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江西省高安中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题(创新班)


江西省高安中学 2015——2016 学年度上学期期中考试

[Z-XK]

高二年级数学参考答案(创新班)

座位号

一、选择题(本大题共 12 题,每小题 5 分,总共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把答案写在答题卡上) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 11 12 题号 答案 A D D A C B A C A C A B 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 3-2 2 3V 13 ?- 1,6? 14 15 16 2 ? 1, 1 5 S ?S ?S ?S

?

?

1

2

3

4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 10 分)
2 解 由 p 令 u ? ax ? x ? a ①当 a ? 0 时, u ? ?x 值域为 R 符合题意,

②?

?a ? 0 ?? ? 1 ? 4a ? 0
2
2

?0?a?

1 ? 1? 综上所述,当 p 为真命题是 a 的取值范围是 ?0, ? 2 ? 2?

?1 ? ? ? 令 t ? log2 x ? ?- 2,0?,所以 a ? 2 ? 0 即 a ? ?2 当 p 为真命题, q 为假命题时,则 a ? ?

由 q : ?log2 x ? 2? ? a ? 2 ? 0 对 x ? ? ,1? 恒成立, 4

当 p 为假命题,q 为真命题时, 则 a ? ?? 2,0? ? ? ,?? ? 18. (本题满分 12 分) 解 (1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 又|a|= 12+12+02= 2, ∴cos〈a,b〉=

?1 ?2

? ?

综上所述:a ? ?? 2,0? ? ? ,?? ?

?1 ?2

? ?

∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1, |b|= ?-1?2+02+22= 5, 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- 10 . 10

a· b -1 10 = =- , |a||b| 10 10

(2)方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2).ka-2b=(k+2,k,-4),且 ka+b 与 ka-2b 互相垂 直, 5 ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, ∴k=2 或 k=- , 2 5 ∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时,实数 k 的值为 2 或- . 2 方法二 由(1)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1,
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5 2 2 2 2 ∴(ka+b)·(ka-2b)=k a -ka·b-2b =2k +k-10=0, 得 k=2 或 k=- . 2 19.(本题满分 12 分) (1)证明:取 AB 的中点 O ,连接 PO, CO,AC .∵ AP ? BP ,∴ PO ? AB 又四边形 ABCD 是菱形,且 ?BCD ? 120? , ∴ ?ACB 是等边三角形,∴ CO ? AB
A D C B P

又 CO I PO ? O ,∴ AB ? 平面 PCO , 又 PC ? 平面PCO ,∴ AB ? PC (2)由 AB ? PC ? 2 , AP ? BP ? 2 ,易求得 PO ? 1 , OC? 3 , ∴ OP2 ? OC 2 ? PC 2 , OP ? OC 以 O 为坐标原点,以 OC , OB , OP 分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间直坐标系 O ? xyz , 则 B(0,1, 0) , ∴ BC ? ( 3, ?1,0) , C( 3,0,0) ,P(0, 0,1) ,D( 3, ?2,0) , PC ? ( 3,0, ?1) ,

??? ?

??? ?

???? DC ? (0, 2,0)

设平面 DCP 的一个法向量为 n1 ? (1, y, z) ,则 n1 ? PC , n1 ? DC ,

??

??

??? ?

??

????

?? ??? ? ?? ? ?n1 ? PC ? 3 ? z ? 0 ∴ ? ?? ???? ,∴ z ? 3 , y ? 0 ,∴ n1 ? (1,0, 3) ? ?n1 ? DC ? 2 y ? 0 ?? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? 设平面 BCP 的一个法向量为 n2 ? (1, b, c) ,则 n2 ? PC , n2 ? BC , ?? ? ??? ? ?? ? ? ?n2 ? PC ? 3 ? c ? 0 ∴ ? ?? ,∴ c ? 3 , b ? 3 ,∴ n2 ? (1, 3, 3) ? ??? ? ? ?n2 ? BC ? 3 ? b ? 0 ?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 4 2 7 ? ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? 7 | n1 | ? | n2 | 2 ? 7 p p ? 20.(本题满分 12 分)解: (1) F (0, ) 当 l 的倾斜角为 45 时, l 的方程为 y ? x ? 2 2 p ? ?y ? x ? 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 2 得 x2 ? 2 px ? p2 ? 0 ? ? x 2 ? 2 py ? 3 x1 ? x2 ? 2 p, y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? p ? 3 p 得 AB 中点为 D ( p, p ) 2 A 3 5 AB 中垂线为 y ? p ? ?( x ? p ) x ? 0 代入得 y ? p ? 5 ? p ? 2 M 2 2 l 的 方 程 为 y ? kx ? 1 , 代 入 x2 ? 4 y ( 2 ) 设 AB 中 点 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 AB ? y1 ? y2 ? 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k 2 ? 4
? 2? D( 2k , 2 2 k ? 令? 1 MDN )
2

y

Q

B

F O N 得 为 x

S ? 2? ?

1 AB ? ? ? AB 2
2

?

S ?? AB
当k ?0
2

DE 2k ? 1 1 ? 2 ? 1? 2 ∵ D 到 x 轴的距离 DE ? 2k ? 1 ∴ cos ? ? 1 2k ? 2 AB 2k ? 2 2 1 ? ? S 时, cos ? 取最小值 , ? 的最大值为 故 的最大值为 . 2 3 3 AB

B'

21.(本题满分 12 分)

B P

O C

A

22.(本题满分 12 分) 解: (1)抛物线焦点的坐标为 ?0,1? ,则椭圆 C 的焦点在 y 轴上,设椭圆方程为

y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? 由题意可得 c ? 1 , a ? 2 , b ? a2 ? c2 ? 1 ,所以椭圆方程为 a 2 b2

y2 ? x2 ? 1 2
(2)若直线 l 与 x 轴重合,则以 AB 为直径的圆是 x 2 ? y 2 ? 1, 若直线 l 垂直于 x 轴,则以 AB 为直径的圆是 ? x ? ? ? y 2 ?

? ?

1? 3?

2

16 9

?x2 ? y 2 ? 1 ?x ? 1 ? 2 由 ?? , 1? 16 ? ? y ? 0 即两圆相切于点(1,0) 2 ? ?? x ? ? ? y ? 3? 9 ??
因此所求的点 T 如果存在,只能是(1,0) ,事实上,点 T(1,0)就是所求的点,证明如下: 当直线 l 垂直于 x 轴时, 以 AB 为直径的圆过点 T (1, 0) , 若直线 l 不垂直于 x 轴,可设直线 l :

1? ? y ? k? x ? ? 3? ?

设 点 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ?

? 1? ? ? y ? k? x ? 3 ? ? ? ? ? ?k 2 ? 2?x 2 ? 2 k 2 x ? 1 k 2 ? 2 ? 0 , 由 ? 2 3 9 ?x2 ? y ? 1 ? 2 ?

? ? ? x1 ? x2 ? ?? ? ?x x ? 1 2 ? ?
又因为

2 ? k2 ? 23 k ?2 1 2 k ?2 9 k2 ? 2
=(x1-1,y1) , =(x2-1,y2) ,

=(x1-1) (x2-1)+y1y2=(x1-1) (x2-1)+k2(x1+ ) (x2+ )=0 则 TA⊥TB,故以 AB 为直径的圆恒过点 T(1,0) ,所以在坐标平面上存在一个定点 T(1,0) 满足条件。

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