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导数


A组

基础演练 )

1. (2013· 北京)下列函数中, 既是偶函数又在区间(0, +∞)上单调递减的是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 B.y=e-x D.y=lg|x|

1 ?1? 解析:A 中 y= x 是奇函数,A 不正确;B 中 y=e-x=?e?x 是非奇非偶函数,B ? ? 不正确;C 中 y=-x2+1 是偶函数且在(0,+∞)上是单调递减的,C 正确; D 中 y=lg|x|在(0,+∞)上是增函数,D 不正确.故选 C. 答案:C ax ? ? 2. f(x)=? a ?4-2?x+2 ? ? 是 ( A.(1,+∞) C.(4,8) B.[4,8) D.(1,8) ) ?x>1? ?x≤1? 是 R 上的单调递增函数, 则实数 a 的取值范围

解析:f(x)是 R 上的单调递增函数,所以可得

? ?4-a ? 2>0, a ? ?a≥4-2+2.
a>1, 答案:B

解得 4≤a<8,故选 B.

b 3.(2014· 佛山月考)若函数 y=ax 与 y=- x在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2 +bx 在(0,+∞)上是 ( A.增函数 C.先增后减 B.减函数 D.先减后增 )

b 解析:由题意,a<0 且 b<0,而函数 y=ax2+bx 的对称轴为 x=-2a<0, 且开口向下,所以它在(0,+∞)上单调递减. 答案:B 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y),当 x<0 时,f(x)>0,则函数 f(x)在[a,b]上有 ( A.最小值 f(a) C.最小值 f(b) B.最大值 f(b) ?a+b? ? D.最大值 f? ? 2 ? )

解析:∵f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(x+y)=f(x)+f(y), ∴f(0)=0,令 y=-x,则有 f(x)+f(-x)=f(0)=0. ∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是 R 上的奇函数.设 x1<x2,则 x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1-x2)>0. ∴f(x)在 R 上是减函数.∴f(x)在[a,b]有最小值 f(b). 答案:C 5.规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算,即 a*b= ab+a+b,a,b 是 正实数,已知 1] .

解析:由已知 k+1+k=3,∴ k+k=2,∴k=1, ∵f(x)=1]x)+1+x(x>0), f(x)显然为增函数,∴f(x)>f(0)=1, ∴f(x)∈(1,+∞). 答案:(1,+∞) 6.(2014· 台州模拟)若函数 y=|2x-1|,在(-∞,m]上单调递减,则 m 的取值范 围是________. 解析:画出图象易知 y=|2x-1|的递减区间是(-∞,0], 依题意应有 m≤0. 答案:(-∞,0] 1 7.(2013· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A(a,a),P 是函数 y=x(x>0)

图象上一动点.若点 P,A 之间的最短距离为 2 2,则满足条件的实数 a 的 所有值为________. ? 1? 解析:设 P?x,x?, ? ? ?1 ? 则|PA|2=(x-a)2+? x-a?2 ? ? ? 1? ? 1? =?x+x?2-2a?x+x?+2a2-2, ? ? ? ? 1 令 t=x+ x≥2(x>0,当且仅当 x=1 时取“=”),则|PA|2=t2-2at+2a2-2. (1)当 a≤2 时,(|PA|2)min=22-2a×2+2a2-2=2a2-4a+2, 由题意知,2a2-4a+2=8,解得 a=-1 或 a=3(舍). (2)当 a>2 时,(|PA|2)min=a2-2a×a+2a2-2=a2-2. 由题意知,a2-2=8,解得 a= 10或 a=- 10(舍), 综上知,a=-1 或 10. 答案:-1 或 10 8.求下列函数的单调区间: (1)y=-x2+2|x|+1; (2)y=a1-2x-x2(a>0 且 a≠1).
2 ?-x +2x+1,x≥0, 解:(1)由于 y=? 2 ?-x -2x+1,x<0, 2 ?-?x-1? +2,x≥0, 即 y=? 2 ?-?x+1? +2,x<0.

画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和 [0,1],单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞). (2)令 g(x)=1-2x-x2=-(x+1)2+2, 所以 g(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减. 当 a>1 时,函数 y=a1-2x-x2 的增区间是(-∞,-1),减区间是(-1,+ ∞); 当 0<a<1 时,函数 y=a1-2x-x2 的增区间是(-1,+∞),减区间是(-∞, -1).

9.已知 f(x)=

x (x≠a). x-a

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = a?x2-x1? . ?x1-a??x2-a? x1 x2 - x1-a x2-a

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0, 只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立, ∴a≤1. 综上所述,a 的取值范围为(0,1]. 说明:本题也可利用导数证明和求解. B组 能力突破

1.已知函数 f(x)=-x2+4x 在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则 m+n 的取值范 围是 ( A.[1,7] C.[-1,1] B.[1,6] D.[0,6] )

解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4, ∴f(2)=4. 又由 f(x)=-5 得 x=-1 或 5. 由 f(x)的图象知-1≤m≤2,2≤n≤5. 因此 1≤m+n≤7.

答案:A 2.函数 f(x)=ln(x+1)-mx 在区间(0,1)上恒为增函数,则实数 m 的取值范围是 ( A.(-∞,1) 1 C.(-∞,2] B.(-∞,1] 1 D.(-∞,2) )

解析:f(x)=ln(x+1)-mx 在区间(0,1)上恒为增函数,则 f(x)=ln(x+1)-mx 在区间[0,1]上恒为增函数, f′(x)= 1 =2. 答案:C 3.(2014· 苏州模拟)设函数 f(x)= 取值范围是________. ax+2a2-2a2+1 解析:f(x)= x+2a 2a2-1 =a- ,其对称中心为(-2a,a). x+2a
2 2 ?2a -1>0 ?2a -1>0 ∴? ?? ?a≥1. ?-2a≤-2 ?a≥1

1 1 -m≥0 在[0,1]上恒成立, m≤( ) x+1 x+1 min

ax+1 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么 a 的 x+2a

答案:[1,+∞) ?x? 4.函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切 x>0,y>0 都有 f?y?=f(x)-f(y), ? ? 当 x>1 时,有 f(x)>0. (1)求 f(1)的值; (2)判断 f(x)的单调性并加以证明; (3)若 f(4)=2,求 f(x)在[1,16]上的值域. ?x? 解:(1)∵当 x>0,y>0 时,f?y?=f(x)-f(y), ? ? ∴令 x=y>0,则 f(1)=f(x)-f(x)=0. (2)设 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

?x2? 则 f(x2)-f(x1)=f?x ?, ? 1? x2 ?x2? ∵x2>x1>0,∴x >1,∴f?x ?>0. ? 1? 1 ∴f(x2)>f(x1),即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. (3)由(2)知 f(x)在[1,16]上是增函数. ∴f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16), ?x? ∵f(4)=2,由 f?y?=f(x)-f(y), ? ? ?16? 知 f? 4 ?=f(16)-f(4), ? ? ∴f(16)=2f(4)=4, ∴f(x)在[1,16]上的值域为[0,4].


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