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2016-2017学年高中数学苏教版必修4学业分层测评 2.3.2.1 平面向量的坐标运算 Word版含解析


学业分层测评(十九)

平面向量的坐标运算

(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、填空题 → 1. 若点 P 的坐标为(2 016,2), 向量PQ=(1, -3), 则点 Q 的坐标为________. 【解析】 → → → ∵PQ=OQ-OP,

→ → → ∴OQ=OP+PQ =(2 016,2)+(1,-3) =(2 017,-1). 【答案】 (2 017,-1)

→ → → 2.(2016· 如东高一检测)若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=________. 【解析】 → → =BA-CA =(2,3)-(4,7) =(-2,-4). 【答案】 (-2,-4) → → → BC=BA+AC

→ 3.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为________. 【解析】 设 B 点坐标为(x,y),

→ 则AB=(x+1,y-5), → ∵AB=3a, ∴(x+1,y-5)=3(2,3)=(6,9), ?x+1=6, ?x=5, ∴? ∴? ?y-5=9, ?y=14. 【答案】 (5,14)

→ 4.若向量 a=(x+3,y-4)与AB相等,已知 A(1,2)和 B(3,2),则 x,y 的值分

别为________. 【解析】 → ∵AB=(3,2)-(1,2)=(2,0)=(x+3,y-4),

?x+3=2, ?x=-1, ∴? 解得? ?y-4=0, ?y=4. 【答案】 -1,4

5.已知 a+b=(1,3),a-b=(5,7),则 a=________,b=________. 【解析】 由 a+b=(1,3),a-b=(5,7),

∴2a=(1,3)+(5,7)=(6,10),∴a=(3,5), 2b=(1,3)-(5,7)=(-4,-4),∴b=(-2,-2). 【答案】 (3,5) (-2,-2)

→ → 6.已知 O 是坐标原点,点 A 在第二象限,|OA|=2,∠xOA=150° ,则向量OA 的坐标为________.

图 2316 【解析】 过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,作 AC⊥y 轴于点 C,设 A(x,y),则 → → x=|OA|cos 150° =- 3,y=|OA|sin 150° =1.

→ 所以OA的坐标为(- 3,1). 【答案】 (- 3,1)

→ 1→ 7.已知 M(3,-2),N(-5,-1),且MP=2MN,则 P 点的坐标为________. 【导学号:06460056】 【解析】 设 P(x,y),则

→ MP=(x-3,y+2),

1? 1→ 1 ? ?-4,2?, 2MN=2(-8,1)=? ? x-3=-4, ? ? ∴? 1 y+2=2, ? ? x=-1, ? ? ∴? 3 y=-2, ? ? 3? ? ∴P 点的坐标为?-1,-2?. ? ? 【答案】 3? ? ?-1,-2? ? ?

8.已知边长为单位长的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB,AD → → → 分别落在 x 轴,y 轴的正向上,则向量 2AB+3BC+AC的坐标为________. 【解析】 → → ∵AB=(1,0),BC=(0,1),

→ → → AC=AB+BC=(1,1), → → → ∴2AB+3BC+AC =2(1,0)+3(0,1)+(1,1)=(3,4). 【答案】 二、解答题 → 9.(1)已知向量 a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中 A(1,2),B(3,2),求 x 的值; → → (2)已知点 P1(2,-1),P2(0,5),点 P 在线段 P1P2 上且|P1P|=2|PP2|,求 P 点 的坐标. 【解】 → → ?x+3=2, (1)∵AB=(2,0),又∵a=AB,∴? 2 ∴x=-1. ?x -3x-4=0, (3,4)

→ (2)设 P(x,y),则P1P=(x-2,y+1), → PP2=(-x,5-y),

→ → ∵点 P 在线段 P1P2 上且|P1P|=2|PP2|, → → ∴P1P=2PP2, 2 ? ?x= , ?x-2=-2x, ∴? ∴? 3 ?y+1=2?5-y?, ? ?y=3, ?2 ? ∴P?3,3?. ? ? 10.已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M,N 是 AB,AC 的中点,D → 是 BC 的中点,MN 与 AD 交于点 F,求DF. 【解】 因为 A(7,8),B(3,5),C(4,3),

→ → 所以AB=(-4,-3),AC=(-3,-5). → 1 → → ? 7 ? 又因为 D 是 BC 的中点,有AD=2(AB+AC)=?-2,-4?,而 M,N 分别为 ? ? AB,AC 的中点,所以 F 为 AD 的中点, → 1→ 1 → ?7 ? 故有DF=2DA=-2AD=?4,2?. ? ? [能力提升] → 1. (2016· 南通高一检测)在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB= → → (2,4),AC=(1,3),则BD=________. 【解析】 由向量的平行四边形法则可知

→ → → AC=AB+AD, → → → ∴AD=AC-AB =(1,3)-(2,4) =(-1,-1), → → → ∴BD=AD-AB =(-1,-1)-(2,4) =(-3,-5). 【答案】 (-3,-5)

→ 2.(2016· 苏州高一检测)已知 P1(5,-1),P2(-3,1),点 P(x,2)分P1P2所成的 比为 λ,则 x 的值为________. 【解析】 ∴2= ∵y= y1+λy2 , 1+λ

-1+λ , 1+λ

解得 λ=-3. 所以 x= =-7. 【答案】 -7 x1+λx2 5+?-3?×?-3? 14 = =- 2 1+λ 1+?-3?

3.已知向量集合 M={a|a=(1,2)+λ(3,4),λ∈R},N={a|a=(-2,-2)+ λ(4,5),λ∈R},则 M∩N 等于________. 【解析】 令(1,2)+λ1(3,4)

=(-2,-2)+λ2(4,5), 即(1+3λ1,2+4λ1) =(-2+4λ2,-2+5λ2), ?1+3λ1=-2+4λ2, ∴? ?2+4λ1=-2+5λ2, ?λ1=-1, 解得? ?λ2=0, 故 M 与 N 只有一个公共元素是(-2,-2). 【答案】 {(-2,-2)}

4.向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图 237 所示,若 c=λa+μb(λ,μ λ ∈R),求μ的值.

图 237

【解】 以向量 a 和 b 的交点为原点建直角坐标系, 则 a=(-1,1), b=(6,2), c=(-1,-3),根据 c=λa+μb?(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2)有-λ+6μ=-1, 1 λ λ+2μ=-3,解之得 λ=-2 且 μ=-2,故μ=4.


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