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联想在数学解题中的运用


《 数学之友>  

2 0 1 2年第 2 0期 

联想在数学解题中的运用  
解 题 探 索 
刘晓燕 
( 江苏省拼茶 高级 中学 , 2 2 6 4 0 6 )  

巴甫 洛夫 说 : “ 解题 时 的联想 , 就 是 找 出与题 目   某些 特点很 接 近 的或 者很 相似

的原理 、 方法、 结论 或  命 题来 , 变 通使用 这些 知识 和方 法 , 观 察能 否解决 或  趋 于解 决 问 题 ” 在数学 解题 过程 中, 应 用 联 想 思  维, 其 过程 大致 是 : 在 对数 学 问题 进行 充分 的观 察 、   分析 、 尝试 和研究 的基 础上 , 通过 类 比、 联想, 在 问题  所 涉及 的知 识 与 自己已有 的数学 知识 和经 验上构 造 
桥梁 , 从而形 成解 决 问题 的方法 和思 路.   联 想思 维具 有 转 向灵 活 , 范 围广 阔 , 认知直接,  

相 似 或相 近 的联 想方 法 , 联 想到 有关公 式 , 使解题 有 

据 可依 .  

例2若 正 数   , Y 满 足 ÷+  = 1 , 求2 + ) ,   的  
最 小值 .   分析 : 按 常规 思 路 , 用 代 数方 法 难 以求 得 , 观 察 
所 求式 的特 征 , 联想 两点 间 的距离公 式 , 发 现  +Y  

表示线段- 4   - + ÷= 1 (  > 0 , Y > 0 ) 上的点到原点距 
-  

4  

思 维跳 跃等 特点 , 在解题中 , 恰当、 合 理 地运 用 联 想 
思维 , 可 以迅速有 效地 把握 问题 的本质 , 找 到解题 的  方法 .以下 结 合 实 例 , 根 据联 想所 涉及 的数 学 知 识  或 所遵 循 的思维 规 律 的不 同 , 阐 明联 想 中的一 些 常  见的 思维方 式在 解题 中 的运 用.  

离 的  

们  = (  

.  

例3 求c o s 4 3 。 c o s 7 7 。 +s i n 4 3 。 c o s 1 6 7 。 的值 .   分析 : “ 给 角求 值 ” : 一 般 所 给 出 的 角 都是 非 特 

殊角 , 从 表 面来看 较难 , 但仔 细观察 非特 殊角 与特 殊 
角 总有 一定 的关 系 , 解题 时, 要 利 用 观 察 得 到 的 关  系, 结 合 和差公式 的应 用 及 升幂 降 次 公 式转 化 为 特  殊角等 , 并 且消 去非特 殊角 的三 角 函数 , 问题 就容 易 
解 决.   原 式 =c o M3 。 c o s 7 7 。 + s i n 4 3 。 c o s ( 9 0 。 + 7 7 。 )  
=c o s 43。 c o s 7 7。一 s i n 4 3。 s i n 7 7。  

1   联 想 定 义 
定义 是 对 事物 本 质 的扼 要 说 明或 注 解. 由问题  中 的条件 和结论 所 反 映 出来 的定 义 , 从 而 引起 某 种  意义 上 的联 想 , 问题便 可得 到解 决.  

例 1   椭 圆 C ? 与C z :  + 争= 1 有 相 同 的 焦  
点, 且 C , 过点 ( 5 , 3 ) , 求 C 。 的标 准方 程.   分析 : 由此 例 的“ 焦点 ( ± 4, 0 ) 与 过点 M( 5 , 3 ) ”  

=c o s ( 4 3 。 + 7 7 。 1  
=c 。 s 1 2 0。= 一   .  

联想 到椭 圆的第一定 义.   事实 上 , 由 已知 可得 
2a = M FI+ M F2  


3 联 想 定 理 
定理 作 为 数学 逻辑 思 维 的一 种 重 要形 式 , 不 仅  表现 在数 学逻辑 的最终 结 果 上. 而 且 还 表 现在 作 为  逻辑 环节 的 中介 和过 渡 上 , 即作 为逻 辑 推 理 的依 据  使用 . 善 于联 想 定 理 , 常 常 能 够 由 此 发 现 解 题 的思  路, 提高 解题 的速度.  
例 4 已知 / ' , A B C中 , 面积 为 S, 满足 2 S=( n+  

^ / / ( 4 — 5 )   + ( 一 3 )   +  ̄ / ( 一 4 — 5 )   + ( 一 3 )  
4  



?





n=2 , / i - 6 .  

?
. .

b  = ( 2   v 厂 面) 。 一 4   = 2 4 .  

所 以, 所 求椭 圆方程 为  +   =1 .  

6 )  一 c   , 求t a n C的值.  
分析 : 由 已知条 件 中 口   , b   , c  的和 差形 式联 想 

2 联 想 公 式 
数 学 中的公 式 是数 学 解题 的重 要依 据 之 一 , 在 

余 弦定 理.  
? . ‘

2 × 丢   i n C = n   _ C 2 + 2 a 6 ,  
b s i n   C =2a b c o s C +2a b .  

解题 过 程 中 , 注意 观察条 件 或结论 的结 构特 点 , 根 据 
?

?
. . 

56 ?  

《 数学之友》  

2 0 1 2 年第 2 O 期 

?

s i n c =2 c o s c +2 . . ? .  


=2' . . . t a n   C
十 l   二 

?
. .



=2.  

函数  ) 与 g(  ) 在点( 1 , 1 ) 处 的公 切线 方  厂 (  ) ≥2  一1 , 即(  一1 )  > 10,   当  = 2 , m= 一1 时√   ) ≥2  一1 .  
1   ^ 一  

C OS  乙

程 为 y= 2 x一1 .  
? .


