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高中数学 第二章 第6讲 对数与对数函数


第6讲

对数与对数函数

分层训练 A 级

基础达标演练

(时间:30 分钟 满分:60 分)
一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 1 ?2 ? 1.(2012· 河北质检)已知函数 f(x)=log 2 (3x-a)的定义域为 ?3,+∞? ,则 a= ? ? ________. a a 2 解析 由 3x-a>0,得 x>3.由题意,得3=3,所以 a=2. 答案 2 ?log2x,x>0, ? ?1?? 2.(2013· 南京鼓楼区调研)已知函数 f(x)=? x 则 f?f?4??=________. ? ? ?? ?3 ,x≤0, 1 ?1? ? ?1?? 解析 因为 f?4?=log2 =-2,所以 f?f?4??= 4 ? ? ? ? ?? 1 f(-2)=3-2=9. 1 答案 9 1 ?1? 3.(2011· 北京海淀区期末)若 a=?2?0.3,b=0.3-2,c=log22,则 a,b,c 的大小 ? ? 关系为________. ?1? ?1? 解析 0<?2?0.3<?2?0=1,即 0<a<1,同理 b>1,而 c=-1,因此 b>a>c. ? ? ? ? 答案 b>a>c 4.(2013· 烟台调研)函数 y=ln(1-x)的图象大致为________.

解析 由 1-x>0,知 x<1,排除①、②;设 t=1-x(x<1),因为 t=1-x 为减 函数,而 y=ln t 为增函数,所以 y=ln(1-x)为减函数,故选③. 答案 ③ 5.(2012· 烟台调研)若实数 x 满足 log3 x=1+sin θ,则|x-1|+|x-9|的值为 ________. 解析 log3 x=1+sin θ∈[0,2],x=31+sin θ∈[1,9],|x-1|+|x-9|=x-1+9-x =8. 答案 8 6.(2012· 南京师大附中模拟)已知函数 1 ?log2?x+1?,x≥0, ? ? ? ? ? f(x)= ? 1 ? ? ??2?x-1,x<0. ?? ? ________. 解析 画图象可得 f(x)是(-∞,+∞)上连续的单调减函数,于是由 f(3-2a2) 3 >f(a),得 3-2a2<a,即 2a2+a-3>0,解得 a<-2或 a>1. 3? ? 答案 ?-∞,-2?∪(1,+∞) ? ? 二、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 7.已知函数 f(x)=loga(3-ax)(a>0,且 a≠1). (1)当 x∈[0,2]时,函数 f(x)恒有意义,求实数 a 的取值范围; (2)是否存在这样的实数 a,使得函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值 为 1,如果存在,试求出 a 的值;如果不存在,请说明理由. 解 (1)由题设知 3-ax>0 对一切 x∈[0,2]恒成立,又 a>0 且 a≠1,故 g(x)=3 -ax 在[0,2]上为减函数, 3 从而 g(2)=3-2a>0,所以 a<2, 3? ? 所以 a 的取值范围为(0,1)∪?1,2?. ? ? (2)假设存在这样的实数 a,由题设知 f(1)=1, 3 ? 3 3? ? 即 loga(3-a)=1,得 a=2,此时 f(x)=log2?3-2x?, ?

若 f(3-2a2)>f(a),则实数 a 的取值范围为

当 x=2 时,f(x)没有意义,故这样的实数 a 不存在. 8.(2012· 泰州学情调查)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)-m=0 有解,求 m 的取值范围. 解 (1)由函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函数, 可知 f(x)=f(-x). 所以 log4(4x+1)+kx=log4(4-x+1)-kx, 4x+1 即 log4 -x =-2kx.所以 log44x=-2kx. 4 +1 1 所以 x=-2kx 对 x∈R 恒成立.所以 k=-2. 1 (2)由 m=f(x)=log4(4x+1)-2x, 4x+1 1? ? 所以 m=log4 2x =log4?2x+2x?. ? ? 1 1 因为 2x+2x≥2,所以 m≥2.故要使方程 f(x)-m=0 有解的 m 的取值范围为 ?1 ? ?2,+∞?. ? ? 分层训练 B 级 创新能力提升

