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2-2点线面之间的位置关系单元测试题(水高)同学


《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试题 1. 若 面 是平面 外一点,则下列命题正确的是( 只能作一条直线与平面 中, 交于一点 或 B.60 在平面 , 都垂直于平面 的距离相等 , , , , 是 内两条直线,且 外,则 ,则直线 与平面 上 、 ,则( 、 D. C.45 ) A.若直线 平行 、 ) A. ) (A)过 (D)过 上分别取 一定在直线 、 只能作一条直线与平面 平行 一定在直线 上 ) 、 上 上 、 四点, B. 相交 (B)过 可作无数条直线与平

垂直(C)过 如果 C. A.90 B.若直线 D.若直线 A. B. 、 、 在直线

可作无数条直线与平面

2.在空间四边形

既不在直线 D.30

上,也不在

3.如图 S 为正三角形所在平面 ABC 外一点,且 SA=SB=SC=AB,E、F 分别为 SC、AB 中点,则异面直线 EF 与 SA 所成角为(

4.下列说法正确的是(

平行于平面 C.若直线 平行的是(

内的无数条直线,则 , ) ,则

就平行于平面内的无数条直线

5.在下列条件中,可判断平面

内存在不共线的三点到平面 是两条异面直线,且

C. 、 D. 、

6 若 为一条直线, ① A. 0 个 A. A. 9.对于平面 B. 1 个 B. C. 2 个

为三个互不重合的平面,给出下面三个命题: ② D. 3 个 C. ;③ ,其中正确的命题有( ( ) )

7.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当点 D 到平面 ABC 的距离最大时,直线 BD 和平面 ABC 所成角的大小为

90?

60?

45?

D.

30?

8.PA、PB、PC 是从点 P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为 60?,则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值是( ) B. 和共面的直线 、 C. D. 则 (B)若 则

下列命题中真命题是(A)若

(C)若 则 (D)若 、 与 所成的角相等,则 10.给出以下四个命题:①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行, ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直 线互相平行,④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.其中真命题的个数是 A.4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.设 12. 、 、 是直二面角, , , 、 , 、 的距离 的大小 为 ,则 分别是 2、3、6,则 ,则点 到 。 。

是两两垂直且交于 O 点的三个平面,P 到平面 中,AB=1。若二面角 。

13. 如图,在正三棱柱 直线 AB 的距离为

14. 已知正四棱锥的体积为 12, 底面对角线的长为 那么二面角 A—BC—D 的正切值为 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分)

, 则侧面与底面所成的二

面角等于_______________

15.将直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成 120°的二面角,已知直角

边 AB ? 4

3, AC ? 4 6 ,

16.如图,ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱。(I)求证:BD⊥平面 ACC1A; (II)若二面角 C1-BD-C 的大小为 60°,求异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小。

1

17.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1=2,





⑴求证:平面 AB1C⊥平面 BB1C;⑵求点 B 到平面 AB1C 的距离。

18. 如图 1,已知 ABCD 是上.下底边长分别为 2 和 6,高为 将它沿对称轴 OO1 折成直二面角,如图 2.

的等腰梯形,

(Ⅰ)证明:AC⊥BO1;(Ⅱ)求二面角 O-AC-O1 的大小.

19.如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠ABC=∠DBC=120 ,求:⑴A、D 连线和平面 DBC 所成的角;⑵ 二面角 A—BD—C 的正切值。



20. 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱 (1)证明 FO//平面 CDE;(2)设 ,证明 EO⊥平面 CDF。



21.如图,四面体 ABCD 中,O、E 分别是 BD、BC 的中点, (I)求证: 平面 BCD;(II)求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小;(III)求点 E 到平面 ACD 的距离。

2

参考答案

一、选择题

DBCDD

CCCCB

二、填空题

11. 60

?

12.7

13.

14. 60

?

15.

42 3

三、解答题 16. 解法一: (1)∵ABCD-A1B1C1D1 是正四棱柱 ∴CC1⊥平面 ABCD ∴BD⊥CC1 ∴ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC 又∵AC,CC1 平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面 ACC1A1

(II)设 BD 与 AC 相交于 O,连接 C1O。 ∵CC1⊥平面 ABCD、BD⊥AC。∴BD⊥C1O∴∠C1OC 是二面角 C1-BD-C 的平面角 ∴∠C1OC=60° 连接 A1B∵A1C1∥AC∴∠A1C1B 是 BC1 与 AC 所成角.

