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2014高三数学(文)周练:概率


2014 高三数学(文)周练:概率
一、选择题 1 . 已 知 集 合 A ? x | 2 x ? x ? 3 ? 0 , B ? ? x | y ? 1g
2

?

?

? ?

1? x ? ? , 在 区 间 ?? 3,3? 上 任 取 一 实 数 x , 则 x ? 3

?
1 12

“ x ? A ? B ”的概率为 (A)

1 4

(B)

1 8

(C)
2

1 3

(D)

【答案】C【解析】 A ? x | 2 x ? x ? 3 ? 0 ? {x ?1 ? x ? } ,

?

?

3 2

1? x ? 1? x ? B ? ? x | y ? 1g ? 0} ? {x (1 ? x)( x ? 3) ? 0} ? {x ?3 ? x ? 1} ? ? {x x ? 3? x?3 ?

,





A ? B ? { x ?1 ? x ? 1}, 因 为 x ? A ? B , 所 以 ?1 ? x ? 1 . 根 据 几 何 概 型 可 知 x ? A ? B 的 概 率 为
1 ? (?1) 2 1 ? ? ,选 C. 3 ? (?3) 6 3
2 .从 ?1, 2,3, 4,5? 中随机选取一个数为 a 从 ?2,3, 4? 中随机选取一个数 b,则 b ? a 的概率是

A.

4 5

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

【答案】 C

从两个集合中各选 1 个数有 15 种,满足 b ? a 的数有, (1, 2), (1,3), (2,3), (1, 4), (2, 4), (3, 4) 共有

6 个,所以 b ? a 的概率是

6 2 ? ,选 C. 15 5

3 .(山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测(二模)数学(文)试题)设

p在 ? 0,5? 上随机地取值,则关

于 x 的方程 x ? px ? 1 ? 0 有 实数根的概率为
2

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5
2

D.

4 5

【答案】C

方程有实根,则 ? ? p ? 4 ? 0 ,解得 p ? 2 或 p ? ?2 (舍去).所以由几何概型可知所求的概率



5?2 3 ? ,选 C. 5?0 5

二、填空题 4 .在如图的表格中,每格填上一个数字后,使得每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,则 a ? b ? c 的

值为________________.

【答案】1【解析】由题意知 2a

? 1 ,所以

a?

1 1 1 3 m ? 3 ? ( )3 ? 2 .第三列和第五列的公比都为 2 ,所以 2 8 ,所

2b ?


1 3 5 5 1 3 ? ? b? c ? 3 ? ( )4 ? 4 8 8 ,即 16 . 2 16 ,所以

a?b?c ?

1 5 3 ? ? ?1 2 16 16 .

5 .已知向量 a=(1,-2),b=(x,y),若 x,y∈[1,4],则满足 a ? b ? 0 的概率为_____.

? ?

【 答 案 】

1 9

因 为 a ?b ? 0 , 所 以 x ? 2y ? 0 , 又 ?

? ?

?1 ? x ? 4 . 做 出 可 行 域 如 图 ?1 ? y ? 4

, 当 y ? 1 时 , x ? 2, y ? 2 , 即 B (2, 0) . 当 x ? 4 时 , y ?

x 4 ? ? 2 ,即 2 2

? ? 1 D(4, 2) ,所以 BC ? 2, CD ? 1 ,即三角形 BCD 的面积为 ?1? 2 ? 1 .所以由几何概型可知满足 a ? b ? 0 的 2
概率为

1 1 ? . 3? 3 9

三、解答题 6 .某校从高一年级学生中随机抽取 50 名学生,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于

40 分的整数)分成六段: ? 40,50 ? , ?50, 60 ? , ???, ?90,100 ? ,得到如图所示的频率分布直方图.

