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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标,文科)配套课件 5.4 平面向量应用举例


数学 A(文)

第五章 平面向量

§5.4 平面向量应用举例

? 基础知识·自主学习 ? 题型分类·深度剖析 ? 思想方法·感悟提高

? 练出高分

基础知识·自主学习
1.向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧:

知识梳理

公式表示 线平行、点 共线向量 a∥b? a=λb ? x1y2-x2y1=0 ,
共线等问题 定理 数量积的 其中a=(x1,y1),b=(x2,y2) b=0 ? x1x2+y1y2=0 , a⊥b? a· a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中a,

问题类型

所用知识

垂直问题

运算性质

b为非零向量

基础知识·自主学习

知识梳理

a· b |b| (θ为向量a,b 夹角问题 数量积的定义 cos θ= |a|· 的夹角)

其中a=(x,y) (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤: 设向量 运算 还原 平面几何问题 ———→ 向量问题 ——→ 解决向量问题 ——→

长度问题 数量积的定义

2 2 x + y a =_______, |a|=____
2

解决几何问题

基础知识·自主学习
2.平面向量与其他数学知识的交汇

知识梳理

平面向量作为一个运算工具,经常与函数、不等式、三角函数、

数列、解析几何等知识结合,当平面向量给出的形式中含有未知
数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关

系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列
的综合问题. 一是利用平面向量平行或垂直的充要条件;二是利用向量数量积 的公式和性质.

此类问题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种:

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) → → (1)若 AB∥AC ,则A,B,C三点共线.( √ ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可

以用向量解决.( √ ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的 转化的主要手段是向量的坐标运算.( √ )

基础知识·自主学习
? 思考辨析

知识梳理

→ → <0,则△ABC为钝角三角形.( × ) (4)在△ABC中,若AB · BC

(5)已知平面直角坐标系内有三个定点 A(-2,-1),B(0 , → → → → 10),C(8,0),若动点P满足:OP=OA+t(AB+AC) ,t?R, 则点P的轨迹方程是x-y+1=0.( √ )

基础知识·自主学习 题号
1 2 3

考点自测

答案
B B

解析

4

解析 ∵a· b=(1, 3)· (3,m)=3+ 3m,
π 又 a· b= 1 +? 3? × 3 +m ×cos 6,
2 2 2 2

π ∴3+ 3m= 1 +? 3? × 3 +m ×cos 6,
2 2 2 2

∴m= 3.

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 形ABCD是正方形,P 是对角线DB上的一点 (不包括端点),E,F分别在边BC,

DC 上,且四边形 PFCE 是矩形,
试用向量法证明:PA=EF.

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 形ABCD是正方形,P 是对角线DB上的一点

正方形中有垂直关系,
因此考虑建立平面直角 坐标系,求出所求线段

(不包括端点),E,F分别在边BC, 对应的向量,根据向量 DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 知识证明. 试用向量法证明:PA=EF.

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 形ABCD是正方形,P 2 2 则 A(0,1)DB ,P ( 2 λ, 2 λ), 是对角线 上的一点 2 ), E , 2 F分别在边BC, (不包括端点 E(1, 2 λ),F( 2 λ,0), DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 2 2 2 2 → → ∴PA=(- 2 λ,1- ), 试用向量法证明: PA= EF . EF=( 2 λ-1,- 2 λ), 2λ

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 2 2 2 2 → 2 ∴ | PA | = ? - λ ? + ? 1 - λ ? = λ - 2 λ + 1 , 形ABCD是正方形, P 2 2 是对角线 DB上的一点 2 2 2 → 2 |EF|= ? 2 λ-1? +?- 2 λ? = λ2- 2λ+1, (不包括端点),E,F分别在边BC,

DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, → → ∴|PA|=|EF|,即 PA=EF. 试用向量法证明:PA=EF.

