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广东省江门市新会一中2013届高三第一学期第二次检测文科数学试题


广东省江门市新会一中 2013 届高三第一学期第二次检测 文科数学试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求.)
x 1.在同一坐标系中,函数 y ? 2 x 与 y ? ( ) 的图象之间的关系是(

1 2

) .

A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称

B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y ? x 对称 ) .

2.下列函数中,在区间 (0,??) 上是增函数的是( A. y ? ? x 2 B. y ? x 2 ? 2 ) .

x C. y ? ( )

1 2

D. y ? log 2

1 x

3.下列函数中为偶函数的是( A. f ( x) ? x2 ? x ?1

B. f ( x) ? x | x |

1? x C. f ( x ) ? lg 1? x
3

2 x ? 2? x D. f ( x) ? 2
) . B.奇函数且在 (??,0) 上是增函数 D.偶函数且在 (0,??) 上是增函数 ) D. (2,3) ) .

4. 函数 y ? log 1 | x | ( x ? R且x ? 0) 为( A.奇函数且在 (??,0) 上是减函数 C.偶函数且在 (0,??) 上是减函数 5.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3 有零点的区间是( A. (?1,0) B. (0,1) C. (1,2)
3

6.设 a ? log0.5 6.7 , b ? log2 4.3 , c ? log2 5.6 ,则 a, b, c 的大小关系为( A. C.

b?c?a a?b?c

B. a ? c ? b D. c ? b ? a

7. 设 f (x) 是周期为 2 的函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 x(1 ? x) ,则 f ( ) =(

5 2

)

1 1 1 1 B. ? C. D. 4 2 2 4 2 8.一次函数 y ? ax ? b 与二次函数 y ? ax ? bx ? c 在同一坐标系中的图象大致是(
A. ?

)

9. 如果函数 y ? x ? bx ? c 对任意的实数 x ,都有 f (1 ? x) ? f (? x) ,那么( A. f (?2) ? f (0) ? f (2) B. f (0) ? f (?2) ? f (2)
2

)

C. f (2) ? f (0) ? f (?2)

D. f (0) ? f (2) ? f (?2)

10. 《优化方案》系列丛书第三年的销量比第一年的销量增长了 44 % ,若每年的平均增长率 相同(设为 x ),则以下结论正确的是( ) A. x ? 22 % B. x ? 22 % C. x ? 22 % D. x 的大小由第一年的销量确定 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 11. 计算 lg

1 ? lg 25 = 4

.

12. 已知关于 x 的二次方程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 , 若方程有两根, 其中一根在区间 (?1,0) 内,另一根在区间 (1,2) 内, m 的范围是 13.设函数 f ( x) ? ? 14. 函数 y ? . .

?? x( x ? 0), 若 f (a ) ? 4 ,则实数 a ? 2 ? x ( x ? 0).


x ? x( x ? 0) 的值域为

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (12 分)已知函数 f ( x ) ?

(1)用函数的单调性的定义证明 f (x) 在 (1,??) 上是减函数.(8 分) (2)求函数 f (x) 在 [2,6] 上的最大值和最小值。(4 分)

2 . x ?1

16.(14 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1, x ? R. (1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间;(8 分) (2)说明如何由 y ? sin 2 x 的图象得到函数 f (x) 的图象.(4 分)

17.(12 分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调 查,其结果(人数分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80 35~50 岁 30 20 50 岁以上 20

x

y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率;(8 分) (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人,其中 35 岁 以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁 5 以上的概率为 ,求 x , y 的值.(4 分) 39

18 . (14 分 ) 如 图 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , ABC D 是 矩 形 , PA ? 平 面 ABC D ,

PA ? AD ? 1,AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动.
(1)求三棱锥 E ? PAB 的体积;(4 分) (2)当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由;(4 分) (3)求证: PE ? AF . (6 分)

19. (14 分)函数 f ( x) ? x ? 4x ? 4 .
2

(1)求 f (x) 在闭区间 [0,3] 上的最大值和最小值.(6 分) (2)设 f (x) 在闭区间 ?t? t ? 1? ( t ? R )上的最小值记为 g (t ) ,试写出 g (t ) 的函数关系式. (8 分)

20



a, b 为 常 数 , 且 a ? 0 , f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x, f (e) ? 2(e ? 2.71828 是自然对数的底数). ?
(14 分 ) 已 知





(1)求实数 b 的值;(3 分) (2)求函数 f (x) 的单调区间;(5 分) (3)当 a ? 1 时,是否同时存在实数 m 和 M (m ? M ) ,使得对每一个 t ? [m, M ] ,直线

