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1.3导数的几何意义


导数的概念及几何意义

1、平均变化率 、瞬时变化率
一般的,函数 f ( x)在区间上

[ x1 , x2 ]

的平均变化率为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2
?f f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim ? lim ?x ? 0 ?

x ?x ? 0 ?x

2.导数的概念
一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化 率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数,
记为 f ?( x0 ) 或

y?

x ? xo

,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: (1)求函数的增量: ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? (2)求平均变化率: ; ?x ?x ?f lim . (3)取极限,得导数: f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x

下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y

任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
O P
β

y=f(x) Q

Δy M x

Δx

斜 率!

y

y=f(x)

请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
P

Q

割 线
T

切线

?
x

o 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时, 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点 叫做切点。

割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.
'

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

说明:
(1).函数 f ( x ) 在 x ?

x0 处的导数 f

/

? x0 ?

的几何意义,就是函数 f ( x)的图像在点 A?x0 , f ( x0 )? 处的切线AD的斜率(数形结合)
导函数(简称导数)
/

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ) ? lim =切线 AD的斜率 ?x ?0 ?x

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x y 1 y ? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 x?x ? ( ?x ) ] ? x . 1 3 ?x ? 0

3

P
x

? y? | x?2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于4.

-2 -1

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

归纳:求切线方程的步骤
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。


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