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 形ABCD是正方形,P 是对角线DB上的一点

用向量方法解决平面几何 问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的

联系,用向量表示问题中 (不包括端点),E,F分别在边BC, 涉及的几何元素,将平面 DC 上,且四边形 PFCE 是矩形, 几何问题转化为向量问题; 试用向量法证明:PA=EF.

题型分类·深度剖析 题型一 向量在平面几何中 的应用
思维点拨 解析 思维升华

例1 如图所示,四边 形ABCD是正方形,P 是对角线DB上的一点

(2)通过向量运算,研究几
何元素之间的关系,如距

离、夹角等问题;

(不包括端点),E,F分别在边BC,(3)把运算结果“翻译”成

DC 上,且四边形 PFCE 是矩形,
试用向量法证明:PA=EF.

几何关系.

题型分类·深度剖析
(1)在边长为1的菱形ABCD中,∠BAD=60°, → → 等于( E是BC的中点,则 AC ) · AE 3+ 3 9 9 A. 3 B.2 C. 3 D.4 解析 建立如图平面直角坐标系, 跟踪训练1

3 3 1 则 A(- 2 ,0),C( 2 ,0),B(0,-2). 3 1 ∴E 点坐标为( 4 ,-4),

题型分类·深度剖析

1 → → 3 3 ∴AC=( 3,0),AE=( 4 ,-4),
3 3 9 → → ∴AC· AE= 3× 4 =4.

答案 D

题型分类·深度剖析
→ → → → (2)在△ABC所在平面上有一点P,满足PA +PB+PC=AB,

则△PAB与△ABC的面积的比值是( A ) 1 1 2 3 A.3 B.2 C.3 D.4
→ → 解析 由已知可得PC=2AP,
∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 1 易知 S△PAB=3S△ABC, 即 S△PAB∶S△ABC=1∶3.

题型分类·深度剖析 题型二
例2

向量在三角函数中的 应用

解析

思维升华

已知在锐角△ABC中,两向

量p=(2-2sin A,cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且p 与q是共线向量. (1)求A的大小;

题型分类·深度剖析 题型二
例2

向量在三角函数中的 应用

解析

思维升华

已知在锐角△ABC中,两向

量p=(2-2sin A,cos A+sin A), q=(sin A-cos A,1+sin A),且p 与q是共线向量. (1)求A的大小;

题型分类·深度剖析 题型二
例2

向量在三角函数中的 应用

解析

思维升华

解决平面向量与三角函数

已知在锐角△ABC中,两向 的交汇问题的关键:准确

量p=(2-2sin A,cos A+sin A), 利用向量的坐标运算化简 q=(sin A-cos A,1+sin A),且p 已知条件,将其转化为三 与q是共线向量. 角函数中的有关问题解决. (1)求A的大小;

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

?C-3B? 2 ? (2)求函数y=2sin B+cos? ? 2 ? ? ?

取最大值时,B的大小.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华
2

解 (2)y=2sin
?C-3B? 2 ? (2)求函数y=2sin B+cos? ? 2 ? ? ?

?C-3B? ? B+cos? ? 2 ? ? ?

取最大值时,B的大小.

=2sin2B+ ?180° -B-A-3B? ? ? cos? ? 2 ? ? =2sin2B+cos(2B-60°)

=1-cos 2B+cos(2B-60°)
=1-cos 2B+cos 2Bcos 60°

+sin 2Bsin 60°

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

?C-3B? 2 ? (2)求函数y=2sin B+cos? ? 2 ? ? ?

= 1 - cos 2B + sin 2B = 1 +sin(2B-30°), 当2B-30°=90°, 即 B = 60°时,函数取最

取最大值时,B的大小.

大值2.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

?C-3B? 2 ? (2)求函数y=2sin B+cos? ? 2 ? ? ?

解决平面向量与三角函数

的交汇问题的关键:准确
利用向量的坐标运算化简 已知条件,将其转化为三 角函数中的有关问题解决.

取最大值时,B的大小.

