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北京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练:集合与逻辑


北京大学附中 2014 届高三数学一轮复习单元训练:集合与逻辑 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 项是符合题目要求的) 1.下列集合中,不是方程 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 的解集的集合是( .. A. ) 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

??1, 2?

B.

?2, ?1?

C.

?x

( x ? 1)( x ? 2) ? 0

?

D.

?? ?1, 2??

【答案】D 2.命题

p : x ? 2 ? 2, 命题 q :

1 ? 1 ,则 ? q 是 ? p 成立的( 3? x
B.必要不充分条件

)

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B 3. “非空集合 M 不是 P 的子集”的充要条件是( A. ?x ? M , x ? P

D.既不充分也不必要条件 ) B. ?x ? P, x ? M

C. ?x1 ? M , x1 ? P 又 ?x2 ? M , x2 ? P D. ?x0 ? M , x0 ? P 【答案】D 4.若非空集合 S ? {1,2,3,4,5},且若 a∈S,则必有 6-a∈S,则所有满足上述条件的集合 S 共有( A.6 个 【答案】B 5.命题“存在 x ? R , 使x A.充要条件 C.充分不必要条件 【答案】A 6.设 f ?x ? ?
2

) B.7 个 C.8 个 D.9 个

? ax ? 4a ? 0 ,为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的(
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

1 1? x
2

和g ?x ? ? log 1 2 ? x ? 6 x 2 的定义域分别是 和N,则 M ? C R N =( M
2

?

?

)

A. ??

? 1 2? ,? ? 2 3?
D. ? ? 1 ? ,

B. (-1,1)

C. ? ? 【答案】D

? 1 2? ,? ? 2 3?

? ?

1? ?2 ? ? , 1? 2? ?3 ? ? ?

7.已知 c ? 0 ,设 p : 函数 y ? c x 在 R 上单调递减; q : 函数 g ( x) ? lg(2cx2 ? 2 x ? 1) 的值域为 R, 如果“ p 且 q ”为假命题, p 或 q 为真命题,则 c 的取值范围是( “ )

?1 ? A. ? ,1 ? ?2 ?

?1 ? B. ? , ?? ? ?2 ?

? 1? C. ? 0, ? ? ?1, ?? ? ? 2?

D. (??, ??)

【答案】C 8.若集合 M ? {a, b, c} 中元素是△ABC 的三边长,则△ABC 一定不是( A.锐角三角形 【答案】A B.直角三角形 C.钝角三角形 )

D.等腰三角形

9.含有三个实数的集合可表示为 {a, ( ) A.0 【答案】C 10.下列语句中命题的个数是( ) B. ?1

b ,1} ,也可表示为 {a2 , a ? b,0} ,则 a 2011 ? b 2011 的值为 a
C. ?1 D.1

① 地球是太阳系的一颗行星; ② 老年人组成一个集合; A.1 B.2 C.3 【答案】D 11.下列说法错误的是( A. n ? ? “i s ) D.4

③ ?0? ? N ;

这是一颗大树; ④ x ? a ; 1?1 ? 2 ⑥ ⑤

1 ”是“ ? ? 30? ”的充分不必要条件 2

B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是: “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” C.若命题 p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R , x 2 ? x ? 1 ? 0 D.如果命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是命真题,那么命题 q 一定是真命题 【答案】A

1 (1 ? i)2 N ? {i,i 2 , , } E ,G i i 12.巳知全集 1 1 , i 是虚数单位,集合 M ? Z (整数集)和 的关系韦恩图
如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有( )

A.3 个 【答案】B

B.2 个

C.1 个 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) .

D.无穷个

二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.命题 ?x ? R,x 2 ? x ? 3 ? 0” 的否定是 “ 【答案】 ?x0

? R, x0 ? x0 ? 3 ? 0
2
2 2

14.下列命题中_________为真命题. ①“A∩B=A”成立的必要条件是“A B” w ②“若 x +y =0,则 x,y 全为 0”的否命题; ; ③“全等三角形是相似三角形”的逆命题; 【答案】②④ ④“圆内接四边形对角互补”的逆否命题.

15. 已知集合 A ? {( x, y) |

x 2 ? y 2 ? 1} ,集合 B ? {( x, y) | x ? y ? a ? 0} ,若 A ? B ? ? 的


概率为 1,则 a 的取值范围是 【答案】 [?

2, 2 ]
?2

16.方程 1 ? x 【答案】 ?

? 0 的全体实数解组成的集合为________.

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.已知命题 p:“ 对 意 任 命题 q:“ 存 x ? R, x 在 围. 【答案】 a a ? ?2或a ? 1
2

, x ? ?1,2?, x 2 ? a ? 0 ”

? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范

?

