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专题复习4


指数函数、对数函数和幂函数
1、指数函数的图象和性质 指数函数的定义:一般的,函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1, x ? R) 叫做指数函数。
a ?1 0 ? a ?1

图 象 定义域/值域 定义域:____________; 单调性 定点 值和 图象 的分 布 在_____是增函数 值域:_______________

__ 在_____是增函数。

过定点_____, 即 x=0 时, y=1; 过定点_____,即 x=0 时,y=1; (1)当_____时,0<y<1; 当_____时, y>1; (2)图象位于_____轴上方; 向左无限接近 x 轴; 底数 a 越 大,向上越靠近____轴。
x

(1)当_____时,0<y<1; 当_____时, y>1; ( 2)图象位于 _____ 轴上方; 向右无限接近 x 轴;底数 a 越 小,向上越靠近____轴。

?1? 指数函数 y ? a x 与 y ? ? ? 的图象关于_______对称。 ?a?
考点一: 指数函数的图象 【例 1】如图,指出函数①y=ax; ②y=bx; ③y=cx; ④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 的大小关 系是( ) y ② ③④ A a<b<1<c<d B b<a<1<d<c ① C 1<a<b<c<d D a<b<1<d<c
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【例 2】函数 y ? a x 和 y ? (a ? 1) x 2 ? 1 在同一坐标系中的图象可能是 ( )
y
y

y

y

o

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

【例 3】?方程 4 x ? 2 x?1 ? 3 ? 0 的解是 ?方程 2 x ? 2 ? ? x 2 的有_____个实数解;

1

考点二: 底数对指数函数单调性等性质的影响 【例 1】已知指数函数 f ( x) ? a 2 ? 1 : (1)若 f ( x) 在 R 上是减函数,实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 0 时, f ( x) 的值总大于 1,求实数 a 的取值范围。

?

?

x

例 2、已知定义域为 R 的函数 f ?x ? ? (1)求 a, b 的值;

? 2x ? b 是奇函数。 2 x?1 ? a

(2)解关于 t 的不等式 f t 2 ? 2t ? f 2t 2 ?1 ? 0

?

? ?

?

2

2、对数函数的图象和性质 对数函数定义 :一般地,函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 叫做对数函数。
a ?1 0 ? a ?1

图 象 定义域:___________ 定义域/值域 单调性 定点 值和 图象 的分 布 过定点_____, 即 x=1 时, y=0; 过定点______, 即 x=1 时, y=0; (1)当_____时,y<0; (1)当_____时,y<0; 当_____时, y>0; 当_____时, y>0; (2)图象位于_____轴右侧; ( 2)图象位于 _____ 轴右侧; 向下无限接近 y 轴;底数 a 向上无限接近 y 轴;底数 a 越 越大,向右越靠近____轴。 小,向右越靠近____轴。 值域:______________

对数函数 y ? loga x 与 y ? log 1 x 的图象关于_______对称。
a

3、指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? loga x 的关系 ①互为反函数:② y ? a x 的定义域是 y ? loga x 的值域, y ? a x 的值域是 y ? loga x 的定 义域;反之也成立;③图像关于直线 y=x 对称。 考点三 对数函数的图象 【例 1】下列函数图象正确的是





lg?lg y ? ? lg?3x ? ? lg?3 ? x ?
A B C D 【例 2】函数 y ? log a x , y ? log b x , y ? log c x , y ? log d x 的图象如图①, ②, ③, ④所示,则 a、b、c、d 的大小顺序是( A.1<d<c<a<b B.c<d<1<a<b C.c<d<1<b<a D.d<c<1<a<b )

y

② ① x

o ③
3



例 3、设函数 y ? f ?x ? 且 lg?lg y ? ? lg?3x ? ? lg?3 ? x ? (1)求 f ? x ?的定义域; (2)求 f ? x ?的值域; (3)讨论 f ? x ?的单调性。

例 4、已知函数 f ?x? ? a ? 2 x ? b ? 3x ,其中常数 a, b 满足 ab ? 0 (1)若 ab ? 0 ,判断函数 f ? x ?的单调性; (2)若 ab ? 0 ,求 f ?x ? 1? ? f ?x ?时 x 的范围。

4

4、幂函数的图象和性质(第一象限) 幂函数定义:一般的,形如 y ? x? ?? ? R? 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 通常我们 只研究幂函数在第一象限的图象和性质,其它象限利用奇偶性研究. 幂函数在第一象限的图象和性质: ? ?0 ? ?0 图 象

单调性 定点 过定点_____和__________
0 ?? ?1 ? ?1 当 0 ? x ? 1时, 当 0 ? x ? 1 时,图象在 图象在 y ? x 的 y ? x 的下 上方;当 x ? 1 时,图象在 方;当 x ? 1 时,图象在 y ? x 的下方; y ? x 的上

过定点______

图象 的分 布

在第一象限内,当 x 从右边趋向于 原点时,图像在 y 轴右方无限的逼 近 y 轴,当 x 趋于 ? ? 时,图像在

x 轴上方无限的逼近 x 轴。

方; 考点四 幂函数的定义

【例 1】已知函数 f ( x) ? (m 2 ? m ? 1) x ?5m ? 3 ,当 m 为何值时, f ( x) 是: (1)幂函数? (2)在 (0,??) 上单调递减的幂函数?