1 y ? t 与曲线 y ? f ( x)( x ? [ , e] )都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大 e
的实数 M ;若不存在,说明理由.(6 分)

2013 届高三级第一学期文科数学第二次数学测验答题卷
高三( )班 姓名: 学号: 一、选择题: 本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,满分 20 分. 11. ; 12. ; 13. ;14. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 成绩: 7 8 9 10

16. (本小题满分 14 分)

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 14 分)

19.(本小题满分 14 分)

20.(本小题满分 14 分)

参考答案
1-5 A B D C D 11. ? 2 6-10 C D C D B 12. (? ,? )

5 6

1 2

13. ? 4或2

( 14. ? ?, ]

1 4

15.(12 分) (1)证明:任取 x1 , x2 ? (1,??) ,且 x1 ? x 2 ,………………………………………… 分 则

1

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) 2 2 = = . …………4 分 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ( x1 ? 1)(x2 ? 1) x1 ? 1 x 2 ? 1 由 1 ? x1 ? x2 ,得 x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 , 2( x2 ? x1 ) 所以, ………………………………………… ? 0. ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0.

6分 所以, f ( x1 ) ? f ( x2 ). 所以, f (x) 在 (1,??) 上是减函数. …………………………………… …8 分 ( 2 ) 解 : 由 ( 1 ) 得 f (x) 在 (1,??) 上 是 减 函 数 , 所 以 , f (x) 在 [2,6] 上 是 减 函 数.…………10 分 所以,当 x ? 2 时, f (x) 取得最大值,最大值是 2;

2 . …………………………………… 12 分 5 16.(12 分)解:(1) f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? 1
当 x ? 6 时, f (x) 取得最小值,最小值是

3 1 ? cos2 x ………………………………… 2 分 sin 2 x ? ?1 2 2 3 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 3 ? 3 ………………………………… 4 分 ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2 则最小正周期 T ? ? . ………………………………… 5 分 ? ? ? 由 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z 得 2 6 2 ? ? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z . ……………………………… 7 分 3 6 ? ? 故 f(x)的增区间为 [ ? ? k? , ? k? ]( k ? Z ). ……………………………… 8 分 3 6 ? ? (2)先把 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位得到 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,…………… 12 6 ?
10 分 再把 y ? sin( 2 x ? 即得函数 y ?

?
6

) 的图象向上平移2个单位,
………… 12 分

3

3 ? 3 sin(2 x ? ) ? 的图象. 2 6 2

17.(14 分)解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本, 设抽取学历为本科的人数为 m , ∴

30 m ? ,解得 m =3. 50 5

…………………………… 3 分

∴ 抽取了学历为研究生 2 人,学历为本科 3 人,分别记作 S1 , S 2 , B1 , B2 , B3 .

从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个: (S1 , S 2 ) , (S1 , B1 ) , (S1 , B2 ) , (S1 , B3 ) , (S 2 , B1 ) , (S 2 , B2 ) ,

(S 2 , B3 ) , ( B1 , B2 ) , ( B1 , B3 ) ( B2 , B3 ).
其 中 至 少 有 1

…………………………… 5 分 7 个 :

人 的 学 历 为 研 究 生 的 基 本 事 件 有

(S1 , S 2 ) , (S1 , B1 ) , (S1 , B2 ) , (S1 , B3 ) , (S 2 , B1 ) , (S 2 , B2 ) , (S 2 , B3 ) .……………………… 7 分
7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的教育程度为研究生的概率为 . …………………………… 8 分 10

10 5 ? ,解得 N ? 78. ………………………… 10 分 N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78 ? 48 ? 10 ? 20 .………………………… 11 分 48 20 10 ∴ ……………………… 13 分 ? ? . 80 ? x 50 20 ? y 解得 x ? 40 , y ? 5. ∴ x ? 40 , y ? 5. …………………… 14 分
(2)依题意得: 18.18.(14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD ,

PA ? AD ? 1,AB ? 3 ,点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动.
(1)求三棱锥 E ? PAB 的体积;(4 分) (2)当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由;(4 分) (3)求证: PE ? AF . (6 分)

