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零基础考研,必须重新背诵的初高中基础数学公式


零基础考研,必须重新背诵的初高中数学公式 整数(包括:正整数、 负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如:-3,0、 ,0.231,0.737373?, , . ,0.1010010001?(两个1之间依次多1个0).

无限不环循小数叫做无理数..如:π ,- 有理数和无理数统称为实数.

幂的运算性质:①am×an=

am+n.②am÷an=am-n.③(am)n=amn.④(ab)n=anbn.⑤( )n=n.⑥a-n=n,特别:()-n=( )n.⑦a0=1(a≠0) 乘法公式(反过来就是因式分解的公式):①(a+b)(a-b)=a2-b2.②(a±b)2=a2±2ab+b2.③(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3.④(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3; 一元二次方程:对于方程:ax2+bx+c=0: ①求根公式是x= ,其中Δ =b2-4ac叫做根的判别式.

当Δ >0时,方程有两个不相等的实数根; 当Δ =0时,方程有个相等的实数根; 当Δ <0时,方程没有实数根.注意:当Δ ≥0时,方程有实数根. ③若方程有两个实数根x1和x2,则 x1+x2=- ,x1x2= , 并且二次三项式ax2+bx+c可分解为a(x-x1)(x-x2). ④以a和b为根的一元二次方程是x2-(a+b)x+ab=0. 不等式两边都乘以或除以同一个负数,不等号要改变方向. 平面直角坐标系: ①各限象内点的坐标如图所示. ②横轴(x轴)上的点,纵坐标是0;纵轴(y轴)上的点,横坐标是0. ③关于横轴对称的两个点,横坐标相同(纵坐标互为相反数); 关于纵轴对称的两个点,纵坐标相同(横坐标互为相反数); 关于原点对称的两个点,横坐标、纵坐标都互为相反数. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标).当k>0时,y随x的 增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别:当 b=0时,y=kx又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点.

反比例函数y= (k≠0)的图象叫做双曲线.当k>0时,双曲线在一、三象限(从左向右降);当k<0 时,双曲线在二、四象限(从左向右上升).因此,它的增减性与一次函数相反. 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线(c是抛物线与y轴的交点的纵坐标).①a>0时, 开口向上;a<0时,开口向下.②顶点坐标是(- , ),对称轴是直线x=- .

特别:抛物线y=a(x-h)2+k的顶点坐标是(h,k),对称轴是直线x=h. 注意:求解析式的设法①已知三个点的坐标,则设为一般形式y=ax2+bx+c;②已知顶点坐标 (h,k),则设为顶点式y=a(x-h)2+k;③已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1,0)和(x2,0),则设 为交点式y=a(x-x1)(x-x2). 抛物线与x轴的位置关系:对于抛物线y=ax2+bx+c①Δ <0时,它与x没有交点.②Δ =0时,它与x 轴只有一个交点(与x轴相切).③Δ >0时,它与x轴有两个交点(x1,0)和(x2,0),其中x1和x2是方 程ax2+bx+c=0的两个根. 三角函数: ①设∠A是RtΔ 的任一锐角,则∠A的正弦:sinA= 切:tanA= ,∠A的余切:cotA= . ,∠A的余弦:cosA= ,∠A的正

②余角公式:sin(900-A)=cosA,cos(900-A)=sinA,tg(900-A)=ctgA,ctg(900-A)=tgA. ③特殊角的三角函数值:sin300=cos600= ,sin450=cos450= cos900=0,sin900=cos00=1,tan300=cot600= ,tan00=cot900=0. 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) sin(90° -α)= cosα cos(90° -α)= sinα sin(270° -α)= -cosα cos(270° -α)= -sinα sin(180° -α)= sinα cos(180° -α)= -cosα sin(360° -α)= -sinα cos(360° -α)= cosα sin(90° +α)= cosα cos(90° +α)= -sinα sin(270° +α)= -cosα cos(270° +α)= sinα sin(180° +α)= -sinα cos(180° +α)= -cosα sin(360° +α)= sinα cos(360° +α)= cosα ,sin600=cos300= ,sin00=

,tan450=cot450=1,tan600=cot300=-

这些公式左边为90°的1,2,3,4倍再加(或减)α 的和(或差)的正弦,余弦。公式右边有时 是α 的正弦,有时是α 的余弦。它们有时一致有时相反,其中的规律为“奇变偶不变”例 如:cos(270°-α )=-sinα 中,270°是90°的3(奇数)倍所以cos变为sin,即奇变。又如, sin(180°+α )=-sinα 中,180°是90°的2(偶数)倍所以sin还是sin,即偶不变。

