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空间向量及其运算和空间位置关系


空间向量及其运算和空间位置关系
一、上节课回顾
1. 如图,O 为坐标原点,直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b(a>0,b≠0),且交抛物线 y =2px (p>0)于 M(x1,y1),N(x2,y2)两点 (1)写出直线 l 的截距式方程;
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2

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y

M

1 1 1 (2)证明: + = ; y1 y 2 b
(3)当 a=2p 时,求∠MON 的大小
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o
N b

a

x

2. 如图, 矩形 ABCD 中, AB ? 2a, BC ? 2b , 以 AB 边所在的直线为 x 轴, AB 的中点为原点建立直角 坐标系, P 是 x 轴上方一点, 使 PC、PD 与线段 AB 分别交于 C1 、 D1 两点, 且 AD1 , D1C1 , C1 B 成等比 数列, 求动点 P 的轨迹方程
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2

2

2

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B

y o

P A C1 D1

x
D

C

3. 到两定点 A(0,0),B(3,4)距离之和为 5 的点的轨迹是 A 椭圆 B AB 所在直线 C 线段 AB D 无轨迹
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4.若点(x,y)在椭圆 4x +y =4 上,则 A1
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2

2

y 的最小值为 x?2

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B -1
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C-
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2 3

3

D 以上都不对
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5. 若直线 mx+ny-3=0 与圆 x +y =3 没有公共点,则 m、n 满足的关系式为_____;以(m,n)为点 P 的坐 标,过点 P 的一条直线与椭圆

2

2

x2 y2 + =1 的公共点有_________个 7 3

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二、本节课内容 (一)知识点归纳
一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行 向量) 共面向量 共线向量定理 共面向量定理 平行于同一平面的向量. 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b?存在λ ∈R,使 a=λ b. 若两个向量 a,b 不共线,则向量 p 与向量 a,b 共面?存在唯一的有序实 数对(x,y),使 p=xa+yb. (1)定理:如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有 空间向量基本 定理 序实数组{x,y,z}使得 p=x a+y b+z c. (2)推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间一点 P 都存在唯一的 三个有序实数 x、y、z 使 OP =x OA +y OB +z OC 且 x+y+z=1. 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合.

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

二、数量积及坐标运算 1.两个向量的数量积 (1)a·b=|a||b|cos〈a,b〉; (2)a⊥b?a·b=0(a,b 为非零向量); (3)|a| =a ,|a|= x +y +z . 2.向量的坐标运算
2

2

2

2

2

a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 向量差 数量积 共线 垂直 夹角 公式 三、平面的法向量 (1)所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量有无数多个, 它们是共线向量. (2)在空间中,给定一个点 A 和一个向量 a,那么以向量 a 为法向量且经过点 A 的平面是唯一的. cos〈a,b〉=

a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3) a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3) a·b=a1b1+a2b2+a3b3 a∥b? a1=λ b1,a2=λ b2,a3=λ b3(λ ∈R) a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0

a1b1+a2b2+a3b3 2 2 2 2 2 a +a2 +a3 b1+b2+b3
2 1

(二)练习回顾
1.已知 a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2)则下列结论正确的是( A.a∥c,b∥c B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b D.以上都不对 ) )

2.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( A.{a,a+b,a-b} C.{c,a+b,a-b} B.{b,a+b,a-b} D.{a+b,a-b,a+2b}

3.下列命题: ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB + BC + CD + DA =0; ②若 MB =x MA +y MB ,则 M、P、A、B 共面; ③若 p=x a+y b,则 p 与 a,b 共面. 其中正确的个数为( A.0 B.1 ) C.2 D.3

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

????

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点,则 OE =
________(用 a,b,c 表示).

5.已知 ABCD-A1B1C1D1 为正方体,①( A1 A + A1 D1 + A1 B1 ) =3 A1 B1 ;② A1C ·( A1 B1 - A1 A ) =0;③向量 AD1 与向量 A1 B 的夹角是 60°;④正方体 ABCD-A1B1C1D1 的体积为| AB · AA1 · AD |. 其中正确命题的序号是________.