1 1.(2013· 绍兴模拟)函数 f(x)=log2(x2-2x-3)的单调递增区间是________. 1 解析 设 t=x2-2x-3,则 y=log2t. 由 t>0 解得 x<-1 或 x>3, 故函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞). ∴t=x2-2x-3=(x-1)2-4 在(-∞,-1)上为减函数, 1 在(3,+∞)上为增函数.而函数 y=log2t 为关于 t 的减函数,所以函数 f(x) 的单调增区间为(-∞,-1). 答案 (-∞,-1) 2.(2013· 莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的. x 3 5 6 8 9

lg x

2a-b

a+c-1

1+a-b-c

3(1-a-c)

2(2a-b)

试将错误的对数值加以改正为________. 解析 由 2a-b=lg 3,得 lg 9=2lg 3=2(2a-b),从而 lg 3 和 lg 9 正确,假 设 lg 5=a+c-1 错误,由 ?1+a-b-c=lg 6=lg 2+lg 3, ? ?3?1-a-c?=lg 8=3lg 2, ?lg 2=1-a-c, 得? 所以 lg 5=1-lg 2=a+c. ?lg 3=2a-b, 因此 lg 5=a+c-1 错误,正确结论是 lg 5=a+c. 答案 lg 5=a+c 3.设 min{p,q}表示 p,q 两者中的较小者,若函数 f(x)=min{3-x,log2x},则 1 满足 f(x)<2的集合为________. 1 解析 画出 y=f(x)的图象,且由 log2x=2,得 x= 2; 1 5 1 由 3-x=2,得 x=2.从而由 f(x)<2,得 0<x< 2或 x 5 >2. ?5 ? 答案 (0, 2)∪?2,+∞? ? ? 4.(2011· 安徽卷改编)若点(a,b)在 y=lg x 图象上,a≠1,则下列点也在此图象 上的是________(填序号). ?1 ? ?10 ? ①?a,b?;②(10a,1-b);③? a ,b+1?;④(a2,2b). ? ? ? ? 解析 由点(a,b)在 y=lg x 图象上,知 b=lg a. 1 1 ?1 ? 对于①,点?a,b?,当 x=a时,y=lga=-lg a=-b≠b,∴不在图象上.对 ? ? 于②,点(10a,1-b),当 x=10a 时,y=lg(10a)=lg 10+lg a=1+b≠1-b, 10 10 ?10 ? ∴不在图象上.对于③,点? a ,b+1?,当 x= a 时,y=lg a =1-lg a=1 ? ? -b≠b+1,∴不在图象上.对于④,点(a2,2b),当 x=a2 时,y=lg a2=2lg a =2b,∴该点在此图象上.

答案 ④ 5.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0,a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性,并给出证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的取值范围. ?x+1>0, 解 (1)因为? 所以-1<x<1, ?1-x>0, 所以 f(x)的定义域为(-1,1). (2)f(x)为奇函数.因为 f(x)定义域为(-1,1), 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-f(x), 所以 f(x)为奇函数. (3)因为 a>1,∴f(x)在(-1,1)上单调递增, 所以 f(x)>0? x+1 >1,解得 0<x<1. 1-x

所以使 f(x)>0 的 x 的取值范围为(0,1). 1-x 6.已知函数 f(x)=-x+log2 . 1+x 1 ? ? 1 ? ? (1)求 f?2 014?+f?-2 014?的值; ? ? ? ? (2)当 x∈(-a,a],其中 a∈(0,1),a 是常数时,函数 f(x)是否存在最小值?若 存在,求出 f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 f(x)+f(-x)=log2 1 ? ? 1 ? ? ∴f?2 014?+f?-2 014?=0. ? ? ? ? (2)f(x)的定义域为(-1,1), ∵f(x)=-x+log2(-1+ 2 ), x+1 1-x 1+x +log2 =log21=0. 1+x 1-x

当 x1<x2 且 x1,x2∈(-1,1)时,f(x)为减函数, ∴当 a∈(0,1),x∈(-a,a]时 f(x)单调递减, ∴当 x=a 时,f(x)min=-a+log2 1-a . 1+a

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