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直线和平面所成的角微课


微课课题:直线和平面所成的角
广西岑溪市水汶华侨中学 蒙显娟 教学目标: (1)知识目标:学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤. (2)能力目标:培养学生的概括能力和探索创新能力. (3)思想目标:学生进一步内化化归的数学思想方法. 教学重点: (1)直线和平面所成的角的定义的生成. (2)求直线和平面所成的角的方法步骤. 教学难点:求直线和平面所成的角的方法步骤 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体及传统教具 复习:直线和平面所成的角 一)斜线和平面所成的角的概念 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面 所成的角。 射影:是斜线在平行光的正投影下在屏幕上的影子。 二)规定: (1)如果直线和平面垂直,就说直线和平面所成的角是直角. (2)如果直线和平面平行或在平面内,就说直线和平面所成角是 0? 的角. 强调: (1).斜线与平面平面的所成的角的范围(0° , 90° ) (2)直线和平面所成的角的范围是: ?0?,90??

二:例题精讲: 例 1:在单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,试求直线 BD1 与平面 ABCD 所成 的角,并且求出这个角的正切值。 解: ,由正方体的性质可知, DD1 ? 平面ABCD ,
D1

C1
B1

所以 BD1 在平面 ABCD 内的射影为 BD. 由直线和平面所成角的定义, 则 ?D1BD 为 BD1 与平面 ABCD 所成的角 在 Rt? D1BD 中, tan D1 BD ?
2 ,所以 2 2 . 2

A1

D

D
A B

C

C

直线 BD1 与平面 ABCD 所成的角为 arctan

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题型小结: 求斜线和平面所成的角一般步骤 ①作:作(或找)出斜线在平面上的射影 ②证:证明某平面角就是斜线与平面所成的角 ③算:通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算 变 式 1: 在单位正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, 求直线 AC 1 所成的角. 1 1 与截面 ABC1D 简解:过 A1 作 AO ? C1O 交 AD1 于点 O,易知: AO ? 截面ABC1D1 , 1 1 所以 OC1 为直线 AC 1 内的射影. 1 1 在平面 ABC1D 由直线和平面所成角的定义,所以
A1
D1

C1
B1

?AC 1 1O 即为直线 AC 1 所成的角. 1 1 与截面 ABC1D
在 ? AC 1 1O 中,可知 ?AC 1 1O ? 30? . 变式 2:如图,在三棱锥 P ? ABC 中,
PA ? 底面 ABC, PA ? AB , ?ABC ? 60? , ?BCA ? 90? ,
点 D , E 分别为棱 PB, PC 的中点, 求 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值 A

O D B

C

变式 3:在四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,
AD ? CD , DB 平 分 ?A D C, E 为 PC 的 中 点 ,

AD ? CD ? 1, DB ? 2 2 ,求直线 BC 与平面 PBD 所成角的
正切值

七、课堂小结: 一)直线和平面所成角的定义及其合理性. 二)初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤: ①作(找)出角; ②证明(认定)角; ③(在三角形中)求出角.
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