题型分类·深度剖析
跟踪训练2 (1)已知a ,b,c为△ABC的三个内角 A,B,C ) 的对边,向量m=( 3 ,-1),n=(cos A,sin A).若m⊥n, 且acos B+bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为( π π 2π π π π π π A.6,3 B. 3 ,6 C.3,6 D.3,3



? π? ? 2cos?A+6? ?=0, ? ?

题型分类·深度剖析
π π 7π ∵6<A+6< 6 , π π π ∴A+6=2,即 A=3. 又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A

=2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π ∴sin C=1,C=2, π π π ∴B=π-3-2=6. 答案 C

题型分类·深度剖析
(2)△ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c, 设向量m=(a+b,sin C),n=( 3 a+c,sin B-sin A),若 m∥n,则角B的大小为________.

解析 ∵m∥n,
∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3 a+c)=0,
a b c 又∵sin A=sin B=sin C,

题型分类·深度剖析
则化简得 a2+c2-b2=- 3ac,
a2+c2-b2 3 ∴cos B= 2ac =- 2 ,
5π ∵0<B<π,∴B= 6 .
答案
5π 6

题型分类·深度剖析 题型三 平面向量在解析几何
解析 思维升华

中的应用
→ 例 3 (1)已知向量OA=(k,12), → → OB=(4,5), OC=(10, k), 且 A、 B、C 三点共线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1) 的直线方程为________.

题型分类·深度剖析 题型三 平面向量在解析几何
解析 思维升华

中的应用
→ 例 3 (1)已知向量OA=(k,12), → → OB=(4,5), OC=(10, k), 且 A、 B、C 三点共线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1) 的直线方程为________.

解析

→ → → ∵AB=OB-OA=

(4-k,-7), → → → BC=OC-OB=(6,k-5), → → 且AB∥BC,

∴(4-k)(k-5)+6×7=0,
解得 k=-2 或 k=11.

题型分类·深度剖析 题型三 平面向量在解析几何
解析 思维升华

中的应用
→ 例 3 (1)已知向量OA=(k,12), → → OB=(4,5), OC=(10, k), 且 A、 B、C 三点共线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1) 的直线方程为________.

当k<0时可知k=-2,
则过点(2,-1)且斜率为k

=- 2 的直线方程为 y + 1
=-2(x-2),

即2x+y-3=0.

题型分类·深度剖析 题型三 平面向量在解析几何
解析 思维升华

中的应用
→ 例 3 (1)已知向量OA=(k,12), → → OB=(4,5), OC=(10, k), 且 A、 B、C 三点共线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1) 的直线方程为________.

向量的共线和数量积在解 析几何中可以解决一些平 行、共线、垂直、夹角及 最值问题,在解题中要充 分重视数量积及其几何意 义的作用.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)设 O 为坐标原点, C为

圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆 → → 上有一点 M(x, y)满足OM· CM= y 0,则x=________.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)设 O 为坐标原点, C为

解析

→ → ∵ OM · CM = 0 ,

圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆 → → 上有一点 M(x, y)满足OM· CM= y 0,则x=________.

∴OM⊥CM,

∴OM 是圆的切线,设 OM

的方程为 y=kx, |2k| 由 得 k=± 3, 2= 3, 1+k y 即x=± 3.

题型分类·深度剖析
解析 思维升华

例3

(2)设 O 为坐标原点, C为

向量的共线和数量积在解 析几何中可以解决一些平 行、共线、垂直、夹角及 最值问题,在解题中要充 分重视数量积及其几何意 义的作用.

圆(x-2)2+y2=3 的圆心,且圆 → → 上有一点 M(x, y)满足OM· CM= y 0,则x=________.

题型分类·深度剖析
跟踪训练3 (2013· 湖南改编)已知a,b是单位向量,a· b=0.

若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为________.
解析 方法一 ∵a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 a· b=0,∴a⊥b,∴|a+b|= 2.
∴|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1. ∴c2-2c· (a+b)+1=0. ∴2c· (a+b)=c2+1. ∴c2+1=2|c||a+b|cos θ(θ是c与a+b的夹角).

