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2012年菏泽市中考数学试卷及答案解析


2012 年山东省菏泽市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. ) 1. (2012 菏泽)点 P(﹣2,1)在平面直角坐标系中所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点:点的坐标。 解答:解:点 P(﹣2,1)在第二象限. 故选 B. 2. (2012 菏泽)在算式( )□( )的□中填上运算符号,使结果最大,这个运算

符号是( ) A.加号 B.减号 C.乘号 考点:实数的运算;实数大小比较。 解答:解:当填入加号时: ( 当填入减号时: ( 当填入乘号时: ( 当填入除号时: ( ∵1> >0>﹣ , )﹣( )×( )÷( )+( )=0; )= ; )=1.

D.除号

)=﹣



∴这个运算符号是除号. 故选 D. 3. (2012 菏泽)如果用□表示 1 个立方体,用 表示两个立方体叠加,用■表示三个立方体 叠加, 那么下面图是由 7 个立方体叠成的几何体, 从正前方观察, 可画出的平面图形是 ( )

A. B. C. D. 考点:简单组合体的三视图。 解答:解:从正前方观察,应看到长有三个立方体,且中间的为三个立方体叠加;高为两个 立方体,在中间且有两个立方体叠加. 故选 B. 4. (2012 菏泽)已知 ? 为( )

?mx ? ny ? 8 ?x ? 2 是二元一次方程组 ? 的解,则 2 m ? n 的算术平方根 ?nx ? my ? 1 ?y ? 1

A.±2

B. 2

C.2

D. 4

考点:二元一次方程组的解;算术平方根。 解答:解:∵ ?

?m x ? ny ? 8 ?x ? 2 是二元一次方程组 ? 的解, ?nx ? m y ? 1 ?y ? 1

∴?

? 2m ? n ? 8 , ? 2n ? m ? 1 ?m ? 3 , ?n ? 2

解得: ?

∴2m﹣n=4, ∴ 2 m ? n 的算术平方根为 2. 故选 C. 5. (2012 菏泽)下列图形中是中心对称图形是(



A.

B.

C.

D.

考点:中心对称图形。 解答:解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项正确. 故选 D. 6. (2012 菏泽)反比例函数 y ? 立的是( ) B. y1 ? y2 C. y1 ? y2 D.不能确定

2 的两个点为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ,且 x1 ? x2 ,则下式关系成 x

A. y1 ? y2

考点:反比例函数图象上点的坐标特征。 解答:解:反比例函数 y ?

2 中,k=2>0, x

①两点在同一象限内,y2>y1; ②A,B 两点不在同一象限内,y2<y1. 故选 D. 7. (2012 菏泽)我市今年 6 月某日部分区县的最高气温如下表: 区县 牡丹区 东明 32 鄄城 30 郓城 32 巨野 30 定陶 32 开发区 32 曹县 32 成武 30 单县 29 最高气温(℃ 32 )

则这 10 个区县该日最高气温的众数和中位数分别是( ) A.32,32 B.32,30 C.30,32 D.32,31 考点:众数;中位数。 解答:解:在这一组数据中 32 是出现次数最多的,故众数是 32; 处于这组数据中间位置的数是 32、32,那么由中位数的定义可知,这组数据的中位数是 32.

故选 A. 8. (2012 菏泽)已知二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像如图所示,那么一次函数 y ? bx ? c 和 反比例函数 y ?

a 在同一平面直角坐标系中的图像大致是( x



A.

B.

C.

D. 考点:二次函数的图象;一次函数的图象;反比例函数的图象。 解答:解:∵二次函数图象开口向下, ∴a<0, ∵对称轴 x=﹣ <0,

∴b<0, ∵二次函数图象经过坐标原点, ∴c=0, ∴一次函数 y=bx+c 过第二四象限且经过原点,反比例函数 y ?

a 位于第二四象限, x

纵观各选项,只有 C 选项符合. 故选 C. 二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中的横线上. ) 9. (2012 菏泽)已知线段 AB=8cm,在直线 AB 上画线段 BC,使它等于 3cm,则线段 AC= cm. 考点:两点间的距离。 解答:解:根据题意,点 C 可能在线段 BC 上,也可能在 BC 的延长线上. 若点 C 在线段 BC 上,则 AC=AB﹣BC=8﹣3=5(cm) ; 若点 C 在 BC 的延长线上,则 AC=AB+BC=8+3=11(cm) . 故答案为 5 或 11. 10. (2012 菏泽)若不等式组 ?

