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射影定理


直角三角形的射影定理
田伟德 学习目标 知识与技能:掌握直角三角形中成比例的线段的性质,并能初步用它解决“直角 三角形斜边上的高”图形中的计算和证明问题. 情感与价值观:培养特殊化研究问题的方法和方程、转化思想。 学习重难点 重点:直角三角形的射影定理的证明及应用; 难点:直角三角形的射影定理的证明。 学习过程 一、知能探究 1、什么是射影?

2、

已知:如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D. (1)图中有几条线段?

C

(2)图中有几个锐角?数量有何关系?

A

D

B

(3)图中有几对相似三角形?可写出几组比例式?

(4)观察第(3)题的结果,有几个带有比例中项的比例式?如何用一句话概括叙述 这几个比例 中项的表达式?

(5)由上可得到哪些等积式?

结论:射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例
中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.

(二)直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是 别是 的比例中项。 请同学们自己写出已知条件并证明。 已知: 求证: 证明:
A

比例中项;两直角边分

C

D

B

讨论: 用勾股定理能证明射影定理吗?写出你的想法.

例 1 如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D.AD=2,DB=8, 求 CD、AC 和 BC 的长.
C

A

D

O

B

例 2.如图,⊿ABC 中,顶点 C 在 AB 边上的射影为 D,且 CD =AD·BD. 求证:⊿ABC 是直角三角形.
C

2

A

D

B

例 3.在⊿ABC 中,∠C=90°, CD 是斜边 AB 上的高.已知 CD=60,AD=25, a 求 BD、AB、AC、BC 的长. (直接运用射影定理. )

例 4.如图,已知线段 a、b,求作线段 a 和 b 的比例中项. (引导学生根据射影定理的三个公式考虑是否有不同作图方法.)

b

例 5.在⊿ABC 中,∠C=90°, CD⊥AB,垂足为 D,AC=12,BC=5,求 CD 的长.

二、当堂训练 1、如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D。 AD ? 2,DB ? 8, 求

CD, AC和BC的长。
C

A

D

O

B

2、如图,Δ ABC 中,顶点 C 在 AB 边上的射影为 D,且 CD 2 ? AD ? BD。 求证:Δ ABC 是直角三角形。 证明:

C

A

D

B

三、课堂小结与反思

四、课后检测 1.如图 1—4—1 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD=3,BD=2,则 AC:BC 的值 是( ) A.3:2 B.9:4 C. 3 : 2 D. 2 : 3 2.在 Rt△ACB 中,∠C=90°,CD⊥AB 于 D,若 BD: AD=1:4,则 tan∠BCD 的值是( ) 1 1 1 A. B. C. D. 2 4 3 2 3.下列命题中,正确的有( ) ①两个直角三角形是相似三角形; ②等边三角形都是相似三角形; ③锐角三角形都是相似三角形; ④两个等腰直角三角形是相似三角形. A.1 个 B. 2 个 C. 3 个 D.4 个 4.已知直角△ABC 中,斜边 AB=5cm,BC=2 cm,D 为 AC 上一点,DE⊥AB 交 AB 于 E,且 AD=3.2cm,则 DE=( ) A.1.24 cm B.1.26 cm C.1.28cm D.1.3 cm 5.如图 1—4—2,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD⊥BC 于 D,DF⊥AC 于 F,DE ⊥AB 于 E。试说明: (1)AB·AC=AD·BC; (2)AD3=BC·BE·CF。 解:

图 1—4—2

应用射影定理证明比例线段 6.如图 1—4—3,已知:BD、CE 是△ABC 的两条高,过点 D 的直线交 BC 和 BA 的延长线于 G、H,交 CE 于 F,且∠H=∠BCF。

求证:GD2=GF·GH。 证明:

7.如图 1—4—4,在△ABC 中,AD⊥BC 于 D,DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F。 求证:AE·AB=AF·AC。 证明:

综合·拓展练

综合运用,拓展知能
AC 3 BD ? , ?( 则 AB 4 CD

8. 在 Rt△ABC 中, ∠BAC=90°, AD⊥BC 于点 D, 若 A.

)

3 4 16 B. C. 4 3 9 9 D. 16 9.如图 1—4—5,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的 高,在图中的六条线段中,你认为只要知道( )条线 段的长,就可以求其他线段的长。 A.1 B.2 C.3 D.4

10. 如图 1—4—6, 在梯形 ABCD 中, AD//BC, AC⊥BD, 垂足为 E, ∠ABC=45°, 过 E 作 AD 的垂线交 AD 于 F, 交 BC 于 G, 过 E 作 AD 的平行线交 AB 于 H。 求证:FG2=AF·DF+BG·CG+AH·BH。 证明:

高考·模拟练

体验高考,模拟实战

12.在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,AD:BD=2:3,则△ACD 与△CBD 的相似比为( ) A.2:3 B.4:9 C. 6 :3 D.不确定
4 ,则 5

13.Rt△ABC 中,AC ⊥BC,CD⊥AB 于点 D,AD=4,sin∠ACD= BC=_____,CD=_______。


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