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武汉市重点中学高一12月月考数学试题


2017 届高一年级 12 月月考

数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的的 四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? { y

1 y ? log 3 x, x ? 1}, B ? { y y ? ( ) x , x ? 1} ,则 A B ? ( A )

3 1 1 ? y ? 1} D. A. { y 0 ? y ? } B. { y 0? y ? 1} C. { y 3 3
2

2、已知扇形的周长是 6cm ,面积是 2cm ,则扇形的中心角的弧度数是( B ) A.1 B.4 C.1 或 4 D.2 或 4


3、已知函数 f (x)=asinx+btanx+1,满足 f (5)=7,则 f (-5)的值为( B
A.5 B.-5 C.6 D.-6

4、下列说法正确的个数是( B ) ①正切函数在定义域上单调递增; ②函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上满足 f ? a ? f ? b ? ? 0 ,则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 上有零点; ③ f ? x ? ? log 2 ( x ?

x 2 ? 1) 的图象关于原点对称;

④若一个函数是周期函数,那么它一定有最小正周期。 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

5.一种放射性元素,最初的质量为 500 g,按每年 10%衰减.则这种放射性元素的半衰期 为(注:剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期).(精确到 0.1.已知 lg2=0.3010, lg3=0.4771) A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3 ( D ) 6、若 ?ABC 为锐角三角形,则下列式子一定成立的是 (B )

log cos C A.

sin A ?0 cos B

log sin C B.

cos A ?0 cos B

log sin C C.

sin A ?0 sin B

log sin C D.

cos A ?0 sin B

7.已知

的值为

( D )

A.-2

B.2 )

C.

D.-

1+sinx cosx 1 8.已知 =- ,那么 的值是( A cosx 2 sinx-1 1 A. 2 1 B.- 2 C.2

D.-2

9. 函数 f ( x) ? log 2 | 2 x ? 1 | 的图象大致是
y y y y

(C



O

1

x

O

1

x

O

1

x

O

1

x

A.

B.

C.

D.


10.定义在 R 上的函数满足 f (x)=f (x+2),当 x∈[1,3]时,f (x)=2-|x-2|,则( D A. f (sin ) ? f (cos ) 6 6

?

?

B.f (sin1)>f (cos1)

C. f (cos

2? 2? ) ? f (sin ) 3 3

D.f (cos2)>f (sin2)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号 的位 ....... 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.
2 的图象恒过定点 P, P 在幂函数 f (x)的图象上, 则 f (9)= 2
1 3

11. 函数 y ? loga (2 x ? 3) ? 12.函数 y ? sin

?
3

x 在区间[0,a]上至少取得 2 个最大值,则正整数 a 的最小值为_________8

x 13、 已知 a ? {x | ( ) ? x ? 0} , 则f? x

1 3

lg ( ax ? ?o

2

2 ?x 3 ) ?

的减区间为

(3, +?)

14. 声强级 L1(单位: dB) 由公式:L1 ? 10 lg ?

? I ? 2 给出, 其中 I 为声强 (单位:W / m ) ?12 ? ? 10 ?

(1) 一 般 正 常 人 听 觉 能 忍 受 的 最 高 声 强 为 1W / m 2 , 能 听 到 的 最 低 声 强 为
10?12W / m2 。则人听觉的声强级范围是
?6 2 (2)平时常人交谈时的声强约为 10 W / m ,则其声强级为

; [0,120]

60

15. 已知 x ? R ,符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ( x) ? 下四个结论: ①函数 f ( x) 的值域为[0,1]; ③函数 f ( x) 是(0, ?? )上的减函数;

[ x] ( x ? 0) ,则给出以 x

②函数 f ( x) 的图象是一条曲线; ④函数 g ( x) ? f ( x) ? a 有且仅有 3 个零点时

3 4 ?a? . 4 5
其中正确的序号为_______________.④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16. 已知函数 f(x)=

+ 2?x 2ax 的定义域为 A, 关于 x 的不等式 2 <2a x 的解集为 B, 求 x ?1

使 A∩B=A 的实数 a 的取值范围.

解:由 ?

?(2 ? x)( x ? 1) ? 0 ? 1 ? x ? 2 , 即 A ? (1, 2] ????2 分 ?x ? 1

由 2ax ? a ? x ? (2a ? 1) x ? a(*) ???????????3 分 又 A ? B ? A ? A ? B ???????????????5 分 故①当 a ? 分 ②当 a ? ③当 a ? 分 综合①②③可知: a ?
2 ??????????????????????????12 3 1 时(*)式 x ? R 满足 A ? B ????9 分 2 1 a 时(*)式即 x ? 2 2a ? 1 1 a 时(*)式即 x ? 2 2a ? 1



1 a ? 1 ? a ? 2a ? 1 ? a ? 1 ,此时 a ? ????7 2a ? 1 2



a 2 1 2 ? 2 ? a ? 4a ? 2 ? a ? ,此时 ? a ? ;?11 2a ? 1 3 2 3

分 另解:(*)式 (2a ? 1) x ? a ? 0 分 由 A ? B 可知, 对 x ? (1,2]

记 g ( x) ? (2a ? 1) x ? a ???????????????8
g ( x )? 0 恒成立??????????????????10

分 ? g (1) ? 0 2 ?? ? a ? ????????????????????????????12 分 3 ? g (2) ? 0 17. (本小题满分 12 分) (1)已知角 ? 的终边上有一点 P( x, ?1) ? x ? 0? ,且 tan ? ? ? x ,求 sin ? , cos ? ;

(2)已知函数 f ? x ? ? 的值。

1 ? sin( x ?

