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空间向量在立体几何中的应用练习题


起航教育个性化教育学案
教师: 李老师 时间: 2012 内容: 学生: 年 月 年级: 日 科目: 数学

空间向量在立体几何中的应用练习题 一、 选择题: 1.三棱锥 S—ABC 中,SA⊥底面 ABC,SA=4,AB=3,D 为 AB 的中点∠ABC=90°,则点 D 到面 SBC 的距离 等于 ( ) A.
12 5

B.

9 5

C.

6 5

D.
2b

3 5 m n

2.向量 a ? (1, 2 ), b ? ( ? 2 ,3 ), 若 m a ? n b 与 a ? A. ?
1 2

共线(其中 m , n ? D.2

R 且 n ? 0 )则

等于





B.

1 2

C.-2

二、 填空: 1.(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)一个正方体形状的无盖铁桶 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的容 积是 V ,里面装有体积为
2 3 V

的水,放在水平的地面上(如图所示). 现以顶
A1

B1

C1 D1

点 A 为支撑点,将铁桶倾斜,当铁桶中的水刚好要从顶点 A1 处流出时,棱 AA 1 与 地面所成角的余弦值为
A B D C

2. (福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理)平面内有两定点 A, B, 且|AB|=4, 动点 P 满足 | PA ? PB |? 4 , 则点 P 的轨迹是 .

3.(浙江省桐乡一中 2011 届高三文)如图,边长为 a 的正△ABC 的中线 AF 与中位线 DE 相交于 G,已知△A′ED 是△AED 绕 DE 旋转过程中的一个图形, 现给出下列命题: ①动点 A′ 在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②三棱锥 A′—FED 的体积有最大值; ③恒有平面 A′GF ? E 与 BD 不可能互相垂直; ⊥平面 BCED;④异面直线 A ⑤异面直线 FE 与 A ? D 所成角的取值范围是 (0 , ) .
2

?

其中正确命题的序号是



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三、解答题 1.如图,已知四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,A1D⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,侧棱 AA1=2。 (I)求证:C1D//平面 ABB1A1; (II) 求直线 BD1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 D—A1C1—A 的余弦值。

2.如图①,正三角形 ABC 边长 2,CD 为 AB 边上的高, E 、F 分别为 AC 、 BC 中点,现将 ? ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A ? DC ? B ,如图② (1)判断翻折后直线 AB 与面 DEF 的位置关系,并说明理由 (2)求二面角 B ? AC ? D 的余弦值 (3)求点 C 到面 DEF 的距离

图 ①

图 ②

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3. 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC=CC1=2,AC⊥BC,D 为 AB 的中点. (1) 求异面直线 A C 1 与 B1 B 所成的角的余弦值; (2)求证: A C 1 / / 面 B1C D ; (3)求证: A1 B
? 面 B1 C D

4. 如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直,BE//CF, ? BCF= ? CEF= 90 ? ,AD= 3 ,EF=2. (1)求证:AE//平面 DCF; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A-EF-C 的大小为 60 ? .

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5.如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形, A C 与 B D 的交 点为 O , E 为侧棱 S C 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证: S A ∥平面 B D E ; (Ⅱ)求证:平面 BD E ? 平面 SA C ; S (Ⅲ)(理科做)当二面角 E ? B D ? C 的大小为 4 5 ? 时, 试判断点 E 在 S C 上的位置,并说明理由. D O A B E

C

6.如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,底面 A B C D 是正方形,其他四个侧面都是等边三角形, A C 与 B D 的交 点为 O , E 为侧棱 S C 上一点. (Ⅰ)当 E 为侧棱 S C 的中点时,求证: S A ∥平面 B D E ; S (Ⅱ)求证:平面 BD E ? 平面 SA C ; (Ⅲ)(理科做)当二面角 E ? B D ? C 的大小为 4 5 ? 时, 试判断点 E 在 S C 上的位置,并说明理由. E

D O A B

C

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7.

已知:如图,长方体 , (1) 求异面直线 (2) 证明 (3) 求二面角 与

中, .



分别是棱

,

上的点,

所成角的余弦值; ; 的正弦值.

平面

8.如图,在长方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 中, A A1 ? 2 A B ? 2 A D ,且 P C 1 ? ? C C 1 (0 ? ? ? 1) . (I)求证:对任意 0 ? ? ? 1 ,总有 A P (II)若 ?
? 1 3
? BD

???? ?

???? ?



,求二面角 P ? A B1 ? B 的余弦值; 平分

(III)是否存在 ? ,使得 A P 在平面 B1 A C 上的射影
? B1 A C

?若存在, 求出 ? 的值, 若不存在,说明理由.

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9.已知四棱锥 P—ABCD 的底面是正方形,PA⊥底面 ABCD.异面直线 PB 与 CD 所成的角为 45°.求: ⑴二面角 B—PC—D 的大小; ⑵直线 PB 与平面 PCD 所成的角的 大小.

10.如图,一简单几何体的一个面 ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径, 四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC ? 平面 ABC。 (1)证明:平面 ACD ? 平面 A D E ; (2)若 A B
? 2

, B C ? 1 , tan ? E A B

?

3 2

,试求该几何体的体积 V.

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11.如图,四棱锥 P ? A B C D 中,底面 ABCD 是矩形, P A ? 底 面 A B C D , P A ? A B (1)证明: A E ? 平 面 P B C ; (2)若 AD=1,求二面角 B ? E C ? D 的大小. P
? 2

,点 E 是棱 PB 的中点.

E A B C D

12.如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=4,点 D 是 AB 的中点 (Ⅰ)求证:AC⊥BC1; (Ⅱ)求二面角 D ? C B1 ? B 的平面角的正切值.

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