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天津市2016届高三上学期第三次月考 数学(文)


第三次月考数学文试题
I、选择题: (本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1.设全集 U ? R ,若集合 A ? {x | ?1 ? x ? 5} , B ? {x | y ? lg( x ? 1)} ,则 CU ( A ? B) 为( A. {x | 1 ? x ? 5} B. {x | x ? ?1或x ? 5} C. {x | x ? 1或x ? 5} D. {x | ?1 ? x ? 5} ) 2.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0,??) 上单调递减的是( A. y ? )

1 . B. y ? e ? x C y ? ? x2 ? 1 D. y ? lg | x | x ? ? ? ? ? ? 3.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a ? ? b 与 ? b ? 2a 共线,则 ? =( )

?

?

1 1 C.-2 D. 2 2 4.已知函数 f (x)= ln x ,则函数 g (x)=f (x) ? f '( x) 的零点所在的区间是
A.0 B. ? A.(0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

5.函数 f ( x) 在定义域 R 内可导,若 f ( x) ? f (2 ? x) , 且当 x ? (??,1) 时, ( x ? 1) f ?( x) ? 0 , 设

1 a ? f (0), b ? f ( ), c ? f (3) ,则 ( 2 A .a ? b ? c B. c ? a ? b

) C. c ? b ? a D. b ? c ? a )

6. 要得到一个奇函数,只需将 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的图象( A.向右平移

? 个单位 6 ? 个单位 6

B.向右平移

? 个单位 3 ? 个单位 3


C.向左平移

D.向左平移

? x3 , x ? 0, 2 7. 已知函数 f ( x) ? ? , 若 f (2 ? x ) ? f ( x) ,则实数 x 的取值范围是( ln( x ? 1), x >0. ? A. (??, ?1) ? (2, ??) B. (??, ?2) ? (1, ??) C. (?1, 2) D. (?2,1)
8. 如图,在等腰直角 ?ABO 中,设 OA ? a, OB ? b, OA ? OB ? 1, C 为 AB 上靠 近点 A 的四等分点,过 C 作 AB 的垂线 l ,设 P 为垂线上 任一点, OP ? p ,则 p ? (b ? a) ? ( A. ? ) D.

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

3 2

II、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
2 9.设集合 A ? {?3,0,1} , B ? {t ? t ? 1 } ,若 A ? B ? A ,则 t =__________.

10.已知平面向量 a ? (2 ,4),b ? (?1,2) ,若 c ? a ? (a ? b)b ,则 c ? _________.

3 0 0 , 60 ? ? ? 150 ,则 cos? ? ___________. 5 12.奇函数 f ? x ? 的定义域为 ? ?2, 2? ,若 f ? x ? 在 ? 0, 2? 上单调递减,且 f ?1 ? m? ? f ? m? ? 0 ,则实 数 m 的取值范围是_______________.
11.已知 sin(30 ? ? ) ?
0

13.边长为 1 的等边 ?ABC 中, D 为 BC 边上一动点,则 AB ? AD 的取值范围是__________. 14. 已知 定 义在 R 上 的 函数 y ? f ( x) 对 任 意的 x 都 满 足 f ( x ? 1) ? ? f ( x ), 当 ?1≤x<1 时,

f ( x) ? x3 ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? loga x 至少 6 个零点,则 a 的取值范围是_______.
III、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. ) 15.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin 2x ? cos2x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调递减区间; (Ⅲ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 4? ?

16.(本题满分 13 分)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c , 向量 m ? (a ? b, c), n ? (a ? c, a ? b) ,且 m 与 n 共线. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 y ? 2 sin C ? cos
2

A ? 3C ,求 y 的最大值及此时角 C 的大小. 2

17.(本题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? (a 2 ? 1) x ? b(a, b ? R ). 3

(Ⅰ)若 x ? 1 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,求 f ( x) 在区间 [?1, 4] 上 的最大值;

18.(本题满分 13 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c . sin

B 6 ? , 2 6

b sin A ? 6a sin C , c ? 1 .

(Ⅰ)求 a 的值和 ?ABC 的面积;

(Ⅱ)求 sin( 2 A ?

?
3

) 的值.

19.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? x2 ? ax . (Ⅰ)若函数 f ( x) 在其定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? 3 时,求出 f ( x) 的极值; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ?

1 1 (3 x 2 ? 2 ? 6 x) 在 x ? ? 0,1? 内恒成立,试确定 a 的取值范围. 2 x

20.(本题满分 14 分)

?x ? 已知函数 f ( x)
3

5 2 x ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2

(Ⅰ)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (Ⅱ)设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x ) ,若存在唯一的实数 x0 ,使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同时成 立,求实数 b 的取值范围; (Ⅲ) 已知点 A 为曲线 C 上的动点, 在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B , 在点 B 处 作曲线 C 的切线 l 2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k 2 .问:是否存在常数 ? ,使得 k2 ? ?k1 ?若存 在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案
I、选择题:CCBB II、填空题: 9.0 或 1 13. [ ,1] III、解答题: 10. 8 2 11. BDDA

3? 4 3 10

12. ( ?

1 ,1] 2

1 2

(0, ]? (5, ??) 14.

