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高中理科数学概率大题专项习题


1、 如图,A、B 两点之间有 6 条网线连接,它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4.从 中任取三条线且使每条网线通过最大信息量,设这三条网线通过的最大信息量之和为 ζ 。 (1) 当ζ ≥6 时,则保证线路信息畅通,求线路信息畅通的概率; (2) 求ζ 的分布列和数学期望。

2、 某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利 润(单位:元)如表 1,从这批产品中随机抽取 1 件产品,该件产品为不同等级的概率 如表 2。若从这批产品中随机抽取出 1 件产品的平均利润(即数学期望)为 4.9 元。 (1) 求 a,b 的值; (2) 从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产品的总利润不低于 17 元的概率。

3、空气质量指数 PM2.5(单位:μ g/ m )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量,这个 值越高,就代表空气污染越严重。

3

某市 2012 年 3 月 9 日~4 月 7 日(30 天)对空气质量指数 PM2.5 进行检测,获得数据后得 到如下条形图: (1)估计该城市一个月内空气质量类别为良的概率; (2)在上述 30 个监测数据中任取 2 个,设 X 为空气质量类别为优的天数,求 X 的分布列。

4、某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? 。
(1)求图中 x 的值; (2)从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人,该 2 人 中成绩在 90 分以上(含 90 分)的人数记为 ? ,求 ? 的数 学期望。

5、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的 40 件 产品作为样本称出它们的重量(单位: 克), 重量的分组区间为 (490, 495], (495, 500], ??, (510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 (1)根据频率分布直方图,求重量超过 505 克的产品数量, (2)在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件, 设 Y 为重量超过 505 克的产品数量, 求 Y 的分布列; (3)从该流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率。

6、一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率

p 与运动员离飞碟的距离

s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离 s (米)与飞行时间 t (秒)满足
s ? 15? t ? 1 ?? 0? t ? 4 ?
, 每个飞碟允许该运动员射击两次 (若第一次射击命中 ,则不再进行

第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出 0.5 秒时进行第一次射击, 命中的概率为 0.8, 当第 一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5 秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不 计. (1) 在第一个飞碟的射击训练时 , 若该运动员第一次射击没有命中 , 求他第二次射击命中 飞碟的概率; (2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率; (3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两 个飞碟的概率.

7、 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的 列联表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 10 50 不喜爱打篮球 5 合计

已知在全部 50 人中随机抽取 1 人抽到喜爱打篮球的学生的概率为

3 . 5

(1)请将上面的列联表补充完整(不用写计算过程); (2)能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为喜爱打篮球与性别有关?说明你的理 由; (3)现从女生中抽取 2 人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为 ξ ,求 ξ 的分布 列与期望. 下面的临界值表供参考: P(K ≥k) k
2

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

1、(本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识,考查或然与 必 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 3 (I)解:从 6 条网线中随机任取三条网线共有 C6 ?????1 分 ? 20 种情况.

?1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ? 6,

? P(? ? 6) ?

1 1 1 ? C2 C2 1 ? ? 3 C6 4

?????2 分

?1 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 ? 3 ? 7,

? P(? ? 7) ?

1 1 C2 C2 ? 1 1 ? 3 C6 4

?????3 分

?1 ? 3 ? 4 ? 2 ? 2 ? 4 ? 8,

? P(? ? 8) ?

1 C2 ?1 3 ? 3 C6 20

?????4 分

? 2 ? 3 ? 4 ? 9,
1 C2 1 ? P(? ? 9) ? 3 ? ? C6 10

????5 分

? P(? ? 6) ? P(? ? 6) ? P(? ? 7) ? p(? ? 8) ? P(? ? 9)
? 1 1 3 1 3 ? ? ? ? ? 4 4 20 10 4
3 4
?????6 分 ?????7 分

答:线路信息畅通的概率为

(2)解:ξ 的取值为 4,5,6,7,8,9.

?1 ? 1 ? 2 ? 4,

? p(? ? 4) ?

1 C2 1 ? ? 3 C6 10

?????8 分

?1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 2 ? 5,
1 1 ? C2 3 ? P(? ? 5) ? ? ? 3 C6 20

?????9 分

∴ξ 的的分布列为:

????10 分

? E? ? 4 ?