(I)若该校高一年级共有学生 1000 人,试估计成绩不低于 60 分的人数; (II) 为了帮助学生提高数学成绩 , 学校决定在随机抽取的 50 名学生中成立“二帮一”小组 , 即从成绩

?90,100? 中选两位同学,共同帮助 ? 40,50 ? 中的某一位同学.已知甲同学的成绩为 42 分,乙同学的成绩为 95
分,求甲、乙恰好被安排在同一小组的概率. 【答案】解:(Ⅰ)根据频率分布直方图, 成绩不低于 60 分的频率为 1 ? 10 ? (0.004 ? 0.010) ? 0.86 由于该校高一年级共有学生 1000 人,利用样本估计总体的思想,可估计该校高一年级数学成绩不低于 60 分 的人数为 1000 ? 0.86 ? 860 人 (Ⅱ)成绩在 ? 40,50 ? 分数段内的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 50 ? 0.1 ? 5 人, [40,50)内有 2 人,记为甲、A.[90,100)内有 5 人,记为乙、B、C、D、 E . 则“二帮一”小组有以下 20 种分组办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E , 甲 BC, 甲 BD,甲 B E ,甲 CD, 甲 C E , 甲 DE, A 乙 B,A 乙 C,A 乙 D,A 乙 E,ABC,ABD,ABE , 其中甲、乙两同学被分在同一小组有 4 种办法:甲乙 B,甲乙 C,甲乙 D,甲乙 E 所以甲乙两同学恰好被安排在同一小组的概率为 P ?

ACD, ACE, ADE

4 1 ? 20 5

7 .某校从参加高三年级期中考试的学生中随机统计了 40 名学生的政治成绩,这 40 名学生的成绩全部在

40 分至 l00 分之间,据此绘制了如图所示的样本频率分布直方图. (I)求成绩在[80,90)的学生人数; (Ⅱ)从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生,求至少有 l 名学生成绩在 [90,100]的概率.

【答案】解:(Ⅰ)因为各组的频率之和为 1,所以成绩在区间 [80,90) 的频率为

1 ? (0.005 ? 2 ? 0.015 ? 0.020 ? 0.045) ?10 ? 0.1 ,

S

所以,40 名学生中成绩在区间 [80,90) 的学生人数为 40 ? 0.1 ? 4 (人) (Ⅱ)设 A 表示事件“在成绩大于等于 80 分的学生中随机选两名学生,至少有一 N M 名学生成绩在区间 [90,100] 内”, 由已知和(Ⅰ)的结果可知成绩在区间 [80,90) 内的学生有 4 人, 记这四个人分别为 a, b, c, d , 成绩在区间 [90,100] 内的学生有 2 人,记这两个人分别为 e, f 则选取学生的所有可能结果为: D C A B

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f ), (b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ) , (d , e), (d , f ), (e, f )
基本事件数为 15, 事件“至少一人成绩在区间 [90,100] 之间”的可能结果为:

(a, e), (a, f ), (b, e), (b, f ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f ) ,
基本事件数为 9, 所以 P ( A) ?

9 3 ? 15 5

8 .以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒假假期中去图书

馆 B 学习的次数. 乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表示. 甲组 9 1 2 0 1
第 18 题图

乙组 x 8 2 9

(1)如果 x =7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x =9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学 习的次数和大于 20 的概率.
【 答 案 】 解 (1) 当 x=7 时 , 由 茎 叶 图 可 知 , 乙 组 同 学 去 图 书 馆 学 习 次 数 是 :7,8,9,12, 所 以 平 均 数 为

x?

7 ? 8 ? 9 ? 12 ? 9; 4

方差为 s 2 ?

1 7 [(7 ? 9) 2 ? (8 ? 9) 2 ? (9 ? 9) 2 ? (12 ? 9) 2 ] ? . 4 2

(2)记甲组 3 名同学为 A1,A2,A3,他们去图书馆学习次数依次为 9,12,11;乙组 4 名同学为 B1,B2,B3,B4,他们去 图书馆学习次数依次为 9,8,9,12;从学习次数大于 8 的学生中人选两名学生,所有可能的结果有 15 个,它们 是: A1A2,A1A3,A1B1,A1B3,A1B4,A2A3,A2B1,A2B3,A2B4,A3B1,A3B3,A3B4, B1 B3,B1B4,B3B4 用 C 表示:“选出的两名同学恰好在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20”这一事件,则 C 中的结果有 5 个,它们是:A1B4,A2B4,A2B3,A2B1,A3B4, 故选出的两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 概率为 P (C ) ?

