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2.2.3向量数乘运算及其几何意义


2.2.3

向量数乘运算及其几何意义

课时目标 1.掌握向量数乘的定义.2.理解向量数乘的几何意义.3.了解向量数乘的运算律.4. 理解向量共线的条件.

1.向量数乘运算 实数 λ 与向量 a 的积是一个__________,这种运算叫做向量的__________,记作________, 其长度与方向规定如下: (1)|λa|=__________. ? 时,与a方向相同 ?当 (2)λa (a≠0)的方向? ; ?当 时,与a方向相反 ? 特别地,当 λ=0 或 a=0 时,0a=________或 λ0=________. 2.向量数乘的运算律 (1)λ(μa)=________. (2)(λ+μ)a=____________. (3)λ(a+b)=____________. 特别地,有(-λ)a=____________=________; λ(a-b)=____________. 3.共线向量定理 向量 a (a≠0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ,使______________. 4.向量的线性运算 向量的____、____、________运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a、b,以及任意 实数 λ、μ1、μ2,恒有 λ(μ1a± μ2b)=__________________.

一、选择题 1.设 e1,e2 是两个不共线的向量,若向量 m=-e1+ke2 (k∈R)与向量 n=e2-2e1 共线,则 ( ) A.k=0 B.k=1 1 C.k=2 D.k= 2 → → → 2. 已知向量 a、 b, 且AB=a+2b, BC=-5a+6b, CD=7a-2b, 则一定共线的三点是( ) A.B、C、D B.A、B、C C.A、B、D D.A、C、D → → → → 3.已知△ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P,且PA+PB+PC=AB,则( ) A.P 在△ABC 内部 B.P 在△ABC 外部 C.P 在 AB 边上或其延长线上 D.P 在 AC 边上 → → → → → → 4. 已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0.若存在实数 m 使得AB+AC=mAM成立, 则m 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 → → → → 5.在△ABC 中,点 D 在直线 CB 的延长线上,且CD=4BD=rAB+sAC,则 r-s 等于( ) 4 8 A.0 B. C. D.3 5 3

→ → → → → → 6.设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,BC2=16,|AB+AC|=|AB-AC|,则|AM |等于( ) A.8 B.4 C.2 D.1 题 号 答 案 二、填空题 1 2 3 4 5 6

1 ? 1 7.若 2? ?y-3a?-2(c+b-3y)+b=0,其中 a、b、c 为已知向量,则未知向量 y=_______. → → → 8.已知平面内 O,A,B,C 四点,其中 A,B,C 三点共线,且OC=xOA+yOB,则 x+y =________. → 9. 如图所示,D 是△ABC 的边 AB 上的中点,则向量CD=______.(填写正确的序号)

→ 1→ ①-BC+ BA 2 → 1→ ②-BC- BA 2 → 1→ ③BC- BA 2 → 1→ ④BC+ BA 2 → → → → → 10. 如图所示, 在?ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=______.(用 a,b 表示)

三、解答题 11.两个非零向量 a、b 不共线. (1)若 A B =a+b,B C =2a+8b,C D =3(a-b),求证:A、B、D 三点共线; (2)求实数 k 使 ka+b 与 2a+kb 共线.







→ → → → → 12. 如图所示, 在?ABCD 中, AB=a, AD=b, AN=3NC, M 为 BC 的中点, 则MN=______.(用 a,b 表示)

能力提升 → → 13.已知 O 是平面内一定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足OP=OA+ → → ? AB AC ? + λ? (λ∈[0,+∞)),则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) → →? ?|AB| |AC|? A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 14.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 → → → CD 交于点 F.若AC=a,BD=b,则AF等于( ) 1 1 2 1 A. a+ b B. a+ b 4 2 3 3 1 1 1 2 C. a+ b D. a+ b 2 4 3 3

1.实数与向量可以进行数乘运算,但不能进行加减运算,例如 λ+a,λ-a 是没有意义的. a 2.λa 的几何意义就是把向量 a 沿着 a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍.向量 表 |a| 示与向量 a 同向的单位向量. 3.共线向量定理是证明三点共线的重要工具,即三点共线问题通常转化为向量共线问题.