???? ?

?????

?????

2

????? 2

???? ?
??? ?

?????

???? ?

???? ?

???? ?

???? ?

??? ?

1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理;求两点间距离或某一线段的 长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求异面直线所成的角, 一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应进行转化. 2.直线的方向向量与平面的法向量的确定: (1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A,B 是直线 l 上任意两点,则称 AB 为直线 l 的方向向量, 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l 的方向向量. (2)平面的法向量可利用方程组求出:设 a,b 是平面α 内两不共线向量,n 为平面α 的法向量,则求 法向量的方程组为?
?n·a=0, ? ? ?n·b=0.

??? ?

??? ?

(三)例题讲解
1、空间向量的线性运算 [例 1] 如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中 G 为△A1BD 的重心,

???? ? ???? ? ???? ??? ? ??? ? 设 AB =a, AD =b, AA1 =c,试用 a,b,c 表示 AC1 , AG .

变式: 本例条件不变,设 A1C1 与 B1D1 交点为 M,试用 a,b,c 表示 MG .

???? ?

总结:用已知向量表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键,要正确理解向量 加法、减法与数乘运算的几何意义,灵活运用三角形法则及四边形法则. 练习: 如图所示,已知空间四边形 OABC,其对角线为 OB、AC,M、N 分 别为 OA、BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 MG =2 GN ,若 OG =x OA +

???? ?

????

??? ?

??? ?

y OB +z OC ,则 x,y,z 的值分别为________.

??? ?

??? ?

2、共线、共面向量定理的应用 [例 2] 如右图,已知平行六面体 ABCD-A′B′C′D′,E、F、G、H 分别是 棱 A′D′、D′C′、C′C 和 AB 的中点,求证 E、F、G、H 四点共面.

总结:应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较: 三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面

??? ? ??? ? PA =λ PB 且同过点 P
对空间任一点 O, OP = OA →+t AB

??? ?

??? ?

??? ?

对空间任一点 O, OP =x OA +(1-x) OB

??? ?

??? ?

??? ?

???? ???? ???? MP =x MA +y MB ??? ? ???? ? ???? 对空间任一点 O, OP = OM +x MA + ???? y MB ??? ? ???? ? ??? ? 对空间任一点 O, OP =x OM +y OA +(1 ??? ? -x-y) OB

练习:已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点, 用向量方法,求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)BD∥平面 EFGH.

3、利用空间向量证明平行或垂直 [例 3] 已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,边

长为 2a,AD=DE=2AB,F 为 CD 的中点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE.

总结:利用直线的方向向量与平面的法向量,可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平 行和垂直. (1)设直线 l1 的方向向量 v1=(a1,b1,c1),l2 的方向向量 v2=(a2,b2,c2). 则 l1∥l2?v1∥v2?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2)(k∈R).

l1⊥l2?v1⊥v2?a1a2+b1b2+c1c2=0.
(2)设直线 l 的方向向量为 v=(a1, b1, c1), 平面α 的法向量为 n=(a2, b2, c2), 则 l∥α ?v⊥n?a1a2 +b1b2+c1c2=0.

l⊥α ?v∥n?(a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2).
(3)设平面α 的法向量 n1=(a1,b1,c1),β 的法向量为 n2=(a2,b2,c2),则α ∥β ?n1∥n2,α ⊥β ?n1⊥n2. 练习:如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方 形,O 为 AC 与 BD 的交点,BB1= 2,M 是线段 B1D1 的中点. (1)求证:BM∥平面 D1AC; (2)求证:D1O⊥平面 AB1C.