?x ? 3 的解集是 x ? 3 ,则 m 的取值范围是 ?x ? m



考点:不等式的解集。 解答:解:∵不等式组 的解集是 x ? 3 ,

∴m≤3. 故答案为:m≤3. 11. (2012 菏泽)如图,PA,PB 是⊙ 是切线,A,B 为切点,AC 是⊙ 的直径,若∠ O O P=46°, 则∠ BAC= 度.

考点:切线的性质。 解答:解:∵PA,PB 是⊙O 是切线, ∴PA=PB,又∠P=46°, ∴∠PAB=∠PBA= =67°,

又 PA 是⊙O 是切线,AO 为半径, ∴OA⊥AP, ∴∠OAP=90°, ∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°. 故答案为:23 12. (2012 菏泽)口袋内装有大小、质量和材质都相同的红色 1 号、红色 2 号、黄色 1 号、 黄色 2 号、黄色 3 号的 5 个小球,从中摸出两球,这两球都是红色的概率是 . 考点:列表法与树状图法。 解答:解:列表得: 红 1,黄 3 红 1,黄 2 红 1,黄 1 红 1,红 2 ﹣ 红 2,黄 3 红 2,黄 2 红 2,黄 1 ﹣ 红 2,红 1 黄 1,黄 3 黄 1,黄 2 ﹣ 黄 1,红 2 黄 1,红 1 . 黄 2,黄 3 ﹣ 黄 2,黄 1 黄 2,红 2 黄 2,红 1 ﹣ 黄 3,黄 2 黄 3,黄 1 黄 3,红 2 黄 3,红 1

∵共有 20 种等可能的结果,这两球都是红色的有 2 种情况, ∴从中摸出两球,这两球都是红色的概率是: 故答案为: . =

13. (2012 菏泽)将 4 个数 a,b,c,d 排成 2 行、2 列,两边各加一条竖直线记成

a c

b d



定义

a c

b d

? ad ? bc ,上述记号就叫做 2 阶行列式.若

x ?1 1? x 1? x x ?1

? 8 ,则 x ?



考点:整式的混合运算;解一元一次方程。 解答:解:根据题意化简

x ?1 1? x 1? x x ?1

? 8 ,得: ( x ? 1)2 ? (1 ? x)2 ? 8 ,

整理得: x2 ? 2 x ? 1 ? (1 ? 2 x ? x2 ) ? 8 ,即 4 x ? 8 , 解得: x ? 2 . 故答案为:2 14.(2012 菏泽)一个自然数的立方,可以分裂成若干个连续奇数的和.例如: 2 ,
3

33 和 4 3 分别可以按如图所示的方式“分裂”成 2 个、 个和 4 个连续奇数的和, 23 ? 3 ? 5 ; 3 即

33 ? 7 ? 9 ? 11; 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ;……;
若 6 也按照此规律来进行“分裂”,则 6 “分裂”出的奇数中,最大的奇数是
3 3



考点:规律型:数字的变化类。 3 解答:解:由 2 =3+5,分裂中的第一个数是:3=2×1+1, 3 3 =7+9+11,分裂中的第一个数是:7=3×2+1, 3 4 =13+15+17+19,分裂中的第一个数是:13=4×3+1, 3 5 =21+23+25+27+29,分裂中的第一个数是:21=5×4+1, 3 6 =31+33+35+37+39+41,分裂中的第一个数是:31=6×5+1, 3 所以 6 “分裂”出的奇数中最大的是 6×5+1+2×(6﹣1)=41. 故答案为:41. 三、解答题(本大题共 7 个小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 a?2 a ? 2 )? 15. (2012 菏泽) (1)先化简,再求代数式的值. ( ,其中 a ?1 a ?1 a ?1

a ? (?1)2012 ? tan 60? .
考点:分式的化简求值;特殊角的三角函数值。 解答:解:原式 ?

2(a ? 1) ? (a ? 2) a ? 1 3a a ?1 3 ? ? ? ? . (a ? 1)(a ? 1) a (a ? 1)(a ? 1) a a ?1

当 a= (?1)2012 +tan60° 1+ 3 时, = 原式 ?