2.2.3

向量数乘运算及其几何意义

知识梳理 1.向量 数乘 λa (1)|λ||a| (2)λ>0 λ<0 0 0 2.(1)(λμ)a (2)λa+μa (3)λa+λb -(λa) λ(-a) λa-λb 3.b=λa 4.加 减 数乘 λμ1a± λμ2b 作业设计 1 1 1.D [当 k= 时,m=-e1+ e2,n=-2e1+e2. 2 2 ∴n=2m,此时,m,n 共线.] → → → → 2.C [∵BD=BC+CD=2a+4b=2AB, ∴A、B、D 三点共线.] → → → → → 3.D [PA+PB+PC=PB-PA,

→ → ∴PC=-2PA,∴P 在 AC 边上.] → → → 4.B [∵MA+MB+MC=0, ∴点 M 是△ABC 的重心. → → → ∴AB+AC=3AM,∴m=3.] → → → → 5.C [∵CD=CB+BD=4BD, → → ∴CB=3BD. → → → → → → ∴CD=AD-AC=AB+BD-AC → 1→ → =AB+ CB-AC 3 → 1 → → → =AB+ (AB-AC)-AC 3 4→ 4 → = AB- AC 3 3 4 4 8 ∴r= ,s=- ,r-s= .] 3 3 3 →2 6.C [∵BC =16, → → → → ∴|BC|=4.又|AB-AC|=|CB|=4, → → ∴|AB+AC|=4. → 1 → → ∵M 为 BC 中点,∴AM= (AB+AC), 2 → 1→ → ∴|AM|= |AB+AC|=2.] 2 4 1 1 7. a- b+ c 21 7 7 8.1 → → 解析 ∵A,B,C 三点共线,∴?λ∈R 使AC=λAB. → → → → ∴OC-OA=λ(OB-OA). → → → ∴OC=(1-λ)OA+λOB. ∴x=1-λ,y=λ,∴x+y=1. 9.① → 1→ → 1→ → → → 解析 -BC+ BA=CB+ BA=CB+BD=CD. 2 2 1 10. (b-a) 4 → → → → 解析 MN=MB+BA+AN 1 3→ =- b-a+ AC 2 4 1 3 =- b-a+ (a+b) 2 4 1 = (b-a). 4 11.(1)证明 ∵A D =A B +B C +C D =a+b+2a+8b+3a-3b=6a+6b=6A B ,∴A、B、 D 三点共线. (2)解 ∵ka+b 与 2a+kb 共线,∴ka+b=λ(2a+kb). ∴(k-2λ)a+(1-λk)b=0,











? ?k-2λ=0, ∴? ?k=± 2. ?1-λk=0 ? → → 12.证明 设BA=a,BC=b,则由向量加法的三角形法则可知: → → → 1→ → 1 CM=BM-BC= BA-BC= a-b. 2 2 又∵N 在 BD 上且 BD=3BN, 1 → 1→ 1 → → ∴BN= BD= (BC+CD)= (a+b), 3 3 3 1 1 2 2 1 → → → a-b?, ∴CN=BN-BC= (a+b)-b= a- b= ? ? 3 3 3 3?2 → 2→ → → ∴CN= CM,又∵CN与CM共点为 C, 3 ∴C、M、N 三点共线. → → → → AB → AC → AB AC 13.B [ 为AB上的单位向量, 为AC上的单位向量,则 + 的方向为∠BAC 的 → → → → |AB| |AC| |AB| |AC| → 角平分线AD的方向. → → → → → → ? AB ? AB AC ? AC ? AB AC → → + + 又 λ∈[0, +∞), ∴λ? 的方向与 + 的方向相同. 而OP=OA+λ? , → →? → →? → → ?|AB| |AC|? ?|AB| |AC|? |AB| |AC| → ∴点 P 在AD上移动. ∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.] 14.B [

如图所示, ∵E 是 OD 的中点, → 1→ 1 ∴OE= BD= b. 4 4 又∵△ABE∽△FDE, AE BE 3 ∴ = = . EF DE 1 → → → 3→ ∴AE=3EF,∴AE= AF. 4 → → → 1 1 在△AOE 中,AE=AO+OE= a+ b. 2 4 4 2 1 → → ∴AF= AE= a+ b.] 3 3 3


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