练习题 1.若直线 l 的方向向量为 a,平面α 的法向量为 n,能使 l∥α 的是( A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) )

2.已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ ),若 a,b,c 三向量共面,则实数λ 等于 ( ) 62 A. 7 63 B. 7 60 C. 7 D. 65 7

3.如图所示, 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 A1C1 与 B1D1 的交点. 若

???? ? ??? ? ??? ? ???? ? AB =a, AD =b, AA1 =c,则下列向量中与 BM 相等的向量是(
1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 C.- a- b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 D. a- b+c 2 2

)

π 4.如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= , 3 则 cos〈 OA , BC 〉的值为( A.0 B. 1 2 C.

??? ?

??? ?

) 3 2 D. 2 2

5. 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, 向量 AB 、AD 、AA1 两两的夹角均为 60°, 且| AB |=1, | AD | =2,| AA1 |=3,则| AC1 |等于( A.5 B.6

??? ? ??? ?

???? ?

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

) C.4 D.8

6.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面 正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段

D1Q 与 OP 互相平分,则满足 MQ =λ MN 的实数λ 的值有(
A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

???? ?

???? ?

)

7.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________.

???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ? ???? ? ???? ???? ???? ① OM =2 OA - OB - OC ;② OM = OA + OB + OC ;③ MA + MB + MC =0;④ OM 5 3 2
+ OA + OB + OC =0.

??? ?

??? ?

??? ?

8.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E、F 分别是棱 BC、DD1 上 的点,如果 B1E⊥平面 ABF,则 CE 与 DF 的和的值为________.

9.如图所示, PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面, AB=2, E 为 PB 的中点, cos 〈 DP , AE 〉=

??? ?

??? ?

3 ,若以 DA、DC,DP 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间 3

直角坐标系,则点 E 的坐标为________.

10.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,

E 是 PC 的中点.证明:
(1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面 ABE.

11.已知矩形 ABCD 中,AB=6,BC=6 2,E 为 AD 的中点(图甲).沿 BE 将△ABE 折起,使二面角 A -BE-C 为直二面角(图乙),且 F 为 AC 的中点. (1)求证:FD∥平面 ABE; (2)求证:AC⊥BE.

12.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PD⊥平面 ABCD,AD=1,

AB= 3,BC=4.
(1)求证:BD⊥PC; (2)设点 E 在棱 PC 上, PE =λ PC ,若 DE∥平面 PAB,求λ 的值.

??? ?

??? ?

作业:

??? ? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ? 1.已知 AB =(1,5,-2), BC =(3,1,z),若 AB ⊥ BC , BP =(x-1,y,-3),且 BP⊥平面
ABC,则实数 x,y,z 分别为(
33 15 A. ,- ,4 7 7 ) 40 C. ,-2,4 7 40 D.4, ,-15 7 ) 40 15 B. ,- ,4 7 7

2.设空间四点 O,A,B,P 满足 OP = OA +t AB ,其中 0<t<1,则有( A.点 P 在线段 AB 上 B.点 P 在线段 AB 的延长线上 D.点 P 不一定在直线 AB 上

??? ?

??? ?

??? ?

C.点 P 在线段 BA 的延长线上

3.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2,E、F 分别是 BB1、DD1 的中点.求证: (1)FC1∥平面 ADE; (2)平面 ADE∥平面 B1C1F.

备选题 1.已知在一个 60°的二面角的棱上,如图有两个点 A,B,AC,BD 分 别是在这个二面角的两个半平面内垂直于 AB 的线段,且 AB=4 cm,AC=6 cm,BD=8 cm,则 CD 的长为________.

2.如图所示,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CD=∠C1CB=∠BCD=60°. (1)求证:C1C⊥BD; (2)当

CD 的值是多少时,能使 A1C⊥平面 C1BD?请给出证明. CC1

3.如图所示,平面 PAD⊥平面 ABCD,ABCD 为正方形,△PAD 是直角三角形,且 PA=AD=2,E、F、G 分别 是线段 PA、PD、CD 的中点.求证:PB∥平面 EFG.


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