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(拿高分 选好题)(新课程)高中数学二轮复习专题 第一部分《1-5-1 直线与圆》课时演练 新人教版


第一部分

专题五 第 1 课时

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) A
2 2


2 2

1.(2012?山东卷)圆(x+2) +y =4 与圆(x-2) +(y-1) =9 的位置关系为( A.内切 C.外切 B.相交 D.相离
2
<

br />)

解析: 两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= 4 +1= 17. ∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. 答案: B 2.已知直线 3x+4y-3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,则它们之间的距离是( A.1 C. 1 2 B.2 D.4 )

6 m 14 解析: ∵ = ≠ ,∴m=8,直线 6x+my+14=0 可化为 3x+4y+7=0,两平行线之 3 4 -3 |-3-7| 间的距离 d= =2. 2 2 3 +4 答案: B 3.(2012?福建卷)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x +y =0 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度 等于( ) B.2 3 D.1
2 2

A.2 5 C.. 3

|0+ 3?0-2| 解析: ∵圆心到直线 x+ 3y-2=0 的距离 d= =1,半径 r=2, 2 2 1 +? 3? ∴弦长|AB|=2 r -d =2 2 -1 =2 3. 答案: B 4. (2012?江西八所重点高中模拟)“a=0”是“直线 l1: a+1)x+a y-3=0 与直线 l2: ( 2x+ay-2a-1=0 平行”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 2 2 2 2

解析: 当 a=0 时,l1:x-3=0,l2:2x-1=0,故 l1∥l2. 当 l1∥l2 时,若 l1 与 l2 斜率不存在,有 a=0;若 l1 与 l2 斜率都存在,

-1-

即 a≠0,有-

a+1 2 3 2a+1 ,解得 a∈?, 2 =- 且 2≠ a a a a

故当 l1∥l2 时,有 a=0,故选 C. 答案: C 5.已知圆心(a,b)(a<0,b<0)在直线 y=2x+1 上的圆,其圆心到 x 轴的距离恰好等于 圆的半径,在 y 轴上截得的弦长为 2 5,则圆的方程为( A.(x+2) +(y+3) =9
2 2 2

)
2

B.(x+3) +(y+5) =25

? 7?2 49 2 C.(x+6) +?y+ ? = ? 3? 9
2 2

? 2?2 ? 7?2 49 D.?x+ ? +?y+ ? = ? 3? ? 3? 9
2

解析: 由圆心到 x 轴的距离恰好等于圆的半径知,所求圆与 x 轴相切,由题意得圆的 半径为|b|,则圆的方程为(x-a) +(y-b) =b .由于圆心在直线 y=2x+1 上,得 b=2a+1 ①,令 x=0,得(y-b) =b -a ,此时在 y 轴上截得的弦长为|y1-y2|=2 b -a ,由已知得,
2 2 2 2 2

2 b -a =2 5,即 b -a =5

2

2

2

2

?a=-2 ? ②,由①②得? ? ?b=-3

?a=2 ? 3 或? 7 ? b= 3 ?

(舍去).所以,所求

圆的方程为(x+2) +(y+3) =9.故选 A. 答案: A 6.一条光线沿直线 2x-y+2=0 入射到直线 x+y-5=0 后反射,则反射光线所在的直 线方程为( ) B.x-2y+7=0 D.x+2y-9=0

2

2

A.2x+y-6=0 C.x-y+3=0

解析: 取直线 2x-y+2=0 上一点 A(0,2),设点 A(0,2)关于直线 x+y-5=0 对称的 点为 B(a,b),

?a+b+2-5=0 ?2 2 则? b-2 ? a =1 ?

,解得?

?a=3 ? ? ?b=5



?2x-y+2=0 ? ∴B(3,5).联立方程,得? ? ?x+y-5=0

,解得?

?x=1 ? ? ?y=4

.

∴直线 2x-y+2=0 与直线 x+y-5=0 的交点为 P(1,4), 4-5 ∴反射光线在经过点 B(3,5)和点 P(1,4)的直线上,其直线方程为 y-4= (x-1),整 1-3 理得 x-2y+7=0,故选 B. 答案: B

-2-

7.已知直线 l1 与圆 x +y +2y=0 相切,且与直线 l2:3x+4y-6=0 平行,则直线 l1 的 方程是________. 解析: 依题意,设所求直线 l1 的方程是 3x+4y+b=0,则由直线 l1 与圆 x +(y+1)
2 2

2

2

|b-4| =1 相切,可得圆心(0,-1)到直线 3x+4y+b=0 的距离为 1,即有 =1,解得 b=-1 5 或 b=9.因此,直线 l1 的方程是 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0. 答案: 3x+4y-1=0 或 3x+4y+9=0 8.(2012?江西卷)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x +y =1 的两条切线,若两条切线 的夹角是 60°,则点 P 的坐标是____________. 解析: 直线与圆的位置关系如图所示, 设 P(x, ), y 则∠APO=30°, OA=1.在直角三角形 APO 中, 且
2 2

OA=1,∠APO=30°,则 OP=2,即 x2+y2=4.又 x+y-2 2=0,
联立解得 x=y= 2,即 P( 2, 2). 答案: ( 2, 2) 9.(2012?河南三市二模)已知圆 C 的圆心与抛物线 y =4x 的焦点关于直线 y=x 对称, 直线 4x-3y-2=0 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=6,则圆 C 的方程为________. 解析: 设所求圆的半径是 R,依题意得,抛物线 y =4x 的焦点坐标是(1,0),则圆 C 的 |4?0-3?1-2| 2 2 圆心坐标是(0,1),圆心到直线 4x-3y-2=0 的距离 d= =1,则 R =d + 2 2 4 +? -3?
2 2

?|AB|?2=10,因此圆 C 的方程是 x2+(y-1)2=10. ? 2 ? ? ?
答案: x +(y-1) =10 10.已知两直线 l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相等. 解析: (1)∵l1⊥l2 ∴a(a-1)+(-b)?1=0,即 a -a-b=0.① 又点(-3,-1)在 l1 上, ∴-3a+b+4=0.② 由①②得 a=2,b=2. (2)∵l1∥l2,∴ =1-a,∴b= , b 1-a 故 l1 和 l2 的方程可分别表示为:
2 2 2

a

a

-3-

4? (a-1)x+y+

a-1? a =0,(a-1)x+y+ =0. a 1-a

又原点到 l1 与 l2 的距离相等. ∴4?

