专题复习4

指数函数、对数函数和幂函数
1、指数函数的图象和性质 指数函数的定义：一般的，函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫做指数函数。
a ?1 0 ? a ?1

图 象 定义域/值域 定义域:____________; 单调性 定点 值和 图象 的分 布 在_____是增函数 值域:_________________ 在_____是增函数。

过定点_____， 即 x=0 时， y=1； 过定点_____，即 x=0 时，y=1； （1）当_____时，0<y<1； 当_____时， y>1； （2）图象位于_____轴上方； 向左无限接近 x 轴； 底数 a 越 大，向上越靠近____轴。
x

（1）当_____时，0<y<1； 当_____时， y>1； （ 2）图象位于 _____ 轴上方； 向右无限接近 x 轴；底数 a 越 小，向上越靠近____轴。

?1? 指数函数 y ? a x 与 y ? ? ? 的图象关于_______对称。 ?a?
考点一： 指数函数的图象 【例 1】如图，指出函数①y=ax; ②y=bx; ③y=cx; ④y=dx 的图象，则 a,b,c,d 的大小关 系是（ ） y ② ③④ A a<b<1<c<d B b<a<1<d<c ① C 1<a<b<c<d D a<b<1<d<c
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【例 2】函数 y ? a x 和 y ? (a ? 1) x 2 ? 1 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
y
y

y

y

o

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

【例 3】?方程 4 x ? 2 x?1 ? 3 ? 0 的解是 ?方程 2 x ? 2 ? ? x 2 的有_____个实数解;

1

考点二： 底数对指数函数单调性等性质的影响 【例 1】已知指数函数 f ( x) ? a 2 ? 1 ： （1）若 f ( x) 在 R 上是减函数，实数 a 的取值范围； （2）当 x ? 0 时， f ( x) 的值总大于 1，求实数 a 的取值范围。

?

?

x

例 2、已知定义域为 R 的函数 f ?x ? ? （1）求 a, b 的值；

? 2x ? b 是奇函数。 2 x?1 ? a

（2）解关于 t 的不等式 f t 2 ? 2t ? f 2t 2 ?1 ? 0

?

? ?

?

2

2、对数函数的图象和性质 对数函数定义 ：一般地，函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做对数函数。
a ?1 0 ? a ?1

图 象 定义域：___________ 定义域/值域 单调性 定点 值和 图象 的分 布 过定点_____， 即 x=1 时， y=0； 过定点______， 即 x=1 时， y=0； （1）当_____时，y<0； （1）当_____时，y<0； 当_____时， y>0； 当_____时， y>0； （2）图象位于_____轴右侧； （ 2）图象位于 _____ 轴右侧； 向下无限接近 y 轴；底数 a 向上无限接近 y 轴；底数 a 越 越大，向右越靠近____轴。 小，向右越靠近____轴。 值域:______________

对数函数 y ? loga x 与 y ? log 1 x 的图象关于_______对称。
a

3、指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 的关系 ①互为反函数：② y ? a x 的定义域是 y ? loga x 的值域， y ? a x 的值域是 y ? loga x 的定 义域；反之也成立；③图像关于直线 y=x 对称。 考点三 对数函数的图象 【例 1】下列函数图象正确的是

（

）

lg?lg y ? ? lg?3x ? ? lg?3 ? x ?
A B C D 【例 2】函数 y ? log a x ， y ? log b x ， y ? log c x ， y ? log d x 的图象如图①, ②, ③, ④所示，则 a、b、c、d 的大小顺序是（ A．1＜d＜c＜a＜b B．c＜d＜1＜a＜b C．c＜d＜1＜b＜a D．d＜c＜1＜a＜b ）

y

② ① x

o ③
3

④

例 3、设函数 y ? f ?x ? 且 lg?lg y ? ? lg?3x ? ? lg?3 ? x ? （1）求 f ? x ?的定义域； （2）求 f ? x ?的值域； （3）讨论 f ? x ?的单调性。

例 4、已知函数 f ?x? ? a ? 2 x ? b ? 3x ，其中常数 a, b 满足 ab ? 0 （1）若 ab ? 0 ，判断函数 f ? x ?的单调性； （2）若 ab ? 0 ，求 f ?x ? 1? ? f ?x ?时 x 的范围。

4

4、幂函数的图象和性质（第一象限） 幂函数定义：一般的，形如 y ? x? ?? ? R? 的函数称为幂函数，其中 ? 为常数. 通常我们 只研究幂函数在第一象限的图象和性质，其它象限利用奇偶性研究. 幂函数在第一象限的图象和性质： ? ?0 ? ?0 图 象

单调性 定点 过定点_____和__________
0 ?? ?1 ? ?1 当 0 ? x ? 1时， 当 0 ? x ? 1 时，图象在 图象在 y ? x 的 y ? x 的下 上方；当 x ? 1 时，图象在 方；当 x ? 1 时，图象在 y ? x 的下方； y ? x 的上