3 3 ? = 3. 1+ 3 ? 1 3

(2)解方程: ( x ? 1)( x ? 1) ? 2( x ? 3) ? 8 . 考点:解一元二次方程-因式分解法。 解答:解:原方程可化为 x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

∴(x+3) (x﹣1)=0, ∴x1=﹣3,x2=1. 16. (2012 菏泽) (1)如图,∠ DAB=∠ CAE,请补充一个条 件: ,使△ ABC∽ADE. △

考点:相似三角形的判定。 解答:解:∠D=∠B 或∠AED=∠C. (2)如图,OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,O 为原点,点 A 在 x 轴的正 半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,OA=10,OC=8.在 OC 边上取一点 D,将纸片沿 AD 翻 折,使点 O 落在 BC 边上的点 E 处,求 D,E 两点的坐标.

考点:翻折变换(折叠问题) ;坐标与图形性质;勾股定理; 解答:解:依题意可知,折痕 AD 是四边形 OAED 的对称轴, ∴在 Rt△ABE 中,AE=AO=10,AB=8, BE ? ∴CE=4, ∴E(4,8) . 2 2 2 在 Rt△DCE 中,DC +CE =DE , 又∵DE=OD, 2 2 2 ∴(8﹣OD) +4 =OD , , ∴OD=5, ∴D(0,5) .

AE2 ? AB2 ? 102 ? 82 ? 6 ,

17. (2012 菏泽) (1)如图,一次函数 y= ? x ? 2 的图象分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B, 以线段 AB 为边在第一象限内作等腰 Rt△ ABC,∠ BAC=90°.求过 B、C 两点直线的解析式. 考点:一次函数综合题。 解答:解:一次函数 y= ? x ? 2 中,令 x=0 得:y=2; 令 y=0,解得 x=3.ww w .xkb1 .com 则 A 的坐标是(0,2) 的坐标是(3,0) ,C . 作 CD⊥x 轴于点 D. ∵∠BAC=90°, ∴∠OAB+∠CAD=90°, 又∵∠CAD+∠ACD=90°, ∴∠ACD=∠BAO 又∵AB=AC,∠BOA=∠CDA=90° ∴△ABO≌△CAD, ∴AD=OB=2,CD=OA=3,OD=OA+AD=5. 则 C 的坐标是(5,3) . 设 BC 的解析式是 y=kx+b, 根据题意得: ,

2 3

2 3

解得:



则 BC 的解析式是: y ?

1 x ? 2. 5

(2)我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的 单价多 4 元,用 12000 元购进的科普书与用 8000 元购进的文学书本数相等.今年文学书和 科普书的单价和去年相比保持不变, 该校打算用 10000 元再购进一批文学书和科普书, 问购 进文学书 550 本后至多还能购进多少本科普书?

考点:分式方程的应用;一元一次不等式的应用。 解答:解:设文学书的单价是 x 元/本. 依题意得:

12000 8000 ? x?4 x

解得: x ? 8 ,经检验 x ? 8 是方程的解,并且符合题意. ? x ? 4 ? 12 所以,去年购进的文学书和科普书的单价分别是 8 元和 12 元. ②设购进文学书 550 本后至多还能购进 y 本科普书.

依题意得 550 ? 8 ? 12 y ? 10000 ,解得 y ? 466 , 由题意取最大整数解, y ? 466 ..新课 标 第 一网 所以,至多还能够进 466 本科普书. 18. (2012 菏泽)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ ABC 和△ DEF 的顶点都在 格点上,P1,P2,P3,P4,P5 是△ DEF 边上的 5 个格点,请按要求完成下列各题: (1)试证明三角形△ ABC 为直角三角形; (2)判断△ ABC 和△ DEF 是否相似,并说明理由; (3)画一个三角形,使它的三个顶点为 P1,P2,P3,P4,P5 中的 3 个格点并且与△ ABC 相 似(要求:用尺规作图,保留痕迹,不写作法与证明) .

2 3

考点:作图—相似变换;勾股定理的逆定理;相似三角形的判定。 解答:解: (1)根据勾股定理,得 AB=2 ,AC= ,BC=5; 2 2 2 显然有 AB +AC =BC , 根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形; (2)△ABC 和△DEF 相似. 根据勾股定理,得 AB=2 ,AC= ,BC=5, DE=4 ,DF=2 ,EF=2 . = = = ,

∴△ABC∽△DEF. (3)如图:连接 P2P5,P2P4,P4P5, ∵P2P5= ,P2P4= ,P4P5=2 , AB=2 ,AC= ,BC=5, ∴ = = = ,

∴,△ABC∽△P2P4 P5.

