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高三数学一轮复习第7讲函数与方程教案


函数与方程 教 学 目 标 1.结合二次函数的图像,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而 了解函数的零点与方程根的联系; 2.根据具体函数的图像,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解, 了解这种方法是求方程近似解的常用方法。 函数与方程的理论是高中新课标教材中新增的知识点,特别是“二分法”求 方程的近似解也一定会是高考的考点。从近几年高考的形势来看,十分注重对三 个“二次”(即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度, 命 题 走 向 同时也研究了它的许多重要的结论,并付诸应用。高考试题中有近一半的试题与 这三个“二次”问题有关。 预计 2017 年高考对本讲的要求是:以二分法为重点、以二次函数为载体、 以考察函数与方程的关系为目标来考察学生的能力。 (1)题型可为选择、填空和解答; (2)高考试题中可能出现复合了函数性质与函数零点的综合题,同时考察 函数方程的思想。 教 学 多媒体 准 备 要点精讲: 1.方程的根与函数的零点 (1)函数零点 教 学 过 程 概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 结合二 次函数 的图像, 复习掌 握函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函 数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 零点的 概念,并 具备利 用图像 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零点。 判断零 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的零点: 1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴 2 点情况 的能力。 有两个交点,二次函数有两个零点; 2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图 2 象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点; 3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点, 2 二次函数无零点。 零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [ a, b] 上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有 f (a) f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在区间 ( a, b) 内有零点。既 存在 c ? (a, b) ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根。 2.二分法 二分法及步骤: 对于在区间 [a ,b] 上连续不断, 且满足 f ( a ) · f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) , 通过不断地把函数 f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼 近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度 ? ,用二分法求函数 f ( x) 的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间 [a , b] ,验证 f ( a ) · f (b) ? 0 ,给定精度 ? ; (2)求区间 (a , b) 的中点 x1 ; (3)计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) = 0 ,则 x1 就是函数的零点; ②若 f ( a ) · f ( x1 ) < 0 ,则令 b = x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 ) · f (b) < 0 ,

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