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【成才之路】2015-2016学年高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式课件 新人教A版必修4


成才之路 ·数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
三角恒等变换

第三章
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切 公式
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式

1

优 效 预 习

>3

当 堂 检 测

2

高 效 课 堂

4

课 时 作 业

优效预习

●知识衔接 1 . cos(α±β) = ________ ; sin(α±β) = __________ ;
tan(α±β)=________.

tanα± tanβ [答案] cosαcosβ?sinαsinβ sinαcosβ± cosαsinβ 1?tanαtanβ 2.sin21° cos39° +cos21° sin39° 等于( )

2 A. 2 3 C. 2
[答案] C

1 B.2 D.1

3.已知 tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,则 tanαtanβ 等于( A.2 1 C.2 [答案] B.1 D.4

)

C

1 7 4.若 α、β 是同一象限的角,且 sinα=-3,cosβ= 4 . 则 sin(α-β)=________.

[答案]

6 2- 7 12

●自主预习 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数 正弦 余弦 公式
2sinαcosα sin2α=__________

简记 S(α+β) C(α+β) S2α C2α

cos2α=cos2α-sin2α 2cos2α-1 =__________
2α 1 - 2sin =__________

正切

2tanα 2 1 - tan α tan2α=__________

T(α+β)

T2α

[总结]对倍角公式的理解: ①成立的条件:在公式 S2α、C2α 中,角 α 可以为任意角,T2α kπ π 则只有当 α≠ 2 +4(k∈Z)时才成立. ②倍角公式不仅限于 2α 是 α 的二倍形式, 其他如 4α 是 2α 的 3α α 二倍、α 是2的二倍、3α 是 2 的二倍等等都是适用的.

[拓展]倍角公式的变形公式 剖析:(1)公式的逆用: 1 2sinαcosα=sin2α;sinαcosα=2sin2α; sin2α cosα=2sinα; cos2α-sin2α=cos2α; 2tanα =tan2α. 1-tan2α

(2)公式的有关变形: 1± sin2α=sin2α+cos2α± 2sinαcosα =(sinα± cosα)2; 1+cos2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α; 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2

(3)升幂和降幂公式
? α α?2 升幂公式:1+sinα=?sin2+cos2? ; ? ? ? α α?2 1-sinα=?sin2-cos2? ; ? ?

1+cosα=2cos 2;1-cosα=2sin 2. 降幂公式: 1+cos2α 1-cos2α 2 cos α= ;sin α= . 2 2
2





●预习自测
3 4 1.已知 sinα=5,cosα=5,则 sin2α 等于( 7 A.5 12 C.25 [答案] 12 B. 5 24 D.25 )

D

24 [解析] sin2α=2sinαcosα=25.

1 2.已知 cosα=3,则 cos2α 等于( 1 A.3 2 B.3

)

7 7 C.-9 D.9 [答案] C 2 7 2 [解析] cos2α=2cos α-1=9-1=-9.

1 3.若 tanα=2,则 tan2α=( 4 A.3 1 C.5 [答案] 3 B.4

)

4 D.-3

A

2tanα 1 4 [解析] tan2α= = 1=3. 1-tan2α 1-4

4.函数y=sin2x的最小正周期为(
A.2π C.3π [答案] B
2

)

B.π D.4π

1-cos2x 1 1 [解析] y=sin x= =2-2cos2x 2 2π T= 2 =π.

高效课堂

●互动探究
给角求值
求下列各式的值; π π 2tan150° 1 2 (1)sin12cos12;(2)1-2sin 750° ;(3) ;(4)sin10° - 1-tan2150° 3 ;(5)cos20° 40° cos80° . cos10°

[探究] → 化简求值

观察角的特点 → 寻求角的联系 → 选择公式

π π π 2sin12cos12 sin6 1 [解析] (1)原式= = 2 =4. 2 (2)原式=cos(2×750° )=cos1500° 1 =cos(4×360° +60° )=cos60° =2. (3)原式=tan(2×150° )=tan300° =tan(360° -60° ) =-tan60° =- 3.

cos10° - 3sin10° (4)原式= sin10° cos10° 1 3 2?2cos10° - 2 sin10° ? = sin10° cos10° 4?sin30° cos10° -cos30° sin10° ? = 2sin10° cos10° 4sin20° = sin20°=4.