19. (2012 菏泽)某中学举行数学知识竞赛,所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念 奖, 获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中所给出的信息解答下列问 题:

(1)二等奖所占的比例是多少? (2)这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是多少? (3)请将条形统计图补充完整; (4)若给所有参赛学生每人发一张卡片,各自写上自己的名字,然后把卡片放入一个不透 明的袋子里,摇匀后任意摸出一张,求摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率. 考点:条形统计图;扇形统计图;概率公式。 解答:解: (1)由 1﹣10%﹣24%﹣46%=20%,所以二等奖所占的比例为 20% (2)参赛的总人数为:20÷10%=200 人,xk b1 .c om 这次数学知识竞赛获得二等奖的人数是:200×20%=40 人; (3)

(4)摸出的卡片上是写有一等奖学生名字的概率为:20÷200=

1 . 10

20. (2012 菏泽)牡丹花会前夕,我市某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市 场进行试销.经过调查,得到如下数据: … 30 40 50 60 销售单价 x(元/件) … 20 每天销售量(y 件) … 500 400 300 200 100 … (1) 把上表中 x、 的各组对应值作为点的坐标, y 在下面的平面直角坐标系中描出相应的点, 猜想 y 与 x 的函数关系,并求出函数关系式; (2) 当销售单价定为多少时, 工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少? (利润=销售总价﹣成本总价) (3)菏泽市物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过 35 元/件,那么销售单价定为 多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?

考点:二次函数的应用;一次函数的应用。 解答:解: (1)画图如图: 由图可猜想 y 与 x 是一次函数关系, 设这个一次函数为 y ? kx ? b(k ? 0) , ∵这个一次函数的图象经过(20,500)(30,400)这两点, 、

?k ? ?10 ?500 ? 20k ? b ∴? ? ,解得 ? , ?400 ? 30k ? b ?b ? 700
∴函数关系式是 y ? ?10 x ? 700 . (2)设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是 W 元,依题意得:

W ? ( x ? 10)(?10x ? 700) ? ?10x2 ? 800x ? 7000 ? ?10( x ? 40)2 +9000 ,

?当 x ? 40 时, W 有最大值 9000 .(3)对于函数 W ? ?10( x ? 40)2 +9000 ,当 x ? 35 时, W 的值随着 x 值的增大而增大, 件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大. ?销售单价定为 35 元∕

21. (2012 菏泽)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为 A(0,1) ,B (2,0) ,O(0,0) ,将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90°,得到△ B′ A′ O. (1)一抛物线经过点 A′ 、B′ 、B,求该抛物线的解析式; (2)设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点 P,使四边形 PB′ B 的面积 A′ 是△ B′ 面积 4 倍?若存在,请求出 P 的坐标;若不存在,请说明理由. A′ O (3) (2) 在 的条件下, 试指出四边形 PB′ B 是哪种形状的四边形?并写出四边形 PB′ B A′ A′ 的两条性质.

考点:二次函数综合题。 解答:解: (1)△A′B′O 是由△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 90°得到的, 又 A(0,1) ,B(2,0) ,O(0,0) , ∴A′(﹣1,0) ,B′(0,2) . 设抛物线的解析式为: y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , ∵抛物线经过点 A′、B′、B, ?0 ? a ? b ? c ? a ? ?1 ? ? ,解之得 ?b ? 1 , ? ?2 ? c ?0 ? 4a ? 2b ? c ?c ? 2 ? ?

?满足条件的抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? x ? 2 ..
(2)∵P 为第一象限内抛物线上的一动点, 设 P(x,y) ,则 x>0,y>0,P 点坐标满足 y ? ? x2 ? x ? 2 . 连接 PB,PO,PB′, ? S四边形PB?A?B ? S?B?OA? ? S?PB?O ? S?POB

1 1 1 ? ?1? 2+ ? 2 ? x+ ? 2 ? y 2 2 2 ? x ? (? x2 ? x ? 2) ? 1 ? ? x2 ? 2 x ? 3 .
假设四边形 PB ?A?B 的面积是 ?A?B ?O 面积的 4 倍,则 ? x2 ? 2x ? 3 ? 4 , 即 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ,解之得 x ? 1 ,此时 y ? ?12 ? 1 ? 2 ? 2 ,即 P(1, 2) . ∴存在点 P(1,2) ,使四边形 PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的 4 倍. (3)四边形 PB′A′B 为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意 2 个均可. ①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等; ③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等. 或用符号表示: ①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′; ②PA′=B′B; ③B′P∥A′B; ④B′A′ =PB.


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