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2015年高中数学 2.2.1圆的方程(2)教案 苏教版必修2


2.2.1
教学目标:

圆的方程(2)

1.掌握圆的一般方程,能将圆的一般方程化为圆的标准方程,从而求出圆 心和半径; 2.利用待定系数法求出圆的一般方程,并能分析条件,选择恰当的方程形 式解决圆的方程求解; 3.通过对例题的分析讲解,提高学生分析问题的能力.

教材分析及教材内容的定位: 培养学生主动探究知识, 合作交流的意识, 在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣, 从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质. 本节和圆的标准方程一起构成了圆的方程这个知 识点,高考要求很高,需要很好的思维能力和计算能力,需要重点分析圆的方程求法,并且 通过对比来寻找两种方程的适用性.

教学重点: 根据已知条件求出圆的一般方程. 教学难点: 如何选择两种方程,要学会分析问题.

教学方法: 讨论学习法.

教学过程: 一、问题情境 情境:(1)(x-1) +(y-2) =9 的圆心坐标和半径分别是多少? (2)x +y -2x-4y-4=0 所表示的曲线是什么? 问题:x +y -2x-4y-4=0 可以看作是关于 x,y 的二元二次方程,那 么满足什么条件,一个二元二次方程 x +y +Dx+Ey+F=0 表示的是圆? 二、学生活动
2 2 2 2 2 2 2 2

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1.思考情境问题:对于标准方程,可以直接看出其圆心坐标和半径,对于 一般方程,需要先配方化为标准方程,再找出圆心坐标和半径 2.研究一般情况下 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示的曲线如果是圆,则 D, E, F 应满足的条件,方法仍然是配方. (1)当 D ? E ? 4F ? 0 时,表示以(2 2

D E 1 ,- )为圆心, D 2 ? E 2 ? 4F 为 2 2 2

半径的圆;
2 2 (2)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程只有实数解 x ? ?

D E , y ? ? ,即只表示 2 2

一个点(-

D E ,- ) ; 2 2
2 2

(3)当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程没有实数解,因而它不表示任何图形. 3.在例题中体会两种方程的互相转化,标准方程倾向于研究圆的几何性质, 一般方程倾向于用计算解决圆的方程,最后可以由学生总结归纳. 三、建构数学 1.提出一般性问题:二元二次方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 满足什么条件表 示的是圆(让学生配方,共同讨论); 2.在例题中,引导学生,根据题意,设出圆的一般方程并建立关于 D, E, F 的方程组,归纳求圆的一般方程的方法-----待定系数法,并强调三元一次 方程组的求解方法; 3.运用圆的一般方程解决例题,可以启发学生再思考其他的方法:圆心在 两点连线的中垂线上,利用的是几何法,跟待定系数法对比研究,如何选好 两种方程解决问题,是本节课的重点. 四、数学运用 1.例题. 例 1 判断下列方程是否表示圆?如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)x +y +4x-6y-12=0; (2)x +y -2x+y-5=0. 例 2 已知△ABC 顶点的坐标分别为 A(4,3),B(5,2),C(1,0),求外接 圆的方程. 例 3 某圆拱梁的示意图如图所示.该圆拱的跨度 AB 是 36m,拱高 OP 是
2 2 2 2

2

6m,在建造时,每隔 3m 需要一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长(精确到 0.01m). 2.练习. (1)已知圆 M 经过抛物线 y ? x 2 ? 2 x ? 1与两坐标轴的所有交点,求圆 M 的 标准方程. (2)已知方程 x2 ? y 2 ? 2(t ? 3) x ? 2(1 ? 4t 2 ) y ? 16t 4 ? 9 ? 0(t ? R) 表示的图形是圆. (Ⅰ)求 t 的取值范围; (Ⅱ)求其中面积最大的圆的方程; (Ⅲ)若点 P(3, 4t 2 ) 恒在所给圆内,求 t 的取值范围. 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.本节课主要学习了圆的一般方程,要求学生掌握待定系数法求轨迹方 程的方法; 2.如何选择两种方程,要学会具体问题具体分析.

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