1 5

sin 2 x ? cos 2 x?2sin( 2x? ) 15 解: (I) f ( x ) ? 3 6 …………………………2 分

?

? T?

2? ?? 2

…………………………4 分

(Ⅱ)由 2 k ?? k ?? ?2 x? ?2

?

?

6 ?x 5 得k ? ?? ? k ? ?? ( k ? z ) 3 6 ? 5 ? ∴单调递减区间为 [ . k ? ? ,k ? ? ]( k ? z ) 3 6
?
6 ≤x≤

2

3 ?(k?z), 2

………………………8 分

(Ⅲ)因为 当 2x ?

?
4

,则 -

?
2

≤ 2x ?

?
6



?
3



? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值为 3 ; 3 4 ? ? ? 当 2 x ? ? ? ,即 x ? ? 时, f ( x) 取得最小值为 ?2 . ………………………13 分 3 6 2
6
= ………2 分

?

16.解: (I)因 m 与 n 共线, 所以 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 , 即 b ? a ? c ? ac ,
2 2 2

故 cos B ?

1 , 2

………4 分

而 0 ? B ? ? ,所以 B ? ( Ⅱ
2

?
3

. 因

………6 分



A?? ? B?C ?

y ? 2s

A ? 3C ? ? n o ?1? c s 2C ?oc ?so 2C ) ? s s 2C ? i ( ) ? 1 n ……9 分 ( 2 3 6 ? 2? 故 ymax ? 2 ,此时因 0 ? C ? ,所以 C ? . ……13 分 3 3 C ? ic

2? ?C 3

,





17.解: (Ⅰ)由已知得 f ' ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? 1.

? x ? 1是f ( x) 的极值点,? f '(1) ? 0,即a2 ? 2a ? 0 .
解得 a ? 0 ,或 2. 经检验合题意 。 (Ⅱ)? (1, f (1)) 是切点, ………4 分 ………6 分

?1 ? f (1) ? 3 ? 0 ? f (1) ? 2.
即2 ?

1 8 ? a ? a 2 ? 1 ? b, a 2 ? a ? b ? ? 0 . 3 3

? 切线x ? y ? 3 ? 0 的斜率为-1,? f ' (1) ? ?1,即a 2 ? 2a ? 1 ? 0, a ? 1. …8 分
代入解得 b ?

8 1 8 . ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? . 3 3 3

………10 分

? f ' ( x) ? x 2 ? 2x,
? x ? 0和x ? 2是y ? f ( x) 的两个极值点.
8 4 4 ? f (0) ? , f (2) ? , f (?1) ? , f (4) ? 8 , 3 3 3

? y ? f ( x) 在 [?1, 4] 上的最大值为 8.

…13 分

18 、 (Ⅰ)由 sin 分

2 B 6 5 2 B ? , sin B ? 1 ? cos2 B ? ,得 cos B ? 1 ? 2 sin ? 2 3 2 6 3

………2



b sin A ? 6a sin C





bs i A ?n 6c s i A n,
……4 分

?ABC



sin A ? 0



b ? 6c ? 6

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得 3a ? 4a ? 15 ? 0 ,
2 2 2 2

解得 a ? 3 或 a ? ?

5 (舍) 3
………7 分

S?

1 5 ac sin B ? 2 2

(Ⅱ)由正弦定理

a b 30 ? 得 sin A ? sin A sin B 6

………8 分

由余弦定理得 cos A ?

b2 ? c2 ? a2 6 ?? 2bc 6

………9 分

所以 sin 2 A ? 2 sin A cos A ? ?

2 5 2 , cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ? ? 3 3

…11 分

s i n2(A ?

?
3

)?

1 3 ? 5 ?2 3 sin 2A ? co2 sA? 2 2 6

………13 分

19.

20. (Ⅰ)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 1)( x ? 2) .
1 1 令 f ? (x)<0 ,解得 ?2 ? x ? ,f(x)的单调减区间为 (?2 , ) . 3 3

1分 3分

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 5x ? a ,
2 ?3x0 ? 5 x0 ? a ? 0 5 ? 由题意知 ? 3 5 2 消去 a ,得 2 x03 ? x02 ? x0 ? b ? 0 有唯一解. 5 分 2 ? x0 ? x0 ? ax0 ? b ? x0 ? 2

5 令 g ( x) ? 2x3 ? x2 ? x ,则 g ?( x) ? 6x2 ? 5x ? 1 ? (2x ? 1)(3x ? 1) , 2
1 1 1 1 以 g ( x) 在区间 (??, ? ) , (? , ??) 上是增函数,在 (? , ? ) 上是减函数, 2 3 2 3

7分

1 1 1 7 又 g (? ) ? ? , g ( ? ) ? ? , 2 8 3 54

故实数 b 的取值范围是 (??, ?

7 1 ) ? (? , ??) . 54 8

8分

(Ⅲ) 设 A( x0 , f ( x0 )) ,则点 A 处切线方程为 y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,
5 与曲线 C : y ? f ( x) 联立方程组,得 f ( x) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ,即 ( x ? x0 )2 [ x ? (2x0 ? )] ? 0 ,所 2 5 以 B 点的横坐标 xB ? ?(2 x0 ? ) . 2

10 分


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