5 1 ? . 15 3

9 .某普通高中共有教师 360 人,分为三个批次参加研修培训,在三个批次中男、女教师人数如下表所示:

第一批次 已知 在 的概 率 (Ⅰ) 求 女教师 男教师

第二批次

第三批次

86

x
66

y
z

全体教师中随机抽取 1 名,抽到第二、 三批次中女教师 分别是 0.15 、 0.1 .

94

x, y, z 的值;

(Ⅱ)为了调查研修效果,现从三个批次中按 1: 60 的比例抽取教师进行问卷调查,三个批次被选取的人数分 别是多少? (Ⅲ)若从(Ⅱ)中选取的教师中随机选出两名教师进行访谈,求参加访谈的两名教师“分别来自两个批次” 的概率.
【答案】解:(Ⅰ) x ? 360 ? 0.15 ? 54, y ? 360 ? 0.1 ? 36

z ? 360 ? 86 ? 54 ? 36 ? 94 ? 66 ? 24
(Ⅱ)由题意知,三个批次的人数分别是 180,120, 60 ,所以被选取的人数分别为 3, 2,1 (Ⅲ)第一批次选取的三个教师设为 A1 , A2 , A3 ,第二批次的教师为 B1 , B2 ,第三批次的教师设为 C ,则从这 6 名 教 师 中 随 机 选 出 两 名 教 师 的 所 有 可 能 组 成 的 基 本 事 件 空 间 为

? ? ? A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1 B2 , A1C , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A2C , A3 B1 , A3 B2 , A3C , B1B2 , B1C , B2C } 共 15 个
“来自两个批次”的事件包括

?1 ? ? A1 B1 , A1 B2 , A1C , A2 B1 , A2 B2 , A2C , A3 B1 , A3 B2 , A3C , B1C , B2C } 共 11 个,
所以“来自两个批次”的概率 p ?

11 15

10.)从某学校的 800 名男生中随机抽取 50 名测量身高,被测学生身高全部介于 155 cm 和 195 cm 之间,将

测量结果按如下方式分成八组:第一组[ 155 , 160 ),第二组[ 160 , 165 ),,第八组[ 190 , 195 ],右图是按上 述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为 4 人. (Ⅰ)求第七组的频率; (Ⅱ)估计该校的 800 名男生的身高的中位数以及身高在 180 cm 以上(含 180 cm)的人数;

(Ⅲ)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生,记他们的身高分别为 x, y ,事件

E ? { x ? y ? 5 },事件 F ? { x ? y ? 15 },求 P( E ? F ) .
频率/组距 频率/组距 0.06

0.04

0.016 0.008 O
155 160 165 170 175 180 185 190 195 身高 (cm) 身高(cm)

【答案】(Ⅰ)第六组的频率为

4 ? 0.08 ,所以第七组的频率为 50

1 ? 0.08 ? 5 ? (0.008 ? 2 ? 0.016 ? 0.04 ? 2 ? 0.06) ? 0.06 ;
(Ⅱ)身高在第一组[155,160)的频率为 0.008 ? 5 ? 0.04 , 身高在第二组[160,165)的频率为 0.016 ? 5 ? 0.08 , 身高在第三组[165,170)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 身高在第四组[170,175)的频率为 0.04 ? 5 ? 0.2 , 由于 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.32 ? 0.5 , 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? 0.2 ? 0.52 ? 0.5 估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 m ,则 170 ? m ? 175 由 0.04 ? 0.08 ? 0.2 ? ( m ? 170) ? 0.04 ? 0.5 得 m ? 174.5 所以可估计这所学校的 800 名男生的身高的中位数为 174.5 由直方图得后三组频率为 0.06 ? 0.08 ? 0.008 ? 5 ? 0.18 , 所以身高在 180cm 以上(含 180cm)的人数为 0.18 ? 800 ? 144 人 (Ⅲ)第六组 [180,185) 的人数为 4 人 , 设为 a, b, c, d , 第八组 [190,195] 的人数为 2 人 , 设为 A, B , 则有

ab, ac, ad , bc, bd , cd , aA, bA, cA, dA, aB, bB, cB, dB, AB 共 15 种情况,
因事件 E ? { x ? y ? 5 } 发生当且仅当随机抽取的两名男生在同一组 , 所以事件 E 包含的基本事件为

ab, ac, ad , bc, bd , cd , AB 共 7 种情况,故 P( E ) ?

