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2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标二卷理科数学精校版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(全国Ⅱ卷) 第Ⅰ卷 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)设集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 M
2

?

?

N?

r />A. ?1?

B.

?2?

C.

?0,1?

D.

?1, 2?

(2)设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1 ? 2 ? i ,则 z1 z2 = A.-5 B.5 C. ?4 ? i D. ?4 ? i

(3)设向量 a , b 满足 a ? b ? 10 , a ? b ? 6 ,则 a ? b ? A.1 B.2 C.3 D.5

(4)钝角三角形 ABC 的面积是 A.5 B. 5 C.2 D.1

1 , AB ? 1 , BC ? 2 ,则 AC ? 2

(5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量 为优良的概率是 0.75, 连续两天为优良的概率是 0.6, 已知 某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的 概率是 A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 (6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个 底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切 削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A.

17 27

B.

5 9

C.

10 27

D.

1 3

(7) 执行右面的程序框图, 如果输入的 x ,t 均为 2,则输出的 S = A.4 B.5 C.6 D.7

(8)设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点(0,0)处的切线为 y ? 2 x ,则 a ? A.0 B.1 C.2 D.3

? x ? y ? 7≤0, ? (9)设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1≤0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?3x ? y ? 5≥0, ?
A.10 B.8 C.3 D.2 (10)设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A , B 两 点, O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积为 A.

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D.

9 4

(11)直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?BCA ? 90 ,M , N 分别是 A1B1 , AC 1 1 的中点,

BC ? CA ? CC1 ,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为
A.

1 10

B.

2 5

C.

30 10

D.

2 2
2

(12)设函数 f ( x) ? 则 m 的取值范围是 A. ? ? ?, ?6? C.

3 sin

?x
m

2 2 。若存在 f ( x ) 的极值点 x0 满足 x0 ? ? f ( x0 ) ? ? m ,

? 6, ? ??

B. D.

? ? ?, ?4? ? 4, ? ?? ? ? ?, ?1? ?1, ? ??
第Ⅱ卷

? ? ?, ?2? ? 2, ? ??

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13) ? x ? a ? 的展开式中, x 的系数为 15,则 a =
10

2

(用数字填写答案) 。

(14)函数 f ( x) ? sin( x ? 2? ) ? 2sin ? cos( x ? ? ) 的最大值为

(15)已知偶函数 f ( x ) 在 ?0, ? ?? 单调递减, f (2) ? 0 。若 f ( x ? 1) ? 0 ,则 x 的取值 范围是 。

2 2 (16)设点 M ( x0 ,1) ,若在圆 O : x ? y ? 1上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45 ,则 x0 的

取值范围是 三、解答题: (17) (本小题满分 12 分)



已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 1 ,

(1)证明 ? an ?

? ?

1? ? 是等比数列,并求 ?an ? 的通项公式; 2? ? 1 3 ? 。 an 2

(2)证明

1 1 ? ? a1 a2

(18) (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABC D中 , 底 面 A B C D为 矩 形 ,

PA ? 平面 ABCD , E 为 PD 的中点。
(Ⅰ)证明: PB / / 平面AEC ; (Ⅱ) 设二面角 D ? AE ? C为60 ,AP ? 1 , AD ? 3 , 求三棱锥 E ? ACD 的体积。

(19) (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y (单位:千元)的数据如下表: 年 份 2007 1 2008 2 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9 年份代号 t 人均纯收入 y

2.9 3.3 (Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程;

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均 纯收入的变化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入。 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

b?

?

? ?t
n i ?1

i

?t
i

?? y ? y ?
i

? ?t
n i ?1

?t

?

2

, a ? y ?bt 。

?

?

(20) (本小题满分 12 分)

x2 y 2 设 F1 , F2 分别是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 1) 的左右焦点, M 是 C 上一点且 a b

MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N 。
(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为

3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN ? 5 F1N ,求 a, b. (21) (本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ex ? e? x ? 2 x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 g ( x) ? f (2 x) ? 4bf ( x) ,当 x ? 0 时、 g ( x) ? 0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142< 2 <1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 请考生在第 22、23、24 题中任先一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22)如图,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B、C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E。证明: (Ⅰ)BE=EC (Ⅱ)AD?DE=2PB2 (23)选修 4-4 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半 圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,? ? ?0, (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中 你得到的参数方程,确定 D 的坐标。 (24)选修 4-5,不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?

? ?? ? 2? ?

1 ? x ? a (a ? 0). a

(Ⅰ)证明: f ( x)≥2 ; (Ⅱ)若 f (3) ? 5 ,求 a 的取值范围。


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