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一元三次方程求根公式


一元三次方程求根公式
三次方程新解法——盛金公式解题法 三次方程应用广泛。用根号解一元三次方程,虽然有著名的卡尔丹公 式,并有相应的判别法,但使用卡尔丹公式解题比较复杂,缺乏直观性。 范盛金推导出一套直接用 a、b、c、d 表达的较简明形式的一元三次方程的 一般式新求根公式,并建立了新判别法。 盛金公式(Shengjin's Formulas) 一元三次方程 a

X^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且 a≠0)。 重根判别式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd, 总判别式:Δ =B^2-4AC。 当 A=B=0 时,盛金公式①: X1=X2=X3=-b/(3a)=-c/b=-3d/c。 当 Δ =B^2-4AC>0 时,盛金公式②: X1=(-b-(Y1)^(1/3)-(Y2)^(1/3))/(3a); X2,X3=(-2b+(Y1)^(1/3)+(Y2)^(1/3))/(6a)±3^(1/2)((Y1)^(1/3) -(Y2)^(1/3))i/(6a), 其中 Y1,Y2=Ab+3a(-B±(B^2-4AC)^(1/2))/2,i^2=-1。 当 Δ =B^2-4AC=0 时,盛金公式③: X1=-b/a+K;X2=X3=-K/2, 其中 K=B/A,(A≠0)。 当 Δ =B^2-4AC<0 时,盛金公式④: X1=(-b-2A^(1/2)cos(θ /3))/(3a); X2,X3=(-b+A^(1/2)(cos(θ /3)±3^(1/2)sin(θ /3)))/(3a), 其中 θ =arccosT,T= (2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。

盛金判别法
盛金判别法(Shengjin's Distinguishing Means) ① 当 A=B=0 时,方程有一个三重实根; ② 当 Δ =B^2-4AC>0 时,方程有一个实根和一对共轭虚根; ③ 当 Δ =B^2-4AC=0 时,方程有三个实根,其中有一个两重根; ④当 Δ =B^2-4AC<0 时,方程有三个不相等的实根。


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