?a-1?=? a ?,∴a=2 或 a=2, ? ? ? 3 ? a ? ?1-a?

2 ∴a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 11.已知圆 M 的方程为 x +(y-2) =1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上, 过点 P 作圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B. (1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若 P 点的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程; (3)求证:经过 A,P,M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标. 解析: (1)设 P(2m,m),由题可知 MP=2,所以(2m) +(m-2) =4,解之得 m=0 或 m 4 = . 5
2 2 2 2

?8 4? 故所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P? , ?. ?5 5?
(2)由题意易知 k 存在,设直线 CD 的方程为 y-1=k(x-2),由题知圆心 M 到直线 CD 的 距离为 2 2 |-2k-1| 1 ,所以 = ,解得,k=-1 或 k=- , 2 2 2 7 1+k

故所求直线 CD 的方程为 x+y-3=0 或 x+7y-9=0. (3)证明:设 P(2m,m),MP 的中点 Q?m, +1?,因为 PA 是圆 M 的切线,所以经过 A,P, ? 2 ?

?

m

?

? m ? ?m ? M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆,故其方程为(x-m)2+?y- -1?2=m2+? -1?2. ?
2

?

?2

?

化简得:x +y -2y-m(2x+y-2)=0,此式是关于 m 的恒等式,

2

2

故?

? ?x +y -2y=0, ? ?2x+y-2=0,

2

2

解得?

? ?x=0, ? ?y=2

?x=4, ? 5 或? 2 ?y=5. ?

?4 2? 所以经过 A,P,M 三点的圆必过定点(0,2)或? , ?. ?5 5?
B 级 1.(2012?浙江四校调研)已知 M 为直线 l1:y=x+2 上任一点,点 N(-1,0),则过点 M,

N 且与直线 l2:x=1 相切的圆的个数可能为(
A.0 或 1

) B.1 或 2
-4-

C.0,1 或 2

D.2

解析: 本题考查圆锥曲线的定义、直线与圆锥曲线的交点.设圆心为 C,则 C 到点 N(- 1,0)的距离等于其到直线 x=1 的距离,由抛物线的定义可知,点 C 在抛物线 y =-4x 上,另 一方面,点 C 又在线段 MN 的中垂线上,于是 C 为中垂线与抛物线的交点,当点 M 在直线 y=x +2 上运动时,中垂线与抛物线的交点可能为 0 个,1 个,2 个.所以选 C. 答案: C sin x 2.函数 y= 的最大值为________,最小值为________. 2+cos x sin x-0 解析: y= 表示点 P(cos x,sin x)与点 A(-2,0) cos x-? -2? 连线的斜率,而点 P 在单位圆上,如右图,过 A 作单位圆的切线 AB,AC. 易知 kAB= 为 3 3 ,kAC=- 分别为斜率的最大值和最小值,那么 y 的最大值 3 3
2

3 3 ,最小值为- . 3 3 答案: 3 3 - 3 3

3.如图所示,已知直线 l:y=x,圆 C1 的圆心为(3,0),且经过点

A(4,1).
(1)求圆 C1 的方程; (2)若圆 C2 与圆 C1 关于直线 l 对称,点 B、D 分别为圆 C1、C2 上任意 一点,求|BD|的最小值; (3)已知直线 l 上一点 M 在第一象限,两质点 P、Q 同时从原点出发,点 P 以每秒 1 个单 位的速度沿 x 轴正方向运动, Q 以每秒 2 2个单位沿射线 OM 方向运动, 点 设运动时间为 t 秒. 问: 当 t 为何值时直线 PQ 与圆 C1 相切? 解析: (1)依题意,设圆 C1 的方程为(x-3) +y =r ,因为圆 C1 经过点 A(4,1),所以
2 2 2

r2=(4-3)2+12=2.
所以圆 C1 的方程为(x-3) +y =2. (2)由(1),知圆 C1 的圆心坐标为(3,0),半径为 2,
2 2

C1 到直线 l 的距离 d=

|3-0| 3 2 = , 2 1+1

3 2 2 所以圆 C1 上的点到直线 l 的最短距离为 - 2= . 2 2 因为圆 C2 与圆 C1 关于直线 l 对称,所以|BD|min=2? 2 = 2. 2

-5-

(3)当运动时间为 t 秒时,|OP|=t,|OQ|=2 2t,则 P(t,0), 由 Q∈l,可设点 Q 的坐标为(m,m)(m>0),则 m +m =(2 2t) , 2t-0 解得 m=2t,即 Q(2t,2t),所以 kPQ= =2. 2t-t 所以直线 PQ 的方程为 y=2(x-t),即 2x-y-2t=0. |2?3-0-2t| 10 若直线 PQ 与圆 C1 相切, C1 到直线 PQ 的距离 d′= 则 = 2, 解得 t=3± . 2 2 2 +1 即当 t=3± 10 时,直线 PQ 与圆 C1 相切. 2
2 2 2

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