7 15

由于 x ? y max ? 195 ? 180 ? 15 ,所以事件 F ? { x ? y ? 15 }是不可能事件, P ( F ) ? 0 由于事件 E 和事件 F 是互斥事件,所以 P ( E ? F ) ? P ( E ) ? P ( F ) ?
11.本小题满分 l2 分)

7 15

为了增强学生的环保意识,某中学随机抽取了 50 名学生举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均 为整数,满分 100 分)整理得到的频率分布直方图如下图.若图中第一组(成绩为[40,50))对应矩形高是第六 组(成绩为[90,100])对应矩形高的一半.

(1)试求第一组、第六组分别有学生多少人? (2)若从第一组中选出一名学生,从第六组中选出 2 名学生,共 3 名学生召开座谈会,求第一组中学生 A1 和第 六组中学生 B1 同时被选中的概率.

【答案】

12.有编号为 A1,A2,A3,,A6 的 6 位同学,进行 100 米赛跑,得到下面的成绩:

其中成绩在 13 秒内的同学记 为优秀. (l)从上述 6 名同学中,随机抽取一名,求这名同学成绩优秀的概率; (2)从成绩优秀的同学中,随机抽取 2 名,用同学的编号列出所有可能的抽取结果,并求这 2 名同学的成绩都 在 12.3 秒内的概率.
【答案】

13.某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将测试结果按如下方式分成五组:

第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,,第五组 ?17,18? ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

(1)若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为良好,求该班在这次百米测试中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 的概率.
频率/组距

0.36 0.28 0.24

0.08 0.04 13 14 15 16 17 18 秒

(第 20 题)
【答案】解:(1)由频率分布直方图知,成绩在 [14,16) 内的人数为: 50 ? 0.28 ? 50 ? 0.36 ? 32 (人)

所以该班成绩良好的人数为 32 人 (2)由频率分布直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50 ? 0.04 ? 2 人,设为 x 、 y ; 成绩在 [17,18) 的人数为 50 ? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D 若 m, n ? [13,14) 时,有 xy 1 种情况; 若 m, n ? [17,18) 时,有 AB, AC , AD, BC , BD, CD 6 种情况; 若 m, n 分别在 [13,14) 和 [17,18) 内时,

x y
共有 8 种情况

A xA yA

B xB yB

C xC yC

D xD yD

所以基本事件总数为 15 种,事件“ | m ? n |? 1 ”所包含的基本事件个数有 8 种. ∴ P ( | m ? n |? 1 ) ?

8 15

14.有一个不透明的袋子,装有 3 个完全相同的小球,球上分别编有数字 l,2,3.

(1)若逐个不放回取球两次,求第一次取到球的编号为偶数且两个球的编号之和能被 3 整除的概率; (2)若先从袋中随机取一个球,该球的编号为 a,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一个球,该球的编号为 b,求直线 ax+by+1=0 与圆 x + y =
【答案】
2 2

1 有公共点的概率. 9

15.某高校组织的自主招生考试,共有 1000 名同学参加笔试,成绩均介于 60 分到 100 分之间,从中随机抽

取 50 名同学的成绩进行统计,将统计结果按如下方式分为 4 组:第 1 组[60,70),第 2 组[70,80),第 3 组 [80,90),第 4 组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,且笔试成绩在 85 分(含 85 分)以 上的同学有面试资格. (Ⅰ)估计所有参加笔试的 1000 名同学中,有面试资格的人数; (Ⅱ)已知某中学有甲、乙两位同学取得面试资格,且甲的笔试比乙的高;面试时,要求每人回答两个问题,假设甲、 乙两人对每一个问题答对的概率均为 ;

