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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修2课件:1-2-1、2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图


成才之路· 数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第一章
空间几何体

第一章 空间几何体

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第一章
1.2 空间几何体的三视图和直观图

第一章 空间几何体

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第一章
1.2.1 1.2.2 中心投影与平行投影 空间几何体的三视图

第一章 空间几何体

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课前自主预习 基础巩固训练 思路方法技巧 能力强化提升 名师辨误做答

第一章

1.2

1.2.1、1.2.2

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课前自主预习

第一章

1.2

1.2.1、1.2.2

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温故知新 在初中,我们曾经学习过正方体、长方体、圆柱、圆 锥、球的三视图,并且知道了上述各种物体的三视图的形状 (对于复杂几何体的三视图未作深入探究),知道在上述物体 中,当一个几何体的三视图均为全等的图形时,该几何体可 能是球,也可能是正方体.完成下列练习为学新知打下基 础:

第一章

1.2

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1.如图,下列几何体是台体的是(

)

A.①② C.④

B.①③ D.①④

[答案] C
[解析] 台体是用平行于锥体底面的平面截得的.

第一章

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1.2.1、1.2.2

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2.分别将圆柱、圆台去掉两底,沿一母线剪开,展平得 到的平面图形依次为________、________.

[答案] 矩形

扇环

第一章

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3.2008年数学奥林匹克竞赛中,若你获得第一名,被授 予如图所示的奖杯,那么,请你介绍一下你所得的奖杯是由 哪些几何体组成的.

[答案] 该组合体由球、四棱柱和四棱台拼接而成.
第一章 1.2 1.2.1、1.2.2

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新课引入 古人有诗云:“横看成岭侧成峰,远近高低各不同.不 识庐山真面目,只缘自在此山中.”这首诗告诉我们,要注 意从不同的角度观察事物.下面的三个图形是从不同方向观 察某一物体的形象,你能分析出它代表什么吗?分析的依据 是什么?

第一章

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自主预习 阅读教材P11-15,回答: 1.投影 由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上 定义 可以留下这个物体的 影子 ,这种现象叫做 投影,其中,我们把光线叫做 投影线 ,把 留下物体影子的屏幕叫做 投影面

第一章

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中心 光由 一点 向外散射形成的投影, 叫做中 投影 心投影.中心投影的投影线交于 一点 分类 在一束 平行 光线照射下形成的投影, 叫 平行 做平行投影.平行投影的投影线是 平行 投影 的.在平行投影中,投影线 正对 着投影 面时,叫做正投影,否则叫做斜投影

第一章

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[破疑点]当图形中的直线或线段不平行于投影线时,平行 投影具有下述性质: (1)直线或线段的平行投影仍是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. (3)平行于投影面的线段,它的投影与这条线段平行且等 长. (4)与投影面平行的平面图形,它的投影与这个图形全等.

第一章

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下列说法: ①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于 一点; ②空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平行线可 能变成了相交的直线; ③几何体在平行投影与中心投影下有不同的 表现形式.

第一章

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其中正确说法的个数为( A.0 B.1

) C.2 D.3

[答案] D

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[解析]
序号 正误 ① √ 理由 由平行投影和中心投影的定义知,平行投影的投 影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点 空间图形经过中心投影后,直线变成直线,但平 ② √ 行线有可能变成相交线.如照片中由近到远物体 之间的距离越来越近,最后相交于一点 ③ √ 几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形 式

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2.三视图 正视图 分 类 光线从几何体的 前 面向 后 面正投影,得到 投影图,这种投影图叫做几何体的正视图 光线从几何体的 左 面向 右 面正投影,得到 投影图,这种投影图叫做几何体的侧视图 光线从几何体的 上 面向 下 面正投影,得到 投影图,这种投影图叫做几何体的俯视图

侧视图

俯视图

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说明 分 类 特征

几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为 几何体的 三视图 ,三视图是 正 投影 一个几何体的侧视图和正视图 高度 一 样,俯视图与正视图 长度 一样,侧视图 与俯视图 宽度 一样.