图 7-12 18. (1) 证明:∵ PA ? 平面 ABCD , …………………… 1 分

1 1 1 3 S ?ABE ? PA ? ? ? 1? 3 ? 1 ? . …………………… 4 分 3 3 2 6 (2)解:当点 E 为 BC 的中点时, EF ∥平面 PAC . …………………… 5 分 理由如下:∵点 E, F 分别为 CD, PD 的中点, ∴ EF ∥ PC . …………………… 6 分 又∵ PC ?平面 PAC , EF ? 平面 PAC , ∴ EF ∥平面 PAC . …………………… 8 分 (3)证明:∵ PA ? 平面 ABCD , CD ?平面 ABCD , CD ? PA . ∵ ABCD 是矩形,∴ CD ? PA . 面 ∵ PA ∩ AD ? A ,∴ CD ? 平 PAD . …………………… 10 分 面 ∵ AF ? 平 PAD ,∴ AF ? CD . …………………… 11 分 ∵ PA = AD ,点 F 是 PD 的中点, ∴ AF ? PD . 又 CD ∩ PD ? D , 面 ∴ AF ? 平 PDC . …………………… 13 分 面 ∵ PF ? 平 PDC
∴ VE ? PAB ?V P? ABE =

∴ PE ? AF . 19.解: (1) f ( x) ? x2 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)2 ? 8 .

…………………… 14 分

二次函数 f (x) 的图象是一条开口方向向上的抛物线,对称轴方程是 x ? 2 ,……………2 分 所以,函数 f (x) 在 [0,2] 上单调递减, f (x) 在 [2,3] 上单调递增. ……………4 分

f (0) ? ?4 , f (2) ? ?8 , f (3) ? ?7 .
所以,当 x ? 2 时, f ( x) min ? ?8 ,当 x ? 0 时, f ( x) max ? ?4 .……………6 分 (2)当 t ? 2 时,f(x)在 ?t? t ? 1? 上是增函数. ∴ g (t ) ? f (t ) ? t ? 4t ? 4 .
2

……………8 分 ……………10 分

当 t ? 2 ? t ? 1? 即 1 ? t ? 2 时, g (t ) ? f (2) ? ?8 .

当 t ? 1 ? 2 ,即 t ? 1 时,f(x)在区间 ?t? t ? 1? 上是减函数. ∴ g (t ) ? f (t ? 1) ? t ? 2t ? 7 .
2

……………12 分

? t 2 ? 2t ? 7? t ? 1? ? 综上可知: g (t ) ? ? ?8?1 ? t ? 2? ?t 2 ? 4t ? 4? t ? 2? ?

……………14 分

20.解:(1)由 f (e) ? ?ae ? b ? ae ln e ? 2 ,得 b ? 2 .……………3 分 (2)由(1)知, f ( x) ? ?ax ? b ? ax ln x 其定义域为 (0,??) .…………4 分 从而 f ' ( x) ? a ln x ,因为 a ? 0 ,所以 ……………5 分

①当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? a ln x ? 0 得 x ? 1 .由 f ' ( x) ? a ln x ? 0 得 0 ? x ? 1 . ② 当 a ? 0 时 , 由 f ' ( x) ? a ln x ? 0 得 0 ? x ? 1 由 f ' ( x) ? a ln x ? 0 得

x ? 1 .……………7 分 所以,当 a ? 0 时, f (x) 的单调增区间为 (1,??) ,单调减区间为 (0,1) . 当 a ? 0 时,f(x)的单调增区间为 (0,1) ,单调减区间为 (1,??) .……………8 分
' (3)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x ? 2 ? x ln x .则 f ( x) ? ln x . ' 令 f ( x) ? ln x ? 0 ,则 x ? 1 . ' 当 x 在区间 [ , e ] 内变化时, f ( x) , f (x) 的变化情况如下表:

1 e

x

1 e

1 ( ,1) e

1

(1, e)

e

f ' ( x)
f (x)
因为 2 ?



0 极小值 1

+ 单调递增 2

2?

2 e

单调递减

2 1 ? 2 ,所以 f (x) 在区间 [ , e ] 内值域为 [1,2] . e e

……………11 分

由此可得, 若?

? m ? 1, 1 则对每一个 t ? [m, M ] ,直线 y ? t 与曲线 y ? f (x) ( x ? [ , e]) e ?M ? 2,
……………12 分

都有公共点.

并且对每一个 t ? (??, t ) ? ( M ,??) ,直线 y ? t 与曲线 y ? f (x) ( x ? [ , e]) 都没有 公共点. 综合以上,当 a ? 1 时,存在实数 m ? 1 和 M ? 2 ,使得对每一个 t ? [m, M ] ,直线

1 e

1 y ? t 与曲线 y ? f (x) ( x ? [ , e]) 都有公共点. e


……………14


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