。 ?

,、 
? 

a n c   意

2 t a n 等   4  

  一   3 。  

‘ .



设h (  )=l n x+  一( 2 x 一1 ) , 贝 0  (  ) =  — —  
? .

4 联想相似点 
联想 相 似 点是 指 从 问题 的条 件 和结论 的形 式 、  

.  

(  ) 在( O , 1 ) 上是 增 函数 , 在( 1 , +。 。 ) 上 是  h (  )   = h ( 1 )= 0 .   当  = 2, m =一1时 , g ( x ) ≤2  一1 .  

减 函数.  
‘ .



结构 和一 些数 量之 间 的关 系而 联想 起具有 相似 特点  的相 同类 型 的数字 、 式子 、 图形 和方 法 等. 联 想相 似  点 除 了联 想相 似形 式之外 , 还有 联想 相似 特征.   例 5 若 曲线 Y   = e   一e   在点 P处 的切线 平行 


’ .



故 存在  = 2 , m=一1 , 使得  ) ≥   + m, g (  )  
≤  + m.  

从 以上 的论 述 中可知 , 联 想是 解 决数 学 问题 的 

种重 要 的思 维 途径 , 上 述 所 列 的几 种 常 用 的联 想  于 y 2 = 4   一 (   +   )   在 点 Q 处 的 切 线 , 求 P Q 的   方法 , 它们 之间是 密 切联 系 的 , 相互交替的, 有 时一  斜 率.   分析 : 由Y 。 与Y 2 导数的结构形式发现与基本不等  道题 可能用 到几 种联 想 思 维 方法 , 所 谓 分 类 只是 从 

式形式相似 , 故联想到运用基本不等式解决 问题  



‘ Y   1 =( e  一 e  )  =e  一 e —t >2 .  

, , t 2  d , x 一   } 一   4   3 z . )   = 4 一   3  
又’ . ‘ z 1 ∥z 2 ’ . . . Y   1 = Y   2 = 2 .  


音  



.  



0 , X Q = 鲁 , . . . P ( 0 , o ) , Q ( 吾 ,   ) .  

不同的思维角度来认识它们 , 我们关 注的侧重点则  在 于如何 培养学 生联想 思维 的方 法.   数 学思 想方 法 的教学 是 一个 潜 移 默化 的过 程 ,   是在 多次理 解和 运用 的基 础 上逐 步 形 成 的 , 因此 数  学思 想方法 是数 学 教 学 中一 项 长期 而 艰 巨的任 务.   0? K? 吉 霍 米 曾说 过 : 在 心理 中 , 思 维 被 看 作解 题 
活动, 虽 然思维 并 不是 总 等 于解 题 , 但 可 以断 言 , 形 

故所求斜率为÷.  
5 联想“ 数形”  
联想 “ 数形 ” 是 指 由一 个 问 题 的数 量 关 系 想 到 

成 最有 效的办法 是 通 过解 题 来 实 现 的. 而联 想 富 有 
创 造性 , 是创造 性思 维 的重要组 成部 分 , 所 以联想 思 

维在 解题 中有着 不 可低估 的作用 . 因此 , 在 中学数学  的教学 中对学 生联 想 思维 的培 养 是很 重 要 的 , 中学 
数 学教 师在授课 的同时要 注重对 学 生思维 的培养.  
参 考文献 :  

它 的空 问形式. 大量 的“ 数” 的 问题都 潜藏 着 “ 形” 的  背景, 而“ 形” 的问题 又 都 隐 含 着 “ 数” 的关 系 , 在 解 
题 过程 中恰 当 的运 用 联 想 “ 数形” 的思 维 方 法 往 往 

[ 1 ] 程娅. 例析“ 5 + 4+ 2+n ” 解题模式 [ J ] .  
数 学之 友 , 2 0 1 2 , ( 8 ) .  

能 达到事 半功倍 的效果.   例 6   设 函数 厂 (  )=   , g  
(  )=  + l n x , 是 否存 在 实常 数 ,  
m 是得 f (  )≥   +m, g(  ) ≤  

[ 2 ]   罗萍 萍 . 教 学 指 导 方 式 多 样 化 策 略 的实 

/ 
、  

证研究 —— 以两 节 数 学 示 范 课 为 例 [ J ] . 数 学 教 育  学报 , 2 0 1 2 , 8 , 2 1 ( 4 ) .   [ 3 ]   周义 励 . 一题 反 思 生发 的 有 效 教学 思 考  [ J ] 。 数学 之友 , 2 0 1 2 , ( 1 2 ) .   [ 4 ]   吴桂 香 . 围绕 问题 结 构  有 效 设 计 变式  [ J ] . 数学 之友 , 2 0 1 2 , ( 4 ) .  

+m? ( 1 0年 盐城模 拟题 )   分析 : 若 将 思 维 集 中在 问 题  上, 按 常规 思路 将 难 以解 决 , 观 察 

0   /  

) 和g ( x ) 的 图像 , 不难 猜 想 Y=k x+ m 是  ) 和  g (  ) 的图像 的一条 公切 线 , 利 用 导 数 的几 何意 义 求  出待定 系数 .  
? .
‘  

[ 5 ]   王雪琴. 发散思维是培养学生数学创新  精 神 的突 破 口—— 数 学 分 析 习 题 课 教 学 感 悟 [ J ] .  
数学教育 学报 , 2 0 1 2 , 8 , 2 1 ( 4 ) .  

(  )= 2   , g   )=1 +   1
,  


. .

厂( 1 )= g   ( 1 )= 2 .  

[ 6 ]   董海涛. 数学解题教学探究 活动应追 回   “ 四问” [ J ] . 数 学 之友 , 2 0 1 2 , ( 8 ) .  
?

5 7?  


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