1 2

若甲答对题的个数不少于乙,则甲比乙优先获得高考加分资格.求甲比乙优先获得高考加分资格的概率.
频率/组距 0.036 0.03 0.014

o

得分

60 70 80 90 100
第 20 题图

【答案】解:(Ⅰ)设第 i (i ? 1, 2,3, 4) 组的频率为

fi ,则由频率分布直方图知

f 4 ? 1 ? (0.014 ? 0.03 ? 0.036) ?10 ? 0.2
所以成绩在 85 分以上的同学的概率 P≈

f3 0.036 ?10 +f 4 ? ? 0.2 ? 0.38, 2 2

故这 1000 名同学中,取得面试资格的约有 1000×0.38=380 人. (Ⅱ)设答对记为 1,打错记为 0,则所有可能的情况有: 甲 00 乙 00,甲 00 乙 10,甲 00 乙 01,甲 00 乙 11,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01, 甲 10 乙 11,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01,甲 01 乙 11,甲 11 乙 00,甲 11 乙 10, 甲 11 乙 01,甲 11 乙 11,共 16 个 甲答对题的个数不少于乙的情况有: 甲 00 乙 00,甲 10 乙 00,甲 10 乙 10,甲 10 乙 01,甲 01 乙 00,甲 01 乙 10,甲 01 乙 01, 甲 11 乙 00,甲 11 乙 01,甲 11 乙 10,甲 11 乙 11,共 11 个 故甲比乙优先获得高考加分资格的概率为

11 . 16

16.若人们具有较强的节约意识,到饭店就餐时吃光盘子里的东西或打包带走,称为“光盘族”,否则称为

“非光盘族”某班几位同学组成研究性学习小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调 查得到如下统计表:

(I)求 a、b 的值并估计本社区[ 25,55]岁的人群中“光盘族”人数所占的比例; (Ⅱ)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样法抽取 8 人参加节约粮食宣传活动,并从这 8 人中选 取 2 人作为领队,求选取的 2 名领队分别来自[35,40)与[ 40,45)两个年龄段的概率.
【答案】解:(1)第一组的人数为 50,第一组的频率为 0.05 ,所以 n ?

50 ? 1000 人 0.05

所以光盘族占比为

520 ? 52% 1000

17.对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取 M 名学生作样本,得到这 M 名学生参加社区

服务的次数,根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率颁直方图如下:

(1 求出表中 M,p 及图中 a 的值; (2)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于 20 次的学生中任选 2 人,求至多一人参加社区服务次数在 区间[25,30]内的概率.
【答案】

18.某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数 X 依次为 1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取

20 件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下: X 频率 1 a 2 0.2 3 0.45 4 b 5 c (1)若所抽 取的 20 件 日用品中,

等级系数为 4 的恰有 3 件,等级系数为 5 的恰有 2 件,求 a,b,c 的值; (2)在(1)的条件下,将等级系数为 4 的 3 件日用品记为 x1,x2,x3,等级系数为 5 的 2 件日用品记为 y1,y2,现从 x1,x2,x3,y1,y2 这 5 件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求 这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.
【答案】解答:(1)由频率分布表得 a+0.2+0.45+b+c=1,

a+b+c=0.35

因为抽取的 20 件日用品中,等级系数为 4 的恰有 3 件,所以 b= 等级系数为 5 的恰有 2 件,所以 c= 从而 a=0.35-b-c=0.1 所以 a=0.1 b=0.15 (2) 从 日 用 品

3 =0.15 20

2 =0.1 20

c=0.1

X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中 任 取 两 件 , 所 有 可 能 结 果

( X 1 , X 2 ),( X 1 , X 3 ),( X 1 , Y1 ),( X 1 , Y2 ),( X 2 , X 3 ),( X 2 , Y1 ),( X 2 , Y2 ),( X 3 , Y1 ),( X 3 , Y2 ),(

Y1 , Y2 )共 10 种,
设事件 A 表示“从日用品 X 1 , X 2 , X 3 , Y1 , Y2 中任取两件,其等级系数相等”,则 A 包含的基本事件为 ( X 1 , X 2 ),( X 1 , X 3 ),( X 1 , X 2 ),( Y1 , Y2 )共 4 个, 故所求的概率 P(A)=

4 =0.4 10

19.某学校组织 500 名学生体检,按身高(单位:cm)分组:第 1 组[155,160),第 2 组[160,165),第 3 组

[165,170),第 4 组[170,175),第 5 组[175,180],得到的频率分布直方图如图所示. (1)下表是身高的频数分布表,求正整数 m,n 的值;

(2)现在要从第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人,第 1,2,3 组应抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的前提下,从这 6 人中随机抽取 2 人,求至少有 1 人在第 3 组的概率.