公式右边有时是正,有时是负.其中的规律为“符号看象限” 例如: cos(270°-α )= - sinα 中, 视α 为锐角,270°-α 是第三象限角,第三象限角的余弦 为负,所以等式右边有负号. sin(180°+α )= - sinα 中, 视α 为锐角,180°+α 是第三象限角,第三象限角的正弦为负, 所以等式右边有负号.这就是“符号看象限”的含义. 注意:公式中α 可以不是锐角,只是为了记住公式,视α 为锐角 和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b2 sin(? ? ? )

(辅助角 ? 所在象限由点 ( a, b) 的象限决定, tan ? ?

b ) a

二倍角公式及降幂公式
sin 2? ? sin ? cos ? ?
2 2

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2cos ? ?1 ? 1 ? 2sin ? ?
tan 2? ? sin 2 ? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ? tan ? ?

1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ?

sin 2? 1 ? cos 2? ? 1 ? cos 2? sin 2?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2

圆的知识: 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心就是三内角平分线的交点.三角形的 外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形的外心就是三边中垂线的交点. S圆=πR2. C圆周长=2π R. 弧长L= . S扇形= = LR. S圆柱侧=底面周长×高.

4 3 球的半径是R,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R2 . 3

椭圆

? x ? a cos? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? a2 b ? y ? b sin ?
b2 。 c

准线到中心的距离为

a2 ,焦点到对应 c

准线的距离(焦准距) p ?

b x2 y 2 x2 y 2 ?渐近线方程: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a a b a b

充要条件: (1)、 p ? q ,则P是q的充分条件,反之,q是p的必要条件; 常见函数的图像:
y
y
y
y

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

1 a>1

x

y=kx+b

y=ax2+bx+c

指数式与对数式的互化式: loga N ? b ? ab ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 指数性质: m 1 ?p 0 mn m n r s r ?s (1) a ? p (2) a ? 1 ( a ? 0 )(3) a ? (a ) (4) a ? a ? a (a ? 0, r, s ? Q) (5) a n ? n a m a 指数函数: (1) y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1) 对数性质: M (1) loga M ? loga N ? loga (MN )(2)log a M ? log a N ? log a ; (3) loga bm ? m ? loga b N n (4) log am b n ? ? log a b (5) loga 1 ? 0 (6) loga a ? 1 (7) a loga b ? b m 对数函数: (1) y ? loga x(a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) y ? loga x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调 递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0)(3) loga x ? 0 ? a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) (4) loga x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??) 或 a ? (1, ??)则x ? (0,1) log m N 对数的换底公式 : log a N ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a 对数恒等式: a loga N ? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). n 推论 log am b n ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 M ? log a M ? log a N (3) loga M n ? n loga M (n ? R) (4) (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N (2) log a N n log am N n ? log a N (n, m ? R) 。 m 等差数列: 通项公式: (1) an ? a1 ? (n ?1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末项。 (2)推广: an ? ak ? (n ? k )d (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) n(a1 ? an ) n(n ? 1) S S d 前 n 项和: (1) n ? ; 其中 a1 为首项, 为项数, n 为末项。 n (2) n ? na1 ? a 2 2 (3) n ? Sn?1 ? an (n ? 2) (注: 该公式对任意数列都适用) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (4) (注: S 该公式对任意数列都适用)

常用性质: 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? ap ? aq ;注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 (1) 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (3) ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S 2m 也成等差数列。 、 (4) 、

ap ? , q p a 则 ? 0 qa ? , pq ?
等比数列:



(5)

1+2+3+?+n=

n( n ? 1) 2

a1 n (2)推 ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q 广: an ? ak ? qn?k (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) (注:该公式对任意数列都适用) 前 n 项和: (1)Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (注: 该公式对任意数列都适用) (2)Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

通项公式: (1) an ? a1q n ?1 ?

? na1 ? (注:该公式对任意数列都适用) (3) S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ;注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 (2) am2 ? an ? ap ? n、m、p 成等比。 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。 常用不等式: a, b ? R ? a 2 ? b2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). a?b ? ab ? a, b ? R ? 2 (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0). x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a . 2 2 x ? a ? x ? a ? x ? a x ? ?a 或 .
n! 排列数公式 : A = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = (n ? m)! n , m ∈N*,且 m ? n ).规定 0! ? 1 . .( m An n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! m m ? 1? 2 ? ? ? m 组合数公式: C n = Am = = m!(n ? m)! n ∈N*, m ? N ,且 m ? n ). (
m n

组合数的两个性质:(1) C n = Cn

m

n?m

m m?1 m 0 ;(2) C n + Cn = Cn?1 .规定 Cn ? 1 .

n 0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 二项式定理 (a ? b) ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 1, 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,2?,n) .

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? ?? an xn 的展开式的系数关系:
a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ? ?? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。


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