次函数y=2x-1,y=3x,y=-x+3的

图象的特点吗?

y=2x-1的斜率为2,在y轴上的截距为-1; y=3x的斜率为3,在y轴上的截距为0;

y=-x+3的斜率为-1,在y轴上的截距为3.
练习2、P95 练习3

例2 已知直线l1:y=k1x ? b1,l2:y=k 2x+b 2,试讨论: (1)l1 //l2的条件是什么?(2)l1 ? l2的条件是什么?
分析:回忆用斜率判断两条直线平行、垂直的结论.思考 (1)l1 //l2时,k1,k2,b1,b2 有何关系? (2)l1 ⊥l2时,k1,k2,b1,b2 有何关系?

解:(1)若l1 //l2,则k1 = k2,此时l1,l2与y轴的交点不同, 即b1 ≠b2;反之k1 = k2,且b1 ≠b2时,l1 //l2 . (2)若l1 ⊥ l2,则k1k2 = -1;反之k1k2 = -1时,l1 ⊥ l2 . 于是我们得到,对于直线 l1:y = k1x + b1,l2:y = k2x + b2, l1 //l2 ? k1 = k2且b1 ≠b2; l1 ⊥ l2 ? k1k2 = -1.

3.说出下列直线的斜率和在y轴上的截距:

(1)y ? 3x ? 2
k ? 3, b ? ?2

(2) y ? 3x
k ? 3, b ? 0

4、写出下列直线的斜截式方程:

3 (1)斜率是 , 在y轴上的截距是? 2 2 3
y? 2 x?2

(2)斜率是? 2, 与y轴交点坐标为( 0,4)
y ? ?2 x ? 4

巩固练习
1.经过点(-

2,2)倾斜角是150 的直线的方程是( C ) 3 (A)y+ 2 =- ( x-2) (B)y+2= - ( 3 x- 2 ) 3 3 (C)y-2= - (x+ 2) (D)y-2=- ( 3 x+ 2 )
0

3

2.已知直线方程y-3= 3(x-4),则这条直线经过的已知 点,倾斜角分别是( (A)(4,3);π/ 3

A)
(B)(-3,-4);π/ 6

(C)(4,3);π/ 6

(D)(-4,-3);π/ 3

3.直线方程可表示成点斜式方程的条件是( (A)直线的斜率存在 (C)直线不过原点

A )

(B)直线的斜率不存在 (D)不同于上述答案

4.(1)过点( 1,1 )且与直线y ? 2x ? 7平行的直线的点斜式方程为______;

y ? 1 ? 2( x ? 1)

(2)过点( 1,1 )且与直线y ? 2 x ? 7垂直的直线的点斜式方程为______; 1 y ? 1 ? ? ( x ? 1) 2
5.方程y ? 2 ? k ( x ? 3) 表示( C ) A)通过点 ?2,?3? 的所有直线;

B)通过点 ?? 3,2? 的所有直线;
C)通过点 ?? 3,2?且不垂直于x轴的所有直线; D)通过点 ?? 3,2? 且去除x轴的所有直线.

6.已知直线l1的方程为y=-2x+3,l2的方程为

y=4x-2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相
同,求直线l的方程. 由斜截式方程知直线l1的斜率k1=-2, 解: 又因为l∥l1,所以l的斜率k=k1=-2. 由题意知l2在y轴上的截距为-2,

所以l在y轴上的截距b=-2,
由斜截式可得直线l的方程为y=-2x-2.

课堂小结: 直线过点 P0 ?x0 , y0 ? (1)斜率为K, 点斜式方程:y ? y0 ? k ?x ? x0 ?

P0取?0, b?

斜截式方程:

y ? kx ? b

(对比:一次函数)

(2)斜率不存在时,即直线与x轴垂直,
则直线方程为: x ? x0

作业
P100习题3.2 A组 1. ( 1)(2)(3) 3


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