2sin20° · cos20° · cos40° · cos80° (5)原式= 2sin20° 2sin40° · cos40° · cos80° = 4sin20° 2sin80° · sin80° = 8sin20° sin160° 1 =8sin20° =8.
[规律总结] 函数而得解. 解决此类问题的关键是利用非特殊角与特殊角 间的关系,结合三角公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角

tan12° - 3 计算: . ?4cos212° -2?sin12° sin12° - 3cos12° [解析] 原式=2sin12° cos12° cos24°

1 3 2?2sin12° - 2 cos12° ? = cos24° · sin24° 2sin?12° -60° ? = =-4. 1 2sin48°

给值求值

π 4 5π 7π 3 若 cos( 4 - x) = - 5 , 4 <x< 4 , 且 x≠ 2 π. 求 sin2x-2sin2x 的值. 1+tanx sin2x-2sin2x 2sinx?cosx-sinx?cosx [解析] = 1+tanx cosx+sinx

sin2x?cosx-sinx? 1-tanx π = =sin2x =sin2xtan(4-x) cosx+sinx 1+tanx π π π 2 π =cos(2-2x)tan(4-x)=[2cos (4-x)-1]tan(4-x),

5π 7π ∵ 4 <x< 4 , 3π π ∴- 2 <4-x<-π, π 4 又∵cos(4-x)=-5, π 3 π 3 ∴sin(4-x)=5,tan(4-x)=-4. 16 3 21 ∴原式=(2×25-1)×(-4)=-100.

1 已知 sinα+cosα=3,且 0<α<π,求 sin2α,cos2α,tan2α 的值.
1 1 2 [解析] 由 sinα+cosα=3,得(sinα+cosα) =9, 1 8 即 1+2sinαcosα=9,∴sin2α=2sinαcosα=-9. 1 1 由 sinα+cosα=3,得 cosα=3-sinα.

1 ∴cos α=(3-sinα)2.
2

1 2 即 1-sin α=9-3sinα+sin2α.
2

整理得 9sin2α-3sinα-4=0. 1+ 17 1- 17 解得 sinα= 6 或 sinα= 6 (舍去). 1+ 17 2 17 ∴cos2α=1-2sin α=1-2×( 6 ) =- 9 .
2

sin2α 8 17 ∴tan2α=cos2α= 17 .

[点评] 解题过程中注意角 α 的范围的判定.

用倍角公式证明三角恒等式
1+sin4θ-cos4θ 1+sin4θ+cos4θ 求证: = . 2tanθ 1-tan2θ

[探究] 待证式子两边都较复杂, 且角出现四倍角和单角, 若 2tanθ 直接证明较复杂,可将要证式子变形,发现 2 =tan2θ,所以 1-tan θ 只要证明式子 1+sin4θ-cos4θ=tan2θ(1+sin4θ+cos4θ)即可.

[ 证明 ] cos4θ),①

原式变形为 1 + sin4θ - cos4θ = tan2θ(1 + sin4θ +

而①式右边=tan2θ(1+cos4θ+sin4θ) sin2θ =cos2θ(2cos22θ+2sin2θcos2θ)=2sin2θcos2θ+2sin22θ =sin4θ+1-cos4θ=左边, ∴①式成立,即原式得证.

1+sin2θ-cos2θ 求证:(1) =tanθ; 1+sin2θ+cos2θ sin2θ+sinθ (2) =tanθ. 2cos2θ+2sin2θ+cosθ
1+2sinθcosθ-?1-2sin2θ? [证明] (1)左边= 1+2sinθcosθ+?2cos2θ-1? 2sinθ?cosθ+sinθ? sinθ = =cosθ=tanθ=右边, 2cosθ?sinθ+cosθ? 所以原式成立.

2sinθcosθ+sinθ (2)左边= 2?cos2θ-sin2θ?+2sin2θ+cosθ sinθ?2cosθ+1? sinθ = =cosθ=tanθ=右边, cosθ?2cosθ+1? 所以原式成立.

●探索延拓 二倍角公式与向量、函数的综合问题
已知向量 a=(1+sin2x,sinx-cosx),b=(1,sinx +cosx),函数 f(x)=a· B. (1)求 f(x)的最大值及相应的 x 值; 8 π (2)若 f(θ)=5,求 cos2(4-2θ)的值. [探究] 用向量数量积表示出 f(x)转化成三角函数问题求解.

[解析] (1)因为 a=(1+sin2x, sinx-cosx), b=(1, sinx+cosx), 所以 f(x) = 1 + sin2x + sin2x - cos2x = 1 + sin2x - cos2x = 2 π sin(2x-4)+1. π π 因此,当 2x-4=2kπ+2, 3π 即 x=kπ+ 8 (k∈Z)时,f(x)取得最大值 2+1. 8 3 (2)由 f(θ)=1+sin2θ-cos2θ 及 f(θ)=5得 sin2θ-cos2θ=5, 两 9 16 边平方得 1-sin4θ=25,即 sin4θ=25. π π 16 因此,cos2(4-2θ)=cos(2-4θ)=sin4θ=25.