过定点______

图象 的分 布

在第一象限内，当 x 从右边趋向于 原点时，图像在 y 轴右方无限的逼 近 y 轴，当 x 趋于 ? ? 时，图像在

x 轴上方无限的逼近 x 轴。

方； 考点四 幂函数的定义

【例 1】已知函数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x ?5m ? 3 ，当 m 为何值时， f ( x) 是： （1）幂函数？ （2）在 (0,??) 上单调递减的幂函数？

考点五

幂函数的图象
2、

【例 2】 如图 2—15 的曲线是指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象， 已知 a 的值取
4 3

、 3 、 1 ，则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次为(
10

5

)

4 1 3 A． ， 2 ， ， 3 5 10 3 1 4 C． ， ， 2 ， 5 3 1

B． 2 ，

4 1 3 ， ， 3 10 5 4 3 1 D． ， ， ， 2 5 3 10
5

【例 3】下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.
1 2 3 1 ? ?2 ?3 3 3 2 （ 1）y ? x ；（2）y ? x ；（3）y ? x ； (4）y ? x ；（5）y ? x ；（6）y ? x 2 .

（A） 考点六

（B）

（C）

（D）

（E）

（F）

幂函数的性质

2 【例 1】已知幂函数 f ( x) ? x m ? 2m ? 3 (m ? Z ) 在 (0,??) 是减函数，

求 f ( x) 的解析式并讨论单调性和奇偶性。

1 ? ? 【例 2】设 a ? ??1,1, ,3? ，则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为（ 2 ? ?

）

（A） 1,3 （B） ?1,1 （C） ?1,3

（D） ?1,1,3

考点七 与指数、对数、幂函数定义域相关的问题 【例 1】求下列函数的定义域：
?1? （1） y ? ? ? ?3?
1? x 2

（2） f ( x) ? log a

1? x , (a ? 0, a ? 1) 1? x

6

(3) y ? log(2 x?1) (3x ? 2)

(4) y ? log 1 (2 ? x 2 )
2

1 (5) y ? lg( x ? 1)

3 2 ?4 （6） y ? 3 ? 2 x ? x

?

?

考点八

与指数、对数、幂函数值域相关的问题

【例 1】 （1）函数 y＝log2x 的定义域是［1，64 ) ，则值域是________ (2) 当 x ? ?? 1,1? 时， y ? 3 x ? 2 的值域是_________ (3) 函数 y ? 1 ? log2 x( x ? 4) 的值域是_______
1 （4）函数 y ? x ?2 在区间 [ , 2] 上的值域是______ 2 考点八 利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图象比较大小

【例 1】若 0 ? x ? y ? 1 ，则（ A． 3 y ? 3x B． log x 3 ? log y 3

） C． log4 x ? log4 y
1 1 D． ( ) x ? ( ) y 4 4

【例 2】比较下列各组中两个值大小
5 5 6 6 3 11 11 (?0.88) _______( ?0.89) 3 . （1） 0.6 ______0.7 ；（2）

1 2 1 2 1 1 【例 3】实数 ( ) 3 , ( ) 3 , ( ) 3 由小到大的顺序是 2 5 2

【例 4】设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ，则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a ( )

a a 【例 5】若 0<a<1，则 log a 0.5 ，log 3 ，log 5 三者的大小关系为 a a (A)log a 0.5 >log 5 >log 3 a a (C)log a 3 >log 5 >log 0.5 a a (B)log 5 >log a 3 >log 0.5 a a (D)log a 0.5 >log 3 >log 5

7

【例 6】设 x ? 0 且 a x ? b x ? 1, a, b ? (0, ? ?) , 则 a、b 的大小关系是（ A. b ? a ? 1 B. a ? b ? 1 C.
1? b ? a

） D. 1 ? a ? b

【例 7】若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ，那么 m, n 满足的条件是（ A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

） D、 0 ? m ? n ? 1 ）

【例 8】已知 a ? 0.33 , b ? 30.3 , c ? log3 0.3, d ? log0.3 3 ，将 a, b, c, d 四数从小到大排列（ A． c ? d ? a ? b B． a ? b ? d ? c 考点十 指数函数与对数函数的关系
x

C． d ? c ? b ? a

D． b ? a ? d ? c

?1? 【例 1】 函数 y ? ? ? 的图像关于 y ? x 对称的曲线的函数解析式（ ? 3?
A、 y ? 3
x

）

B、 y ? log

x 3

?1? C、 y ? ?? ? ? 3?

x

x D、 y ? ? log3

【考点十】利用指数或对数函数的单调性的简单应用 【例 1】若函数 y ? (log1 a) x 在 R 上为增函数，则 a 的取值范围是
2

（

）

1 A． (0, ) 2

1 B． ( ,1) 2

1 C． ( ,?? ) 2

D． (1,??)

【例 2】若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= （ A. ）
2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

【例 3】 log a
? 2? A、 ? 0, ? ? 3?

2 ? 1 ，则 a 的取值范围是（ 3

）
?2 ? C、 ? ,1? ?3 ? ? 2? ?2 ? D、 ? 0, ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?

?1, ?? ?

?2 ? B、 ? , ?? ? ?3 ?
2

【例 4】解关于 x 的不等式 loga 2 x

?3 x ? 2

? loga 2 x

2

? 2 x ?3

8