题型分类·深度剖析

方法二 建立如图所示的直角坐标系, 由题意知a⊥b,且a与b是单位向量, → → → ∴可设OA=a=(1,0),OB=b=(0,1),OC=c=(x,y).

题型分类·深度剖析
∴c-a-b=(x-1,y-1), ∵|c-a-b|=1, ∴(x-1)2+(y-1)2=1, 即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.
而|c|= x2+y2, ∴|c|的最大值为|OM|+1, 即|c|max= 2+1.

题型分类·深度剖析
审题路线图系列3 三审图形抓特点 典例:如图所示,把两块斜边长相等的直角三角板拼在一 起,若=x+y,则x=________,y=________.

审 题 路 线 图

解 析

温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

图形由一副三角板构成

↓(注意一副三角板的特点)
令|AB|=1,|AC|=1

↓(一副三角板的两斜边等长)
|DE|=|BC|=

↓(非等腰三角板的特点)

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

3 6 |BD|=|DE|sin 60° = 2× 2 = 2 ↓(注意∠ABD=45° +90° =135° ) → → AD在AB上的投影即为 x 6 2 3 ↓x=|AB|+|BD|cos 45° =1+ 2 × 2 =1+ 2 → → ↓AD在AC上的投影即为 y 6 2 3 ↓y=|BD|· sin 45° =2×2=2.

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

方法一 结合图形特点, → → 设向量AB,AC为单位向量, → → → → → → 由AD=xAB+yAC知,x,y 分别为AD在AB,AC上的投影. 解析

又|BC|=|DE|= 2, 6 → → ∴|BD|=|DE|· sin 60° =2. → → ∴AD在AB上的投影

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

6 6 2 3 x=1+ 2 cos 45° =1+ 2 × 2 =1+ 2 , 6 3 → → AD在AC上的投影 y= 2 sin 45° =2. → → → → → → 方法二 ∵AD=xAB+yAC,又AD=AB+BD, → → → → ∴AB+BD=xAB+yAC, → → → ∴BD=(x-1)AB+yAC. → → 又AC⊥AB,

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

→ → →2 ∴BD· AB=(x-1)AB .
→ → → 设|AB|=1,则由题意|DE|=|BC|= 2.
又∠BED=60° ,
6 → → → ∴|BD|= 2 .显然BD与AB的夹角为 45° . → → →2 ∴由BD· AB=(x-1)AB ,

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

6 得 2 ×1×cos 45° =(x-1)×12. 3 ∴x= 2 +1. 3 → → → 同理,在BD=(x-1)AB+yAC两边取数量积可得 y= 2 .
答案

3 1+ 2

3 2

题型分类·深度剖析
审 题 路 线 图 解 析 温 馨 提 醒

突破本题的关键是,要抓住图形的特点(图形由一副三角板
构成).根据图形的特点,利用向量分解的几何意义,求解

方便快捷.方法二较方法一略显繁杂.

思想方法·感悟提高
1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这

方 法 与 技 巧

就为向量和函数的结合提供了前提,运用向量的

有关知识可以解决某些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与
函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问

题 . 通过向量的坐标运算,将问题转化为解不等式
或求函数值域,是解决这类问题的一般方法.

思想方法·感悟提高
1.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不 等价.
2.注意向量共线和两直线平行的关系. 3. 利用向量解决解析几何中的平行与垂直,可有效解
决因斜率不存在使问题漏解的情况.

失 误 与 防 范

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.(2014· 福建)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,O → → → 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一点, 则OA+OB+OC → +OD等于( ) → → A.OM B.2OM → → C.3OM D.4OM

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以 → → 点 M 是 AC 和 BD 的中点,由平行四边形法则知OA+OC= → → → → → → → → → 2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM. 解析

答案 D

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → → → → 2.平面四边形ABCD中, AB+CD=0,(AB-AD)· AC=0

则四边形ABCD是( D ) B.梯形 C.正方形 D.菱形 → → → → → 解析 AB+CD=0? AB=-CD=DC?四边形 ABCD → → → → → → → 是平行四边形,(AB-AD)· AC=DB· AC=0?DB⊥AC,
所以平行四边形 ABCD 是菱形.