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[破疑点]三视图的排列规则是:先画正视图,俯视图安排 在正视图的正下方,长度与正视图一样;侧视图安排在正视图 的正右方,高度与正视图一样.正视图反映物体的主要形状特 征,是三视图中最重要的视图;俯视图与侧视图共同反映物体 的宽度要相等.即“正侧等高,侧俯等宽正俯等长”.

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如果一个几何体的正视图和侧视图都是长方形,那么这 个几何体可能是( A.正方体 C.长方体或圆台 ) B.圆柱或正方体 D.长方体或圆柱

[答案] D

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[解析]

根据三视图的概念,可知长方体或圆柱的正视图

和侧视图都可以是长方形.

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规律总结:本题也可利用排除法求解.正方体的三个视 图都是全等的正方形,所以不符合题目要求,这样就直接排 除了选项A、B、C.

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思路方法技巧

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平行投影与中心投影的概念
学法指导 考察一个几何体的投影是什么图形,首先要分清 楚是平行投影还是中心投影,投影面的位置如何.

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[例 1]

给出以下结论:

①矩形的平行投影一定是矩形;②梯形的平行投影一定是 梯形;③两条相交直线的投影可能平行;④如果一个三角形的 平行投影仍是三角形,那么它的中位线的平行投影一定是这个 三角形的平行投影的中位线.其中正确结论的序号是 ________.

[答案] ④

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[解析]

当平面图形与投影线都垂直于投影面时,①②都

错;两相交直线的平行投影一定不平行,③错;线段中点的投 影一定是线段的中点,故④正确.

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一图形的正投影是一条线段,则这个图形不可能是 ( ) A.线段 C.圆 B.长方体 D.梯形

[答案] B

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画简单几何体的三视图
学法指导 画三视图应遵循的原则和注意事项:

(1)务必做到长对正,高平齐,宽相等. (2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位 置,且正视图在左,侧视图在右,俯视图在正视图的正下 方. (3)若相邻两物体的表面相交,表面的交线是它们的分 界线.在三视图中,要注意实、虚线的画法.

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(4)确定正视、俯视、侧视的方向,同一物体放置的方向 不同,所画的三视图可能不同. (5)观察简单组合体是由哪几个简单几何体组成的,并注 意它们的组成方式,特别是它们的交线位置. (6)物体的三视图中,俯视图尤为重要.画几何体的三视 图要求我们有较强的空间想象能力,画完三视图草图后,要 再对照实物图来验证其正确性. 另外,画三视图时,解题的关键是找准投影的角度,并 按照三视图的画法规则精确作图.
第一章 1.2 1.2.1、1.2.2

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[例2]

画出如下图所示几何体的三视图.

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[解析]

图①为正六棱柱,可按棱柱的画法画出;图②为

一个圆锥与一个圆台的组合体,按圆锥、圆台的三视图画出它 们的组合形状.三视图如下图所示.

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规律总结:在画三视图时,要想象几何体的后面、右 面、下面各有一个屏幕,一组平行光线分别从前面、左面、 上面垂直照射,我们画的是影子的轮廓;再验证几何体的轮 廓线的虚实,看到的画实线,不能看到的画虚线.

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画出圆台(如图所示)的三视图.

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[答案]

圆台的三视图如图.

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规律总结:三视图的画法关键是分清观察者的方向,应 从正面、侧面、上面三个方向去观察图形,然后画出三视图. 三视图的训练有助于我们空间想象能力的培养,有助于我 们应用数学知识解决工程建设、 机械制造及日常生活中的问题.

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画简单组合体的三视图
[例3] 如下图所示,画出下列组合体的三视图.

[分析]

图①是一个长方体挖去一个四棱柱,图②是上

下叠起且轴线重合的三个圆柱组成的几何体.
第一章

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[解析]

三视图如下图①②所示.

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规律总结:画组合体的三视图时应注意它是由哪些简单 几何体生成的,认清相交面、相交线的位置.

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画出下图中几何体的三视图.

