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2013-11-23数列典型试题(放缩法)题目及答案


2013-11-23 数列典型试题(放缩法)题目及答案
48.已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? ?1? ? 0 ,且 x ? f ? x ? ?

1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立. 2

(1)求 f ?1? (3)求证:

(2)求 f ? x ? 的表达式;
1 1 1

1 4n . ? ? ??? ? f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ? n ? 2n ? 4

48.解: (1)根据 x ? f ? x ? ?

1 2 ? x ? 1? 对一切实数 x 恒成立, 2

令 x ? 1 ,可得 1 ? f ?1? ?

1 2 ?1 ? 1? ? 1 ,? f ?1? ? 1 ; 2

1 ? a?c ? ? ? f ? ?1? ? a ? b ? c ? 0 ? ? 2 (2)设 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 ? ,解得 ? 1 f 1 ? a ? b ? c ? 1 ? ? ? ? ? b? ? ? 2
2

1 1 1 1 1 又 f ? x ? ? ax2 ? x ? c ? ax 2 ? x ? ? a ? x 恒成立,即 ax 2 ? x ? ? a ? 0 恒成立, 2 2 2 2 2
a?0 ? 1 1 1 1 1 1 2 ? ,解得 a ? , c ? , f ? x ? ? x2 ? x ? ? ? x ? 1? ?? 1 2 4 4 2 4 4 4 ? ? ? 2 a ? 4 a ? 0 ? ? 4
1 1 1 1 4 4 4 4 1 2 (3) 由 (2) 得f? ? ? ??? ? ? ? ??? n ?? n ? ? 1? , 2 f ?1? f ? 2 ? f ? 3? f ? n ? 22 32 42 4 ? n ? 1?
? 1 ? 1 1 1 1 1 ? 1 ? 4n ?1 1 1 1 ?1 ? 4? ? ? ?? ? 4? ? ? ? ??? ? ? ? ? 4? ? ?? ? 2 ?3 3? 4 4 ?5 ? n ? 1 n ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 2 2 n ? 2 2 n ?4 ? ?? ?? ? ? ? ? ?

38.在数列 {a n }中,已知a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n an ? 1

(I)求数列 {a n } 的通项公式; (II)求证: a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1) ? 3
38. (I)解:由 a1 ? 2, a n ?1 ?

2a n 可知, 对n ? N * , a n ? 0 an ? 1

从而由 a n ?1 ?

2a n 1 1 1 1 1 1 两边取倒数得, ? ? 即 ? 1 ? ( ? 1) an ? 1 a n ?1 2 2a n a n ?1 2 an

? a1 ? 2,

1 1 ?1 ? ? . a1 2

? 数列{

1 1 1 ? 1}是首项为 ? , 公比为 的等比数列 an 2 2

?

1 1 1 1 ? 1 ? ? ( ) n ?1 ? ?( ) n . an 2 2 2
1 1 2n ?1 ?1 ? ? n ? an 2 2n 2n . 2n ?1

?

? an ?

故数列 {a n }的通项公式是a n ?

2n . 2n ? 1

(II)? a n ?

2n . 2n ? 1
2i (i ? 1,2, ? n), ( 2 i ? 1) 2

? ai ( ai ? 1) ? 当i ? 2时,

2i 2i 2 i ?1 1 1 ? ai (ai ? 1) ? i ? i ? i ? i ?1 ? i 2 i i ?1 (2 ? 1) (2 ? 1)( 2 ? 2) (2 ? 1)( 2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

? ? ai (ai ? 1) ? a1 (a1 ? 1) ? a 2 (a 2 ? 1) ? ? ? a n (a n ? 1)
i ?1

n

? ?

21 22 2n ? ? ? ? (21 ? 1) 2 (2 2 ? 1) 2 (2 n ? 1) 2

21 1 1 1 1 1 1 ?( 1 ? 2 )?( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ?1 ? n ) 1 2 (2 ? 1) 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 1 ? 2 ?1? n 2 ?1 1 ? 3 ? n ?1 ? 3. 2
bn ? bn ? 2 ? bn ?1 ;② bn ? M ( n ? N? , M 是与 n 无关的常数)的无穷 2

【山东省青岛市 2012 届高三期末检测 理】19. (本小题满分 12 分) 设同时满足条件:①

数列 {bn } 叫“嘉文”数列.已知数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足: Sn ?

a (an ? 1) ( a 为常 a ?1

数,且 a ? 0 , a ? 1 ) . (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

?1? 2Sn ? 1 ,若数列 {bn } 为等比数列,求 a 的值,并证明此时 ? ? 为“嘉文” an ? bn ?