?
?1 ? a ? 0
2 ?4a ? 4?2 ? a ? ? 0

提示: 由命题“p 且 q”是真命题可知命题 p 与命题 q 都成立.则有 ? 得 a a ? ?2或a ? 1

,可解

?

?
2

18.已知集合 A={x| x -3x-11≤0},B={x| m+1≤x≤2m-1},若 A ? B 且 B≠ ? ,求实数 m ? 的取值范围。 2 【答案】A={x| x -3x-11≤0}={x| -2≤x≤5}, 如图:

? m ? 1 ? ?2 ? 若 A ? B 且 B≠ ? , 则 ? 2m ? 1 ? 5 , ? ?m ? 1 ? 2 m ? 1 ?
解得 2≤m≤3 ∴ 实数 m 的取值范围是 m∈2, 3 .
2 19.设全集 U ? R ,集合 A ? {x | 6 ? x ? x ? 0} ,集合

B ? {x |

2x ?1 ? 1} x?3

(Ⅰ)求集合 A 与 B ; 【答案】(Ⅰ)

(Ⅱ)求 A ? B 、

(CU A) ? B.

?6 ? x ? x2 ? 0,? x2 ? x ? 6 ? 0 ,

? A ? {x | ?3 ? x ? 2} 不等式的解为 ?3 ? x ? 2 ,

?

2x ?1 2x ?1 x?4 ? 1,? ? 1 ? 0,即 ? 0,? x ? ?3或x ? 4 x?3 x?3 x?3 ,

? B ? {x | x ? ?3或x ? 4} B ? {x | x ? ?3或x ? 4} , (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 A ? {x | ?3 ? x ? 2} ,
? A? B ? ?

?CU A ? {x | x ? ?3或x ? 2} ,?(CU A) ? B ? {x | x ? ?3或x ? 2}.
20. 已知命题

p ?? 4 ? x ?? 6 ,q : x2 ? 2x ? 1 ? a2 ? 0? (a ? 0) ,若 ? p 是 q 的充分不必要条件,

求 a 的取值范围。 【答案】 ?p ?? 4 ? x ?? 6? 解得x ? 10或x ? ?2? 记 A={x|x>10 或 x<-2},q: x
2

? 2 x ? 1 ? a2 ? 0? 解得 x ? 1 ? a 或 x ? 1-a,

记 B={x| x ? 1+a 或 x ? 1 ? a }. 而 p ? q? q ? ?p? /

?

?1 ? a ? ?2? ? ∴A ? B,即 ?1 ? a ? 10? ? ? a ? 0? ?
∴0 ? a ? 3. 21.设 P 是一个数集,且至少含有三个数,若对任意 a , b∈P(a≠b)都有 a + b , a - b 、 ab 、

a ? P (除数 b ? 0 ) ,则称 P 是一个数域. b
例如:有理数集 Q 是数域,实数集 R 也是数域. (1)求证:整数集 Z 不是数域; (2)求证:数域必含有 0 ,1 两个数; (3)若有理数集 Q ? M ,那么数集 M 是否一定为数域?说明理由. 【答案】 (1)若整数集 Z 是数域, 则由 1∈Z,2∈Z,得 与

1 ∈Z, 2

1 ? Z 矛盾. 2

故整数集 Z 是数域不可能,即整数集 Z 不是数域 (2)设 P 是一个数域,a , b∈P,a ≠ b, ab ≠ 0 则 ( a ? b) ? P , 所以

a?b a ?P, ?P b b

a?b a ? ? 1? P b b a a?b ? ?1 ? P 同理可得, ? b b

所以-1+1=0∈P

故数域必含有 0 , 1 两个数 (3)数集 M 不一定为数域. 例如:①若 M = R ,则 Q ? M ,且 M 是数域; ②若 M ? {x | x ? Q ,或 x ? 假设 M 是数域,则由-1∈M, 所以 ?

2 }则 Q ? M ,但 M 不是数域;

2 ∈M, 得 ? 1? 2 ? ? 2 ? M

2 ? Q 与 ? 2 ? Q 矛盾!
综上所述:数集 M 不一定为数域.

22.已知命题 p: ?x ? [1,2], x 2 ? a ? 0 ” “ ,命题 q: ?x 0 ? R, x 0 2 ? 2ax0 ? 2 ? a ? 0 ” “ ,若“p ? q” 为真命题,求实数 a 的取值范围。 2 【答案】若 p 是真命题,则 a≤x ,∵x∈1,2,∴a≤1;若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2-a=0 有实根,∴⊿=4a -4(2-a)≥-0,即 a≥1 或 a≤-2。 由题意,p 真 q 也真, ∴a≤-2,或 a=1。
2 2


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