3? ? 3 ) ? cos( x ? ) ? tan ? 2 2 4 ,设 tan ? ? ? 4 ,求 f ?? ? 3 cos x

18.函数 f ( x) ? A sin(? x ? 之间的距离为

?
6

) ? 1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴

?
2

,

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 的对称中心的坐标, (3)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

解:( 1) A ? 1 ? 3, ? A ? 2,又 函数图象相邻对称轴间的距离为半个周期, T ? 2? ? ? ? .T ? ? .? ? ? ? 2, ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1. 2 2 T 6
(2) ? ? ??

k ?2

1 ?, 1) 12

? ? ? 1 (2) f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2,? sin(? ? ) ? , 2 6 6 2
0 ?? ?

?
2

,??

?
6

?? ?

?
6

?

?
3

,?? ?

?
6

?

?
6

,?? ?

?
3

.

19. (12 分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明: “活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度 v (单位:千克 /年)是养殖密度 x (单位:尾/立方米)的函数.当 x 不超过 4(尾/立方米)时, v 的 值为 2 (千克/年);当 4 ? x ? 20 时, v 是 x 的一次函数;当 x 达到 20 (尾/立方米) 时,因缺氧等原因, v 的值为 0 (千克/年)。 (1)当 0 ? x ? 20 时,求函数 v( x) 的表达式; (2)当养殖密度 x 为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米) f ( x) ? x ? v( x) 可 以达到最大,并求出最大值. 解:(1)由题意:当 0 ? x ? 4 时, v ? x ? ? 2 ; 当 4 ? x ? 20 时,设 v?x ? ? ax ? b ,显然 v?x ? ? ax ? b 在 [4, 20] 是减函数,

1 ? a?? ? ?20a ? b ? 0 ? 8 由已知得 ? ,解得 ? ? 4a ? b ? 2 ?b ? 5 ? ? 2

?2, ? 故函数 v?x ? = ? 1 5 ?? x ? , 2 ? 8

0 ? x ? 4, x ? N * 4 ? x ? 20, x ? N *

?2 x, 0 ? x ? 4, x ? N * ? (2)依题意并由(1)可得 f ?x ? ? ? 1 2 5 4 ? x ? 20, x ? N *. ? ? x ? x, 2 ? 8
当 0 ? x ? 4 时, f ?x ? 为增函数,故 fmax ? x ? ? f (4) ? 4 ? 2 ? 8 ; 当 4 ? x ? 20 时, f ? x ? ? ? x 2 ?

1 8

5 1 1 100 , x ? ? ( x 2 ? 20 x) ? ? ( x ? 10)2 ? 2 8 8 8

2

fmax ? x ? ? f (10) ? 12.5 .
所以,当 0 ? x ? 20 时, f ?x ? 的最大值为 12.5 . 当养殖密度为 10 尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值约为 12.5 千克/立 方米.

20.已知指数函数 y ? g ( x ) 满足:g(2)=4,定义域为 R 的函数 f ( x ) ?
(1)确定 y ? g ( x ) 的解析式;(2)求 m,n 的值; (3)若对任意的 t ? R ,不等式 求实数 k 的取值范围。

? g( x ) ? n 是奇函数。 2 g( x ) ? m

f (t 2 ? 2t ) ? f (2t 2 ? k ) ? 0 恒成立,

解:(1)y=g(x)=2x;

(2) 由 (1) 知:

, 因为 f(x)是奇函数, 所以 f(0)=0, 即



∴ ∴m=2,n=1。

,又由 f(1)=-f(-1)知,

(3)由( 2 )知, 又 因

,易知 f(x) 在 (- ∞, + ∞ ) 上为减函数, 等 价 于 ,

f(x) 是 奇 函 数 , 从 而 不 等 式 : , 因 f(x) 为 减 函 数 , 由 上 式 推 得 :

即对一切 t∈R 有:

,从而判别式



∴实数 k 的取值范围是(-∞,

)。

? x? y ) =f (x)sinα 21. 设角 α∈(0, ), f (x)的定义域为[0, 1], f (0)=0, f (1)=1, 当 x≥y 时, 有 f( 2 2
+(1-sinα)f (y)
1 1 (1) 求 f ( ) 、 f ( ) 的值;(2) 求 α 的值;(3) 设 g(x)=4sin(2x+α)-1,且 lgg(x)>0,求 g(x)的 2 4

单调区间

1 1? 0 (1) f ( ) ? f ( ) ? f (1) sin? ? (1 ? sin? ) f (0) ? sin? 2 2

1 ?0 1 1 f( )? f(2 ) ? f ( ) sin? ? (1 ? sin? ) f (0) ? sin2 ? 4 2 2 1 1? 3 1 (2) f ( ) ? f ( 2 ) ? f (1) sin? ? (1 ? sin? ) f ( ) ? sin? ? (1 ? sin? ) sin? ? 2 sin? ? sin2 ? 4 2 2 3 1 ? 1 3 1 f ( ) ? f ( 4 4 ) ? f ( ) sin? ? (1 ? sin? ) f ( ) ? (2 sin? ? sin2 ? ) sin? ? (1 ? sin? ) sin2 ? ? 3 sin2 ? ? 2 sin3 ? 2 2 4 4
∴sinα=3sin2α-2sin3α,解得 sinα=0 或 sinα=1 或 sinα= ∵α∈(0,
1 2

? 1 ? ),∴sinα= ,α= 2 2 6
1 ? ? ? 5? )> , +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z 2 6 6 6 6

(3) ∵lgg(x)>0,∴g(x)>1,sin(2x+ 由函数图象可知,g(x)的递增区间为 g(x)的递减区间为

? ? ? ? +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,kπ≤x≤ +kπ,k∈Z 2 6 6 6

? ? 5? ? ? +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ, +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z 2 6 6 6 3


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