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2.4.2等比数列的性质


2.4.2 等比数列的性质

等比数列{an}的一些性质(公比为q):
an+1 an qn-m 2 q 1. 对任意正整数 n、m, a = .a = .an-1· an+1= an. (n>1) n m as 2.对任意正整数 p、q、r、s,若 p+q=r+s,则 apaq=ar·
2 ( a ) p 特别地,若 m+n=2p,则 am· an= .

3.对任意常数 k(k≠0),{kan}仍成等比数列,公比为 q . 1 另外{a },{ak n},{|an|},也都是等比数列,公比依次为 n 1 k 、 q 、|q| q . an 4.{an},{bn}都是等比数列,则{anbn}与{b }都是等比数列,且 n 公比分别为原公比的 积与商.

5.{an}是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项积相等, 且等于首末两项之积.即 : a1an = a2 an-1 = a3 an-2 =…= ak an-k+1 . 6.若数列{an}是各项均为正数、公比为 q 的等比数列,则数列 {lg an}是公差为 lgq 的等差数列.

例 1.在等比数列{an}中, 已知 a4a7=-512, a3+a8=124, 且公比为整数,则 a10=__________.

512

25 【变式1】在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=___.

【变式2】{an}为等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20,则a11=___.
1 或 64

例 2.已知四个数前三个成等差,后三个成等比,中间两 数之积为 16,首尾两个数之积为-128,求这四个数.
-4,2,8,32 或 4,-2,-8,-32.

【变式】三个互不相等的数成等差数列,如果适当排列 三个数,又可成为等比数列,这三个数的和为 6,则这三个数 为________.

-4,2,8

1 例 3.设数列{an}的首项 a1=a≠4, ?1 ?n为偶数? ?2an 且 an+1=? ?an+1 ?n为奇数? 4 ?

1 .记 bn=a2n-1-4,n=

1,2,3,……. (1)求 a2、a3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论.

1 1 1 1 1 1 1 (2)∵bn+1=a2n+1-4=2a2n-4=2(a2n-1+4)-4=2(a2n-1- 1 1 * ) = b ( n ∈ N ), n 4 2 1 1 ∴{bn}是首项为 a-4,公比为 的等比数列. 2

【变式】在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中,已 知 a1=1,且 a1=b1,a2=b2,a8=b3. (1)求数列{an}的公差 d 和数列{bn}的公比 q; (2)是否存在常数 a, b 使得对一切正整数 n, 都有 an=logabn +b 成立?若存在,求出 a 和 b;若不存在,说明理由.
解(1)由已知 a1=b1=1,a2=b2,a8=b3,得
? ?1+d=q, ? 2 ? ?1+7d=q , ? ?q=6, 解得? ? ?d=5, ? ?q=1, 或? ? ?d=0.

(舍去)

(2)假设存在 a,b 使得 an=logabn+b 成立, (5-loga6)n-(4+b-loga6)=0. ∵an=logabn+b 对一切正整数 n 恒成立. ? ?5-loga6=0, 5 ∴? ∴a= 6,b=1. ? ?4+b-loga6=0,

例 4.已知数列{an}为等差数列且公差 d≠0,{an}的部分项 组成等比数列{bn},其中 bn=akn,若 k1=1,k2=5,k3=17, 求 kn .
[解析] ∵{bn}是等比数列,∴b2 b3,又 b1=a1,b2=a5, 2 = b1 · b3=a17,∴a2 a17,∵an=a1+(n-1)d,∴(a1+4d)2=a1(a1+ 5 = a1 · 16d),∵d≠0,∴a1=2d,∴an=(n+1)d, b2 ∴b1=2d,b2=6d,b3=18d,∴公比 q=b =3,∴bn=b1qn-1= 1 2d· 3n-1,∵bn=akn,∴2d· 3n-1=(kn+1)d,∴kn=2×3n-1-1.
【变式】已知数列 {an} 是各项均为正数的等差数列 , 且 1 lga1,lga2,lga4 成等差数列,又 bn=a ,n=1,2,3,…, 2n 求证:数列{bn}为等比数列.

解 ∵lga1,lga2,lga4 成等差数列,∴a2 a4 . 2=a1· 设等差数列{an}的公差为 d,则(a1+d)2=a1(a1+3d), ∴d2=a1· d,∴d(a1-d)=0,∴d=0 或 d=a1, ①当 d=0 时,{an}为常数列,{bn}也为常数列,此时数列 {bn}是首项为正数,公比为 1 的等比数列. ②当 d=a1 时,a2n=a1+(2n-1)d=2nd, 1 1 1 ∵a1>0,∴d>0,∴bn=a =d· n,显然 bn≠0. 2 2n 1 1 · n+1 d 2 bn+1 1 ∴ b = 1 1 =2(n≥1), n d· 2n 1 1 此时数列{bn}是首项为 b1=2d,公比为 的等比数列. 2 综上可知,数列{bn}是等比数列.


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