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1.1.1 正弦定理课件1


第一章 解三角形

1.1.1 正弦定理

一、新课引入
A c b 一般地,把三角形的三个角 A,B,C和它们的对边a,b,c叫做 三角形的元素 C

B

a

三角形中的边角关系 1.角的关系: 2.边的关系: 3.边角关系:

A ? B ?

C ? 180 ?

a?b ? c , a?b ? c
大边对大角,小边对小角

一、新课引入
小强师傅的一个三角形的模型坏了,只剩下如下 图所示的部分,测量出∠A=47°, ∠C=80°, AC长为 1m,想修好这个模型,但他不知道AB和BC的长度是多 少好去截料,你能帮师傅这个忙吗? C
E 80?

b
47 ?

a
53?

A

c D

B

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (2)直角三角形: (1)锐角三角形:
C

B

作CD垂直于AB于D,则可得
E
a b

B

c

D

A

CD ? a sin B ? b sin A a b c ? ? sin A sin B 作AE垂直于BC于E,
Ab sin C b 则 AE ? c sin B ?

a

C

a b c ? ? sin A sin B sinC

c aa cb ? ? ?? sin sin B sinC sin AA sin C

二、新课讲解
试借助三角形的高来寻找三角形的边与角之间的关系? (3)钝角三角形:(∠C为钝角)
a b ? ? sin A sin B 作BE垂直于AC的延长线于E,则 B BE ? c sin A ? a sin ?BCE ? ?BCE ? ? ? ?C
作CD垂直于AB于D,则可得 CD ? a sin B ? b sin A
E C b

a c
D

A

?c sin A ? a sin(? ? C ) ? a sin C a c a b c ? ? ? ? sin A sin C sin A sin B sinC

二、新课讲解
正弦定理: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。

即:

a b c ? ? sin A sin B sin C

C a b

(1)从结构看: B A 各边与其对角的正弦严格对应,体现了数学的和谐美。 (2)从方程的观点看:

c

三个方程,每个含有四个量,知其三求其一。
应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 题型二:已知两边及其中一边对角,求出其他一边和两角

三、例题讲解
应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 例1 在△ABC中,A=32.0? ,B=81.5? ,a=42.9,解此三 角形.(精确到0.1cm) 解:根据三角形的内角和定理: C=180? -(A+B)=66.2?

由正弦定理可得

a sin B 42.9 sin 81.8o b? ? ? 80.1( cm ) o sin A sin 32.0
由正弦定理可得

a sinC 42.9 sin 66.2 c? ? ? 74.1( cm ) o sin A sin 32.0

o

三、例题讲解

题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另 一边和另外两个角. 例2.在△ABC中,a=20cm,b=28cm, A=40? ,解此三角形. b sin A 28 sin 40o ? ? 0.8999 解:由正弦定理可得 sin B ? a 20 ? 0o ? B ? 180o ? B ? 64o 或B ? 116o
o -(A+B)≈76? 当 B ? 64 时, C=180? (1)

a sinC 20 sin 76o c? ? ? 30( cm ) o sin A sin 40

C=180? -(A+B)≈24? (2)当B≈116? 时,
a sinC 20 sin 24o c? ? ? 13( cm ) o sin A sin 40

三、例题讲解

题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另 一边和另外两个角. 例2.在△ABC中,a=20cm,b=28cm, A=40? ,解此三角形. 例3.在△ABC中,A=45? , a ? 6 ,b ? 4 ,解此三角形.
b sin A 4 sin 45o ? ? 0.4714 解:由正弦定理可得 sin B ? a 6 o,可知B< b< , Ao =45 ? 0o ? B ? 180o 由 ? Ba ? 28 ,或 B ? 152o A

-(A+B)≈107? ? B ? 28o ∴C=180?

a sinC 6 sin107 c? ? ? 8.1 o sin A sin 45

o

三、例题讲解

题型二:已知两边和其中一边的对角,求出三角形的另 一边和另外两个角. 若已知a、b、A的值,则解该三角形的步骤如下: a b ? (1)先利用 求出sinB,从而求出角B; sin A sin B
注意:求角B时应注意检验! (2)利用A、B求出角C=180o-(A+B);

a c (3)再利用 求出边c. ? sin A sin C

三、例题讲解 1个 a ? 6 ,b ? 4 ,这样的三角形有__ 例3 在△ABC中,A=45? , P 1.画∠PAQ=45? 2. 在AP上取AC=b=4 C 3.以C为圆心,a=6为半径画弧, 45° 弧与AQ的交点为B A

b

a B Q

变式: 2个 a ? 3,b ? 4 ,这样的三角形有___ (1)在△ABC中,A=45? ,

a ? 2 2 ,b ? 4 ,这样的三角形有___ (2)在△ABC中,A=45? , 1个

a ? 2 ,b ? 4 ,这样的三角形有___ 0个 (3)在△ABC中,A=45? ,
a ? 6 ,b ? 4 ,这样的三角形有___ (4)在△ABC中,A=135? , 1个
(5)在△ABC中,A=135? , a ? 3,b ? 4 ,这样的三角形有___ 0个

三、例题讲解

已知两边和其中一边的对角时,解斜三角形的各种情况
(一)当A为锐角

a≥ b 一解

(二)当A为钝角

bsinA<a<b 两解

bsinA=a 一解

bsinA>a 无解

(三)当A为直角
C C a b A
a> b 一解

b
a>b 一解
a≤b 无解

a

A

a≤b 无解

若已知三角形的两条边及其中一边的对角(若已知 a、b、A的值),则可用正弦定理求解,且解的情 况如下
A的范围 A为钝角或直角 a,b关系 a>b a≤b a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b 解的情况 一解 无解 无解 一解 两解 一解

A为锐角

四、练习 1.在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c, 则下列关系一定成立的是 ( D ) A.a>bsinA B.a=bsinA C.a<bsinA D.a≥bsinA

2.在△ABC中,由已知条件解三角形,下列有两解的是( C ) A.b=20, A=45? , C=80? B.a=30, c=28, B=60? C.a=14, b=16, A=45? D.a=12, c=15, A=120? ※判断已知两边及其中一边对角的三角形解的个数 的基本步骤(适合填空或选择题): (1)判断已知角A的类型;(钝、直、锐) (2)判断已知两边a、b的大小关系; (3)判断a与bsinA的大小关系.

五、小结 1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

其中,R是△ABC的外接圆的半径 2.应用正弦定理解三角形 题型一:已知两角和任意一边,求出其他两边和一角 注:若已知边不是对边,先用三角形内角和定 理求第三角,再用正弦定理求另两边.

题型二: 已知两边和其中一边的对角,求出三角形 的另一边和另外两个角. 注意有两解、一解、无解三种情况(求角B时应检验!) 3.利用图形判断:已知两边和其中一边的对角时解斜三 角形的各种情况(注意已知角的分类)


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