考点五

幂函数的图象
2、

【例 2】 如图 2—15 的曲线是指数函数 y ? a x (a ? 0, a ? 1) 的图象, 已知 a 的值取
4 3

、 3 、 1 ,则相应于曲线 C1、C2、C3、C4 的 a 值依次为(
10

5

)

4 1 3 A. , 2 , , 3 5 10 3 1 4 C. , , 2 , 5 3 1

B. 2 ,

4 1 3 , , 3 10 5 4 3 1 D. , , , 2 5 3 10
5

【例 3】下面六个幂函数的图象如图所示,试建立函数与图象之间的对应关系.
1 2 3 1 ? ?2 ?3 3 3 2 ( 1)y ? x ;(2)y ? x ;(3)y ? x ; (4)y ? x ;(5)y ? x ;(6)y ? x 2 .

(A) 考点六

(B)

(C)

(D)

(E)

(F)

幂函数的性质

2 【例 1】已知幂函数 f ( x) ? x m ? 2m ? 3 (m ? Z ) 在 (0,??) 是减函数,

求 f ( x) 的解析式并讨论单调性和奇偶性。

1 ? ? 【例 2】设 a ? ??1,1, ,3? ,则使函数 y ? x? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 值为( 2 ? ?



(A) 1,3 (B) ?1,1 (C) ?1,3

(D) ?1,1,3

考点七 与指数、对数、幂函数定义域相关的问题 【例 1】求下列函数的定义域:
?1? (1) y ? ? ? ?3?
1? x 2

(2) f ( x) ? log a

1? x , (a ? 0, a ? 1) 1? x

6

(3) y ? log(2 x?1) (3x ? 2)

(4) y ? log 1 (2 ? x 2 )
2

1 (5) y ? lg( x ? 1)

3 2 ?4 (6) y ? 3 ? 2 x ? x

?

?

考点八

与指数、对数、幂函数值域相关的问题

【例 1】 (1)函数 y=log2x 的定义域是[1,64 ) ,则值域是________ (2) 当 x ? ?? 1,1? 时, y ? 3 x ? 2 的值域是_________ (3) 函数 y ? 1 ? log2 x( x ? 4) 的值域是_______
1 (4)函数 y ? x ?2 在区间 [ , 2] 上的值域是______ 2 考点八 利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性或图象比较大小

【例 1】若 0 ? x ? y ? 1 ,则( A. 3 y ? 3x B. log x 3 ? log y 3

) C. log4 x ? log4 y
1 1 D. ( ) x ? ( ) y 4 4

【例 2】比较下列各组中两个值大小
5 5 6 6 3 11 11 (?0.88) _______( ?0.89) 3 . (1) 0.6 ______0.7 ;(2)

1 2 1 2 1 1 【例 3】实数 ( ) 3 , ( ) 3 , ( ) 3 由小到大的顺序是 2 5 2

【例 4】设 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. b ? c ? a ( )

a a 【例 5】若 0<a<1,则 log a 0.5 ,log 3 ,log 5 三者的大小关系为 a a (A)log a 0.5 >log 5 >log 3 a a (C)log a 3 >log 5 >log 0.5 a a (B)log 5 >log a 3 >log 0.5 a a (D)log a 0.5 >log 3 >log 5

7

【例 6】设 x ? 0 且 a x ? b x ? 1, a, b ? (0, ? ?) , 则 a、b 的大小关系是( A. b ? a ? 1 B. a ? b ? 1 C.
1? b ? a

) D. 1 ? a ? b

【例 7】若 logm 9 ? logn 9 ? 0 ,那么 m, n 满足的条件是( A、 m ? n ? 1 B、 n ? m ? 1 C、 0 ? n ? m ? 1

) D、 0 ? m ? n ? 1 )

【例 8】已知 a ? 0.33 , b ? 30.3 , c ? log3 0.3, d ? log0.3 3 ,将 a, b, c, d 四数从小到大排列( A. c ? d ? a ? b B. a ? b ? d ? c 考点十 指数函数与对数函数的关系
x

C. d ? c ? b ? a

D. b ? a ? d ? c

?1? 【例 1】 函数 y ? ? ? 的图像关于 y ? x 对称的曲线的函数解析式( ? 3?
A、 y ? 3
x



B、 y ? log

x 3

?1? C、 y ? ?? ? ? 3?

x

x D、 y ? ? log3

【考点十】利用指数或对数函数的单调性的简单应用 【例 1】若函数 y ? (log1 a) x 在 R 上为增函数,则 a 的取值范围是
2





1 A. (0, ) 2

1 B. ( ,1) 2

1 C. ( ,?? ) 2

D. (1,??)

【例 2】若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= ( A. )
2 4

B.

2 2

C.

1 4

D.

1 2

【例 3】 log a
? 2? A、 ? 0, ? ? 3?

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3


?2 ? C、 ? ,1? ?3 ? ? 2? ?2 ? D、 ? 0, ? ? , ?? ? ? 3? ?3 ?

?1, ?? ?

?2 ? B、 ? , ?? ? ?3 ?
2

【例 4】解关于 x 的不等式 loga 2 x

?3 x ? 2

? loga 2 x

2

? 2 x ?3

8


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