数列. 【答案】19. (本小题满分 12 分)

a (a1 ? 1) ,所以 a1 ? a a ?1 a a 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? an ? an ?1 a ?1 a ?1 an ? a ,即 {an } 以 a 为首项, a 为公比的等比数列. an ?1
解: (Ⅰ)因为 S1 ? ∴ an ? a ? a n ?1 ? a n ; ??????????????????????4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ? 若 {bn } 为等比数列,

2?

a (an ? 1) (3a ? 1)an ? 2a a ?1 , ?1 ? an (a ? 1)an

则有 b2 2 ? b1 ? b3 ,而 b1 ? 3 , b2 ?

3a 2 ? 2a ? 2 3a ? 2 , b3 ? [来源:学*科*网 Z*X*X*K] a2 a
????????????7 分

故(

3a ? 2 2 3a 2 ? 2a ? 2 1 ) ? 3? ,解得 a ? 2 a a 3

再将 a ?

1 1 代入得 bn ? 3n 成等比数列, 所以 a ? 成立 ???????8 分 3 3

1 1 1 1 1 1 ? 2 n ? n?2 ? bn bn ? 2 3n 3n ? 2 1 1 3 3 ? ? ? n ?1 ? 由于① ???????10 分 2 2 2 3 bn ?1
1 1 1 1 ? ? b bn ? 2 b bn ? 2 1 1 5 1 2 ? ? ? n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? 0 ,所以 n (或做差更简单:因为 n 2 bn ?1 2 bn ?1 3 3 3
也成立) ②

1 1 1 1 ? n ? ,故存在 M ? ; bn 3 3 3

所以符合①②,故 ?

?1? ? 为“嘉文”数列???????????????12 分 ? bn ?

8.(2009 山东卷理)(本小题满分 12 分) 等比数列 { an } 的前 n 项和为 S n , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n , Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记 证明:对任意的 n ? N

bn ? 2 ( l o2g an ?
?

1 n) ? (N ?

)
.

,不等式

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? n ? 1 成立 b1 b2 bn
x

解:因为对任意的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数的图像 上 . 所 以 得
n

?

Sn ? bn ? r
n ?1

,



n ?1 时 ,

a1 ? S1 ? b ? r

,



n?2

时, an ? Sn ? Sn ?1 ? b ? r ? (b

? r ) ? b n ? b n?1 ? (b ? 1)b n?1 ,又因为{ an }为等比数列,所以

r ? ?1 ,公比为 b , an ? (b ? 1)b n ?1
(2)当 b=2 时, an ? (b ? 1)b 则
n ?1

? 2n ?1 ,

bn ? 2(log 2 an ? 1) ? 2(log 2 2n?1 ? 1) ? 2n

bn ? 1 2n ? 1 b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? ? ? ,所以 1 b1 b2 bn 2 4 6 2n bn 2n

.

下面用数学归纳法证明不等式

b ? 1 3 5 7 2n ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·n ? ? ? ? ? n ? 1 成立. b1 b2 bn 2 4 6 2n

① 当 n ? 1 时,左边=

3 3 ,右边= 2 ,因为 ? 2 ,所以不等式成立. 2 2
b ? 1 3 5 7 2k ? 1 b1 ? 1 b2 ? 1 · · · · · · ·k ? ? ? ? ? k ? 1 成立. b1 b2 bk 2 4 6 2k

② 假设当 n ? k 时不等式成立,即

则当 n ? k ? 1 时,左边=

b ? 1 bk ?1 ? 1 3 5 7 b1 ? 1 b2 ? 1 2k ? 1 2k ? 3 · · · · · · ·k ? ? ? ??? ? b1 b2 bk bk ?1 2 4 6 2k 2k ? 2
4( k ? 1) 2 ? 4( k ? 1) ? 1 1 ? (k ? 1) ? 1 ? ? (k ? 1) ? 1 4(k ? 1) 4( k ? 1)
.

? k ?1 ?