A.矩形

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → → →2 3.在△ABC中, 则△ABC 的形状一定 (BC+BA)· AC=|AC| ,

是(

) B.等腰三角形

A.等边三角形

C.直角三角形

D.等腰直角三角形

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → → →2 解析 由(BC+BA)· AC=|AC| , → → → → 得AC· (BC+BA-AC)=0, → → → → → → 即AC· (BC+BA+CA)=0,2AC· BA=0, → → ∴AC⊥BA,∴A=90° . → → 又根据已知条件不能得到|AB|=|AC|,

故△ABC一定是直角三角形.

答案 C

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → =x2-6, 4.已知点A(-2,0)、B(3,0),动点P(x,y)满足 PA · PB

则点P的轨迹是( D )

A.圆
C.双曲线

B.椭圆
D.抛物线

→ → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → ∴PA· PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2-6,∴y2=x.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π 5.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)在 一个周期内的图象如图所示,M,N 分别是这 → → 段图象的最高点和最低点,且OM· ON=0(O 为 坐标原点),则 A 等于( ) π 7 7 A.6 B. 12 π C. 6 π 7 D. 3 π

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π 7 解析 由题意知 M(12,A),N(12π,-A),
7 → → π 又OM· ON=12×12π-A2=0,
7 ∴A= 12 π.

答案 B

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

15 → → 6.已知在△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= 4 ,|a|

150° =3,|b|=5,则∠BAC=________.
→ → 解析 ∵AB· AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC=2|a||b|sin∠BAC= 4 . 1 ∴sin∠BAC=2,∴∠BAC=150° .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

8.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3), → → → → 动点 P(x,y)满足不等式 0≤OP· OM≤1,0≤OP· ON≤1,则 z= → → 3 OQ· OP的最大值为________. → → → 解析 ∵OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP· OM=x+y,OP· ON=y, ? ?0≤x+y≤1, 即在? 条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规 ? ?0≤y≤1
划知识,当 x=0,y=1 时,zmax=3.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ → 又∵AE=2EB,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

即(x-a,y)=2(-x,a-y),
?x-a=-2x, 2 a ∴? 解得 x=3,y=3a. ?y=2a-2y,

a a → ∵AD=(0,2)-(a,0)=(-a,2),
a 2 → → OE=CE=(3,3a),

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

a 2 a → → ∴AD· CE=-a×3+3a×2
1 2 1 2 =-3a +3a =0.
→ → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10. 已知 A , B , C 三点的坐标分别为 A(3,0) , B(0,3) , π 3π C(cos α,sin α),其中α?(2, 2 ). → → (1)若|AC|=|BC| ,求角α的值. → 解 ∵AC=(cos α-3,sin α), → BC=(cos α,sin α-3), → ∴|AC|= ?cos α-3?2+sin2α= 10-6cos α,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

→ |BC|= 10-6sin α.

→ → 由|AC|=|BC|得 sin α=cos α,

π 3π 5 又 α?(2, 2 ),∴α=4π.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+4)的值.
解 → → 由AC· BC=-1,

得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1,

2 π 2 ∴sin α+cos α=3,∴sin(α+4)= 3 >0.
π 3π 由于2<α< 2 ,

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3π π ∴ 4 <α+4<π,
π 7 ∴cos(α+4)=- 3 . π 14 故 tan(α+4)=- 7 .

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14
? ?x,x≥y, ? ? ?y,x<y,

15

11.(2014· 浙 江 ) 记 max{ x , y} =
? ?y,x≥y, ? ? ?x,x<y,

min{x , y} =

设 a,b 为平面向量,则 (

)

A.min{| a+b|,|a-b|}≤min{| a|,|b|} B.min{| a+b|,|a-b|}≥min{| a|,|b|} C.max{| a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{| a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

解析 由于|a+b|,|a-b|与|a|,|b|的大小关系与夹角大小有关,
故A,B错.