2 已知向量 m=(cosα- 3 ,-1),n=(sinα,1),m 与 n 为共线 π 向量,且 α∈[-2,0]. (1)求 sinα+cosα 的值; sin2α (2)求 的值. sinα-cosα

[解析] (1)∵m 与 n 为共线向量, 2 2 ∴(cosα- 3 )×1-(-1)×sinα=0,即 sinα+cosα= 3 . 2 7 (2)∵1+sin2α=(sinα+cosα) =9,∴sin2α=-9,
2

∵(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2, 2 2 16 ∴(sinα-cosα) =2-( 3 ) = 9 .
2

π 4 又∵α∈[-2,0],∴sinα-cosα<0,sinα-cosα=-3. sin2α 7 因此, = . sinα-cosα 12

●误区警示 易错点 忽略角的范围致错

化简 2- 2+ 2+2cosα(3π<α<4π).
[错解] 原式= = = 2- 2- 2+ 2-


4cos 2



α 2+2cos2=

4cos 4



α 2-2cos4=

α 4sin 8=2sin8.

[错因分析]
式.

上述错解在于运用倍角公式从里到外去掉根

号时,没有顾及角的范围而选择正、负号,只是机械地套用公

[思路分析]


利用二倍角公式化简 1± cosα时,由于 1+cosα


=2cos 2,1-cosα=2sin 2,则 1+cosα=
? α? α 2?sin2?,要根据2所在象限确定 ? ?

? α? 2?cos2?, ? ?

1-cosα=

α α sin2、cos2的符号,从而去掉绝

对值符号.

3π α 3π α 3π α π [正解] 因为 3π<α<4π,所以 2 <2<2π, 4 <4<π, 8 <8<2, α α α 则 cos2>0,cos4<0,cos8>0. 所以原式= = = 2- 2- 2+ 4cos 2 2-
2α 2α

α 2+2cos2=

4cos 4



α 2+2cos4=

α 4cos 8=2cos8.

3π 若 2 <α<2π,化简:

1 1 2+2

1 1 2+2cos2α.

3π 3π α [解析] 因为 2 <α<2π,所以 4 <2<π. 所以原式= = = 1 1 2+2 1+cos2α 2 1 1 2+2cosα


1 1 2 + cos α= 2 2 1+cosα 2 =

α cos 2=-cos2.

当堂检测

1 1.下列各式中,值为2的是( A.sin15° cos15° 1+cos30° C. 2 [答案] D

)
2

π B.2cos 12-1 tan22.5° D. 1-tan222.5°

1 1 π 3 2π [解析] sin15° cos15° =2sin30° =4;2cos 12-1=cos6= 2 , 1+cos30° 1 tan22.5° 1 1 =cos15° ≠2, = tan45° =2, ∴选 D. 2 1-tan222.5° 2

2.化简 1+sin100° - 1-sin100° 的结果为( A.-2sin40° B.2cos40°

)

C.-2sin40° D.2sin40° [答案] D [ 解 析 ] 原 式 = 1+2sin40° cos40° - 1-2sin40° cos40° =

(sin40° +cos40° )-(cos40° -sin40° )=2sin40° .

3π 3 3.若 sin( 2 -x)=5,则 cos2x 的值为( 7 A.-25 16 C.-25 [答案] A 14 B.25 19 D.25

)

3π 3 3 [解析] 由 sin( 2 -x)=5,得 cosx=-5, 32 7 故 cos2x=2cos x-1=2×(-5) -1=-25.
2

?π π? 1 4.已知 sin2α=4,α∈?4,2?,则 cosα-sinα 的值是( ? ?

)

3 A.- 2 3 C. 2

3 B.4 3 D.- 4

[答案]
[解析]

?π π? ∵α∈?4,2?,∴sinα>cosα. ? ?
2

A

1 3 又∵(cosα-sinα) =1-sin2α=1-4=4, 3 ∴cosα-sinα=- 2 .

5.若

?5π 7π? α∈? 2 , 2 ?,则 ? ?

1+sinα+ 1-sinα的值为( α B.-2cos2 α D.-2sin2

)

α A.2cos2 α C.2sin2 [答案] D

[解析]

?5π 7π? α ?5π 7π? ∵α∈? 2 , 2 ?,∴2∈? 4 , 4 ?, ? ? ? ?

? α α? ? α α? ∴原式=?sin2+cos2?+?sin2-cos2? ? ? ? ?

α α α α α =-sin2-cos2-sin2+cos2=-2sin2.

6.求值:sin50° (1+ 3tan10° ).

[分析] (1)“切”化“弦”,(2)异角化同角.
3sin10° [解析] 原式=sin50° (1+ cos10° ) 1 3 2?2cos10° + 2 sin10° ? cos10° + 3sin10° =sin50° · =sin50° · cos10° cos10° 2?sin30° cos10° +cos30° sin10° ? 2sin40° = sin50° · = sin50° ·cos10° = cos10° 2cos40° sin40° sin80° cos10° =cos10° =1. cos10° =cos10°


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