1 3 1 1 3 1 ? 5? ? 6? ? 7 ? ? 8? ? 9? 10 20 4 4 20 10 ? 6.5.

?????11 分 ?????12 分

2、(1)解:设 1 件产品的利润为随机变量 ? ,依题意得 ? 的分布列为:

?
P


6

5

4

?1

0.6

a

0.1

b

E? ? 6 ? 0.6 ? 5a ? 4 ? 0.1 ? b ? 4.9 ,即 5a ? b ? 0.9 .
∵ 0.6 ? a ? 0.2 ? 0.1 ? b ? 1 , 即 a ? b ? 0.3 , 解得 a ? 0.2, b ? 0.1 . ∴ a ? 0.2, b ? 0.1 .

?? 3 分 ?? 4 分

?? 6 分

(2)解:为了使所取出的 3 件产品的总利润不低于 17 元,则这 3 件产品可以有两种取法:3 件都 是一等品或 2 件一等品,1 件二等品.
3 2 故所求的概率 P ? 0.6 ? C 3 ?0.62 ? 0.2 ? 0.432 .

?? 8 分 ??12 分

3、 (Ⅰ)由条形统计图可知,空气质量类别为良的天数为 16 天, 所以此次监测结果中空气质量类别为良的概率为 (Ⅱ)随机变量 X 的可能取值为 0,1, 2 ,则

16 8 ? .???????4 分 30 15

P ? X ? 0? ?

1 1 2 C8 C22 176 C82 C22 231 28 , , ? P X ? 1 ? ? P X ? 2 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 C30 435 C30 435 C30 435

所以 X 的分布列为:

X
P

0

231 435

1 176 435

2 28 435

??12 分

4、 (1)由题意: (0.054 ? 0.01 ? 0.006 ? 3 ? x) ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 ; (2)80~90 分有 50 ? 0.018 ?10 ? 9 人;90~100 分有 50 ? 0.006 ?10 ? 3 人。

? 所有可能的取值为 0, 1, 2
C92 12 P(? ? 0) ? 2 ? ; C12 22
故 E? ? 0 ?
1 1 C9 C 9 P(? ? 1) ? 2 3 ? ; C12 22

C32 1 P(? ? 0) ? 2 ? C12 22

12 9 1 1 ? 1? ? 2 ? ? 。 22 22 22 2

5 解:(1)重量超过 505 克的产品数量是: 40? (0.05? 5 ? 0.01? 5) ? 40? 0.3 ? 12. (2)Y 的分布列为:

(3)设所取的 5 件产品中,重量超过 505 克的产品件数为随机变量 Y,则 Y

3 7 3087 3 ) ,从而 P(Y ? 2) ? C52 ( ) 2 ( )3 ? 10 10 10 10000 3087 即恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率为 10000
B (5,
6、(1)解:依题意设 p ? ∴ p?

k ( k 为常数 ) ,由于 s ? 15 ?t ?1?? 0 ? t ? 4? , s
?2 分

k ? 0 ? t ? 4? . 15 ? t ? 1?
4 4 k , 则 ? ,解得 k ? 18 . 5 5 15 ? ? 0.5 ? 1?

当 t ? 0.5 时, p1 ?

∴p? 分

18 6 ? ? 0 ? t ? 4? . 15 ? t ? 1? 5 ? t ? 1?

?4

当 t ? 1 时, p2 ?

6 3 ? . 5? 2 5 3 . 5
?6 分

∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为

(2) 解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件 A ,“该运动员第二次射击命中飞碟”

为事 件 B ,则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件: A ? AB . ∵ P ? A? ? ?7 分

4 3 , P ? B? ? , 5 5

∴ P A ? AB ? P ? A ? ? P A P ? B ?

?

?

? ?

?

4 ? 4 ? 3 23 . ? ?1 ? ? ? ? 5 ? 5 ? 5 25
23 . 25
?10

∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为 分

(3) 解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为 ? , 则 ? ∴至少命中两个飞碟的概率为 P ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 3? 分
2 2 3 ?C3 p ?1 ? p ? + C 3 3 p

23 ? ? B ? 3, ?. 25 ? ?
?12

7、


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