当a,b夹角为锐角时,|a+b|>|a-b|,
此时,|a+b|2>|a|2+|b|2;

当a,b夹角为钝角时,|a+b|<|a-b|,
此时,|a-b|2>|a|2+|b|2; 当a⊥b时,|a+b|2=|a-b|2=|a|2+|b|2,故选D. 答案 D

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

12.(2013· 浙江)设△ABC,P0 是边 AB 上一定点,满足 P0B 1 → → → → =4AB, 且对于边 AB 上任一点 P, 恒有PB· PC≥P0B· P0C, 则( ) B.∠BAC=90° D.AC=BC A.∠ABC=90° C.AB=AC

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

设 BC 中点为 M, → → ? ?→ → ? → → ? ? ? ? ? 则PB· PC=?PB+PC?2-?PB-PC?2 2 2 ? ? ? ? → 2 1→2 =PM -4CB , → → → 2 1→2 同理P0B· P0C=P0M -4CB , → → → → ∵PB· PC≥P0B· P0C恒成立, 解析

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

→ → ∴|PM|≥|P0M|恒成立.

即 P0M⊥AB,
1 取 AB 的中点 N,又 P0B=4AB, 则 CN⊥AB,∴AC=BC.故选 D.

答案

D

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

→ → → 13.已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3 -m),若∠ABC 为锐角,则实数 m 的取值范围是________. → → → 解析 由已知得AB=OB-OA=(3,1),
→ → → AC=OC-OA=(2-m,1-m). → → 若AB∥AC,则有 3(1-m)=2-m, 1 解得 m=2.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

→ → 由题设知,BA=(-3,-1),BC=(-1-m,-m).

3 1 1 故当∠ABC 为锐角时,实数 m 的取值范围是(-4,2)∪(2,+∞). 3 1 1 答案 (-4,2)∪(2,+∞)

∵∠ABC 为锐角, → → ∴BA· BC=3+3m+m>0, 3 可得 m>-4. 1 → → 由题意知,当 m=2时,AB∥AC.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

14.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2, 解析 方法一

→ → BC=1,P是腰DC上的动点,则 |PA+3PB| 的最小值为________.
以D为原点,分别以DA、DC所在直线为x、y轴
建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,

DP=x.
∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

→ → 方法二 设DP=xDC(0<x<1). → → ∴PC=(1-x)DC,

→ → PA=(2,-x),PB=(1,a-x), → → ∴PA+3PB=(5,3a-4x), → → |PA+3PB|2=25+(3a-4x)2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

→ → → → → PA=DA-DP=DA-xDC,

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

→ → 5→ → ∴PA+3PB=2DA+(3-4x)DC, 5 → → 2 25 → 2 → → 2 →2 |PA+3PB| = 4 DA +2×2×(3-4x)DA· DC+(3-4x) · DC
→ =25+(3-4x)2DC2≥25, → → ∴|PA+3PB|的最小值为 5.

→ → → → 1→ PB=PC+CB=(1-x)DC+2DA.

答案 5

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

15.在△ABC 中,设内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 向量 m=(cos A,sin A),向量 n=( 2-sin A,cos A),若 |m+n|=2. (1)求内角 A 的大小;

解 |m+n|2=(cos A+ 2-sin A)2+(sin A+cos A)2=4+ π 2 2(cos A-sin A)=4+4cos(4+A).

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

π ∵4+4cos(4+A)=4, π ∴cos(4+A)=0. π π π ∵A?(0,π),∴4+A=2,A=4.

练出高分
11

B组
12

专项能力提升
13

14

15

(2)若 b=4 2,且 c= 2a,求△ABC 的面积.
由余弦定理知:a2=b2+c2-2bccos A, π 2 2 2 即 a =(4 2) +( 2a) -2×4 2× 2acos4, 解得 a=4 2,∴c=8. 解
1 2 ∴S△ABC=2×4 2×8× 2 =16.


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