[分析]

图中几何体实际为组合体,下部是三个正方体,上

部是一个圆柱,按正方体和圆柱的三视图画法画出该组合体的 三视图.

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[解析]

该几何体的三视图如图所示.

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规律总结:画组合体的三视图的步骤:

画几何体的三视图时,能看见的轮廓线和棱用实线表 示,看不见的轮廓线和棱用虚线表示.
第一章 1.2 1.2.1、1.2.2

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探索延拓创新

第一章

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由三视图还原空间几何体
由三视图还原空间几何体的步骤:

第一章

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[例4] 结构特征.

某几何体的三视图如图所示,试分析该几何体的

[分析] 组合而成.

由三视图,知该几何体是由一个柱体和一个锥体

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[解析]

由正视图和侧视图可知,该物体的下半部分为柱

体,上半部分为锥体,又因俯视图为一个正六边形,故该几 何体是由一个正六棱柱和一个正六棱锥组合而成的,如图所 示.

第一章

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规律总结:根据三视图想象空间几何体时,需要根据几 何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特征,想象整个几何 体的几何特征,从而判断三视图所描述的几何体,通常是根 据俯视图判断是多面体还是旋转体,再结合正视图和侧视图 确定具体的几何结构特征,最终确定是简单几何体还是简单 组合体.

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下面是两个几何体的三视图.

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则(1)中几何体是______,(2)中几何体是________.
[答案] (1)三棱柱 (2)四棱锥

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[解析] 如图.

(1)中几何体是三棱柱,(2)中几何体是四棱锥,

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名师辨误做答

第一章

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易错点 [例 5]

虚线漏画或画为实线 画出如图所示几何体的正视图和俯视图.

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[错解]

正视图和俯视图,如图所示.

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[错因分析]

正视图的上边矩形中缺少几何体中间小圆柱

的轮廓线(用虚线表示);俯视图中的三个圆都应画为实线,因 为三个圆都是可见的.

第一章

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[思路分析]

三种视图中,可见的线都画成实线,存在但

不可见的线一定要画出,但要画成虚线;画三视图时,一定要 分清可见线与不可见线,避免出现错误.

第一章

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[正解]

正视图与俯视图如图所示.

第一章

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基础巩固训练

第一章

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1.下列图形中采用了中心投影画法的是(

)

[答案] A
第一章 1.2 1.2.1、1.2.2

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2.下列各项不属于三视图的是( A.正视图 C.后视图 B.侧视图 D.俯视图

)

[答案] C

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3.下列说法正确的是(

)

A.平行投影的投影线相交于一点,中心投影的投影线相 交于一点 B.平行投影的投影线相交于一点,中心投影的投影线互 相平行

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C.平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线互相 平行 D.平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交 于一点

[答案]

D

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4.已知△ABC,选定的投影面与△ABC所在平面平行, 则经过中心投影后所得的三角形与△ABC( A.全等 C.不相似 B.相似 D.以上都不对 )

[答案]

B

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5.一条直线在平面上的平行投影是( A.直线 C.线段
[答案] D

)

B.点 D.直线或点

[解析] 当投影线与直线平行时,投影是一个点;否则, 就是一条直线.

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6.下列说法错误的是(

)

A.正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了 物体的高度和长度 B.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了 物体的长度和宽度

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C.侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了 物体的高度和宽度 D.一个几何体的正视图和俯视图高度一样,正视图和侧 视图长度一样,侧视图和俯视图宽度一样

[答案]

D

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7.如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是图中的 ( )

[答案]

A

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[解析]

此题主要研究实物图到三视图的转化过程,正视

图是通过正面观察物体的形状,侧视图是从左侧面去观察,俯 视图是从上往下看物体的形状如何.从正面看是个矩形,从左 面看是个圆,从上往下看是一个矩形,对照图中的 A、B、C、 D,可知 A 是正确的.

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8.下面是某立体图形的三视图,请说出立体图形的名称.

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[解析]

该立体图形为长方体,如下图所示.

[点评] 目的关键.

想象力的培养与多观察实物相结合是解决此类题

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