设 BC=a,则 CO=

在△A1BC1 中,由余弦定理得

∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为 arccos 解法二:(I)建立空间直角坐标系 D-xyz,如图。

3

设 AD=a,DD1=b,则有 D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), C(0,a,0),C1(0,a,b),

∴BD⊥AC,BD⊥CC1 又∵AC,CC1 平面 ACC1A1,且 AC∩CC1=C,

∴BD⊥平面 ACC1A1。

(II)设 BD 与 AC 相交于 O,连接 C1O,则点 O 坐标为

)

∴BD⊥C1O,又 BD⊥CO, ∴∠C1OC=60°



∴异面直线 BC1 与 AC 所成角的大小为

17.⑴由已知条件立即可证得, ⑵在平面 BB1C 内作 BD⊥B1C 于 D,由⑴得 BD⊥面 AB1C,

4

∴BD 为 B 到面 AB1C 的距离,∴ 18..解法一(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1. 所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,

(本题也可用体积转换)

即 OA⊥OB. 故可以 O 为原点,OA、OB、OO1

所在直线分别为

轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,

如图 3,则相关各点的坐标是 A(3,0,0),B(0,3,0),C(0,1,

)O1(0,0,

).

从而 所以 AC⊥BO1.

(II)解:因为

所以 BO1⊥OC, 是平面 OAC 的一个法向量.

由(I)AC⊥BO1,所以 BO1⊥平面 OAC, 设 是 0 平面 O1AC 的一个法向量,





.

设二面角 O—AC—O1 的大小为

,由



的方向可知



>,

所以 cos



>=

即二面角 O—AC—O1 的大小是 5

解法二(I)证明 由题设知 OA⊥OO1,OB⊥OO1,所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角,即 OA⊥OB. 从而 AO⊥平面 OBCO1,OC 是 AC 在面 OBCO1 内的射影.

因为 所以∠OO1B=60°,∠O1OC=30°,从而 OC⊥BO1 由三垂线定理得 AC⊥BO1.



(II)解 由(I)AC⊥BO1,OC⊥BO1,知 BO1⊥平面 AOC. 设 OC∩O1B=E,过点 E 作 EF⊥AC 于 F,连结 O1F(如图 4),则 EF 是 O1F 在平面 AOC 内的射影,由三垂线定理得 O1F⊥AC. 所以∠O1FE 是二面角 O—AC—O1 的平面角.

由题设知 OA=3,OO1=

,O1C=1,

所以



从而



又 O1E=OO1·sin30°= 平面 ABC= ,∴MN∥



⑴显然可得 MN∥平面 ABC,∵平面 MNC

⑵∵PC⊥平面 ABC,∴平面 PAC⊥平面 ABC,作 MQ⊥AC,则 MQ⊥平面 ABC,

作 QD⊥ 于 D,则 MD⊥

,MD 的长即为 M 到 的距离

在 Rt△ACB 中,可求得 ∴ , ,于是

,又

,∠QCD=30?,

6

19.⑴作 AO⊥BC 交 BC 的延长线于 O,∵面 ABC⊥面 BCD,∴OA⊥面 BCD,连 OD,则∠ADO 就是 AD 与平面 BCD 所成的角,可求得

∠ADO=45?

⑵作 OE⊥BD 于 E,连 AE,则 BD⊥AE,

∴∠AEO 就是二面角 A-BD-C 的平面角的补角,

∵∠ABO=60?,∴



,∵∠EBO=60?,∴

在 Rt△AOE 中, ,∴二面角 A-BD-C 的正切值为-2 20. (1)证明:取 CD 中点 M,连结 OM,在矩形 ABCD 中

,又 于是四边形 EFOM 为平行四边形 ∴ FO//EM 又 ∵ FO 平面 CDE,且 EM

,则

。连结 EM,

平面 CDE,∴ FO//平面 CDE

(2)证明:连结 FM,由(1)和已知条件,在等边 行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO⊥FM ∵ CD⊥OM,CD⊥EM 而 FM CD=M,所以

中,CM=DM,EM⊥CD 且

。因此平

∴ CD⊥平面 EOM,从而 CD⊥EO 平面 CDF

21(I)证明:连结 OC

在 而

中,由已知可得

即 平面

7

(II)解:取 AC 的中点 M,连结 OM、ME、OE,由 E 为 BC 的中点知 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD 所成的角 在 中,

是直角

斜边 AC 上的中线,

异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 (III)解:设点 E 到平面 ACD 的距离为



中,



点 E 到平面 ACD 的距离为

8


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