2k ? 3 (2k ? 3) 2 ? ? 2k ? 2 4(k ? 1)

所以当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 18.(2009 四川卷文) (本小题满分 14 分) 设 数 列 ? an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ? an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找 出一个正整数 k ;若不存在,请说明理由; (III) 记 cn ? b2 n ? b 设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求证: 对任意正整数 n 都 2 n1 ? (n ? N ) ,
*

有 Tn ?

3 ; 2

【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an ?1 ? 5Sn ?1 ? 1

1 4

? an ?1 ? an ? 5an ?1 ,即

an ?1 1 ?? an 4

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? ?????????????3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
∴数列 ? an ? 是首项为 a1 ? ? (II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。

1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 证明:由(I)知 bn ? 1 n (?4) n ? 1 1 ? (? ) 4
? b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ? 5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8 ? ? ? 8 ? ? 8. (?4) 2 k ?1 ? 1 (?4) 2 k ? 1 16k ? 1 16k ? 4 (16k ? 1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?1 ? b2 m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?3 ? b2 m?2 ) ? b2 m?1 ? 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k
?

∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ?

?????????????8 分

5 得 (?4) n ? 1

cn ? b2 n ?1 ? b2 n ?
又 b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? ? ? ? ? 42 n ? 1 42 n ?1 ? 1 (16n ? 1)(16n ? 4) (16n ) 2 ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2 当 n ? 2 时,
1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 2 4 1 1 1 4 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 16 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 2 4 69 3 ? ? 25 ? 16 ? ? 1 48 2 3 1? 16
?????????????14 分

33.(2009 重庆卷文) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)问 3 分, (Ⅱ)问 4 分, (Ⅲ)问 5 分) 已知 a1 ? 1, a2 ? 4, an ? 2 ? 4an ?1 ? an , bn ? (Ⅰ)求 b1 , b2 , b3 的值;

an ?1 ,n? N?. an

.

(Ⅱ)设 cn ? bnbn ?1 , Sn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,求证: Sn ? 17n ; (Ⅲ)求证: b2 n ? bn ?

1 1 . ? 64 17n?2 17 72 , b3 ? 4 17

解: (Ⅰ)? a2 ? 4, a3 ? 17, a4 ? 72 ,所以 b1 ? 4.b2 ? (Ⅱ)由 an ? 2 ? 4an ?1 ? an 得

an ? 2 a 1 ? 4 ? n 即 bn ?1 ? 4 ? an ?1 an ?1 bn
(n ≥ 2)

所以当 n ≥ 2 时, bn ? 4 于是 c1 ? b1 , b2 ? 17, cn ? bnbn ?1 ? 4bn ? 1 ? 17 所以 Sn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 17n

(Ⅲ)当 n ? 1 时,结论 b2 ? b1 ? 当 n ≥ 2 时,有 bn ?1 ? bn ?| 4 ?

1 17 成立 ? 4 64

b ?b 1 1 1 ?4? |?| n n ?1 |≤ | bn ? bn ?1 | bn bn ?1 bnbn ?1 17



1 1 1 1 | bn?1 ? bn?2 |≤? ≤ n ?1 | b2 ? b1 |? ? n ?2 2 17 17 64 17
b2 n ? bn ≤ b? ? n 1 ? bn ? b ?n2 ? b ?n1 ?

(n ≥ 2)

所以

? b 2 n ? b 2? n 1

1 1 ( )n?1 (1 ? n ) 1 ? 1 n?1 1 n 1 2 n ?2 ? 1 17 17 ? 1 ? 1 (n ? N * ) ( ) ? ( ) ??? ( ) ? ? ? ? 1 4 ? 17 17 17 64 17 n ?2 ? 4 1? 17
1. (2013 年高考天津卷(文) )已知首项为

.

3 的等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 2

?2S2 , S3 , 4S4 成等差数列.

(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 证明 Sn ?
【答案】

1 13 ? (n ? N *) . Sn 6

2. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) )设数列 ?an ? 的前 n

项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值;

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

(Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有
【答案】.(1) 解:?

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2 S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3
? 当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2 S n ? 2 S n ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? 2an ? 2 S n ? 2 S n ?1

? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n
? an ? n 2 , n ? N *

当 n ? 1 时,上式显然成立.

(3)证明:由(2)知, an ? n 2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4 1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4

②当 n ? 2 时,

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?
2

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ??? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?
1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 ? 1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4
? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4


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