【答案】

20.有六张纸牌,上面分别写有 1,2,3,4,5,6 六个数字,甲、乙两人玩一种游戏:甲先取一张牌,记下点数,

放回后乙再取一张牌,记下点数.如果两个点数的和为偶数就算甲胜,否则算乙胜. (1)求甲胜且点数的和为 6 的事件发生的概率; (2)这种游戏规则公平吗?说明理由.

【答案】解:(1)设“甲胜且点数的和为 6”为事件 A,甲的点数为 x,乙的点数为 y,则(x,y)表示一个基本事

件 两人取牌结果包括(1,1),(1,2),(1,5),(1,6),(2,1),(6,1),(6,6)共 36 个基本事件; A 包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3)(4,2),(5,1)共 5 个, 所以 P(A) ?

5 36 5 36

所以,编号之和为 6 且甲胜的概率为

(2)这种游戏公平.设“甲胜”为事件 B,“乙胜”为事件 C.甲胜即两个点数的和为偶数 所 包 含 基 本 事 件 为 以 下 18 个 :(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3)(5,5) ,(6,2),(6,4),(6,6) 所以甲胜的概率为 P ( B ) ?

18 1 18 1 ? ;乙胜的概率为P(C) ? ? 36 2 36 2

? P( B) ? P(C ) ? 这种游戏规则是公平的.
21.甲、乙两名考生在填报志愿时都选中了 A 、 B 、 C 、 D 四所需要面试的院校,这四所院

校的面试安排在同一时间.因此甲、乙都只能在这四所院校中选择一所做志愿,假设每位 同学选择各个院校是等可能的,试求: (Ⅰ)甲、乙选择同一所院校的概率; (Ⅱ)院校 A 、 B 至少有一所被选择的概率.
【答案】

22. M 公司从某大学招收毕业生,经过综合测试,录用了 14 名男生和 6 名女生,这 20 名毕业生的测试成绩

如茎叶图所示(单位:分),公司规定:成绩在 180 分以上者到“甲部门”工作;180 分以下者到“乙部门”工 作. (I)求男生成绩的中位数及女生成绩的平均值; (II)如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中共选取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么 至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少?

【答案】

23.为了解社会对学校办学质量的满意程度,某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会

中共抽取 6 人进行问卷调查,已知高一、高二、高三的家长委员会分别有 54 人、1 8 人、36 人. (I)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数; (Ⅱ)若从抽得的 6 人中随机抽取 2 人进行训查结果的对比,求这 2 人中至少有一人是高三学生家长的慨率. 6 1 【答案】解:(Ⅰ)家长委员会人员总数为 54+18+36=108,样本容量与总体中的个体数的比为 ? ,故从 108 18 三个年级的家长委员会中分别抽取的人数为 3,1,2 人 (Ⅱ)设 A1 , A2 , A3 为从高一抽得的 3 个家长, B1 为从高二抽得的 1 个家长, C1 , C2 为从高三抽得的 2 个家长. 则 抽 取 的 全 部 结 果 有:( A1 , A2 ),( A1 , A3 ),( A1 , B1 ),( A1 , C1 ),( A1 , C2 ),( A2 , A3 ),( A2 , B1 ),( A2 , C1 ),( A2 , C2 ),( A3 , B1 ),( A3 , C1 ) ,( A3 , C2 ),( B1 , C1 ),( B1 , C2 ),( C1 , C2 )共 15 种,

X? 令 “ 至 少 有 一 人 是 高 三 学 生 家 长 ”, 结 ( A1 , C1 ),( A1 , C2 ),( A2 , C1 ),( A2 , C2 ),( A3 , C1 ),( A3 , C2 ),( B1 , C1 ),( B1 , C2 ),( C1 , C2 )共 9 种
所以这 2 人中至少有 1 人是高三学生家长的概率是 P( X ) ?
9 3 ? . 15 5






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