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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高二数学上学期期中试卷


辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高二数学上学期期中试卷
第Ⅰ卷 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ≥0 C. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ≥0
2 2



B. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 D. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 )

2. “ a ? 0, b ? 0 ”是“方程 ax ? by ? 1 表示椭圆”的 ( A.充分不必要条件 C.充要条件 3.若 a B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

? b, c ? d ? 0 ,则下列不等式成立的是(

A. ac

? bd ?b?c

B.

a b ? c d

C. a ? d

D. a ? d

?b?c


4.在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2 , 2an ?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 的值为( A. 52 B. 51 C. 50
2

D. 49
2

5. S ? 1 ? ?1 ? 2 ? ? 1 ? 2 ? 2 A. 2 ? 11
11

?

? ? ? ? ?1 ? 2 ? 2

? ? ? 210 的值是(
D. 2
13

?



B. 211 ? 13

C. 212 ? 13

? 11

?x ? 2 y ? 0 ? 6.设 z ? x ? y ,其中 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为( ?0 ? y ? k ?
A. ?5 B. ?4 C.



?3

D. ?2 ( )

7.下列说法中正确的是 A.平面内与两个定点的距离和等于正的常数的点的轨迹叫做椭圆 B. 不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) 的充要条件是 : a ? b

C. “若 a 2 ? b 2 ? 0 ,则 a, b 全为 0”的逆否命题是“若 a, b 全不为 0,则 a 2 ? b 2 ? 0 ” D. 一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真

-1-

8.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 则椭圆的标准方程是( A. )

1 2 2 ,它的长轴长等于圆 x ? y ? 2 x ? 15 ? 0 的半径, 2

x2 y2 ? ?1 16 12

B.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 4 3 16 4

D.

x2 ? y2 ? 1 4
) D.21

9.已知等比数列的公比为 2,若前 4 项之和等于 1,则前 8 项之和等于( A.15 B.17 C. 19

10. 等差数列 ?a n ? 的公差 d

?0, 且 a12 ? a2014 2 , 若数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 最大, Sm ? 0 则
C. 1005
2

m ? n 的值为( ) A. 1007 B. 1006

D. 1004

11.已知 a, b, c 为互不相等的正数,且 a A. a

? c 2 ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是(
C.



?b?c

B. b ? c ? a

a?c?b

D. b ? a

?c

12.已知函数

f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3), g ( x) ? 2 x ? 2 , 若对一切实数 x, f ( x ) 与 g ( x)
) C.

至少有一个为负数,则实数 m 的取值范围( A.

(?4, ?1)

B. ( ?4, 0)

1 (0, ) 2

D. ( ?4,

1 ) 2

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则 log 2 a1 ? log 2 a2 ? log 2 a3

? log 2 a4 ? log 2 a5 ?
0

. .

14.若△ABC 中, C ? 30 , a ? b ? 1 ,则△ABC 面积 S 的最大值是 15.若实数 x, y 满足 ?

? y ?x ? y ? 2 ,则 的取值范围是 x ? ? x ? y ?1

.

16.已知 p : a ? 4 ? x ? a ? 4; q : ( x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ? p 是 ? q 的充分不必要条件,则实 数 a 的取值范围为 .

-2-

三、解答题:解答应写文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本题满分 10 分) (1)已知 x ?

1 5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 的最大值; 4 4x ? 5
1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值. x y

(2)已知 x ? 0, y ? 0 ,且

18. (本题满分 12 分) 设 命 题 p : “ 对 任 意 的 x ? R, x ? 2 x ? a ” , 命 题 q :
2

“ 存 在 x?R , 使

x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ”.如果命题 p ? q 为真,命题 p ? q 为假,求实数 a 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? an ? 1 (n ? N ) .
?

1 3

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? log 4 (1 ? Sn ?1 ) (n ? N ) , Tn ? 正整数 n 的值.
?

1007 1 1 1 ,求使 Tn ? 成立的最小的 ? ? ?? ? 2016 b1b2 b2b3 bnbn ?1

20. (本题满分 12 分)已知 a ? 1 ,解关于 x 的不等式

ax ? 1. x?2

-3-

21. (本题满分 12 分) 已知函数

f ( x) ? mx 2 ? mx ? 1
1 x 的一个根, an ? 2

(1)若 2 是方程 f ( x) ?

f ( n) ?

5 (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 的前 n 项和 4

Sn
(2)若对于 x ? [1,3],

f ( x) ? 5 ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

22. (本题满分 12 分) 设二次函数 足0 ?

f ( x) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? x ? 0 的解集为 ( x1 , x2 ) 其中 x1 , x2 满
1 a

x1 ? x2 ?

(1)当 x ? ( x1 , x2 ) 时,求证 x1 (2)设函数

? f ( x) ? x
x1 2

f ( x) 的图像关于直线 x ? x0 对称,求证: x0 ?

-4-

高二数学期中试题参考答案 温馨提示: 第 17 题 满分 10 分! ! ! 选择题:

填空题:

1 8.【答案】 (?2, ?1) ? [1, ??) . 【解析】由题意:对于命题 p : ∵对任意的 x ? R , x ? 2 x ? a
2

∴ ?1 ? 4 ? 4a ? 0 ,即 p: a ? ?1 ; 对于命题 q : ∵存在 x ? R ,使 x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ∴ ? 2 ? 4a ? 4(2 ? a ) ? 0 ,即 q: a ? 1或a ? ?2 .
2

2分

4分

∵ p ? q 为真, p ? q 为假 ∴ p, q 一真一假, p 真 q 假时 ? 2 ? a ? ?1 , p 假 q 真时 a ? 1 , ∴a 的范围是 (?2, ?1) ? [1, ??) .

6分 8分 10 分 12 分

19.解析: (1) 当 n ? 1 时, a1 ? s1 ,由,

1 3 S1 ? a1 ? 1 ? a1 ? 3 4
-5-

1 ? S n ? an ? 1 ? 1 ? 3 当 n ? 2 时, ? ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? 0 3 ?S ? 1 a ? 1 n ?1 n ?1 ? 3 ?
1 3 1 ∴ ?an ? 是以 为首项, 为公比的等比数列. an ?1 4 4 4 3 1 1 ? 故 an ? ( ) n ?1 ? 3( ) n (n ? N ) 6分 4 4 4 1 1 (2)由(1)知 1 ? S n ?1 ? an ?1 ? ( ) n ?1 , 3 4 1 n ?1 bn ? log 4 (1 ? S n ?1 ) ? log 4 ( ) ? ?( n ? 1) 4 ? an ?

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2

9分

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )? ? b1b2 b2b3 bnbn ?1 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n?2
1 1 1007 ? ? ? n ? 2014 , 2 n ? 2 2016 1007 故使 Tn ? 成立的最小的正整数 n 的值 n ? 2015 . 2016

1

12 分

21.【答案】 (1)

n2 6? ? (2) m 的取值范围 ? ? ?, ? 2 7? ?

1 1 n( ? n ? ) 2 1 2 ?n 解析(1)由题意可得 m=1, an ? n ? ,? S n ? 2 2 2 2
(2)∵f(x)<-m+5?m(x -x+1)
2

6分

<6,∵x -x+1>0,∴m<

2

6 对于 x∈[1,3] x ? x ?1
2

-6-

恒成立, 记 g(x)=
2

6 ,x∈[1,3], x ? x ?1
2

记 h(x)=x -x+1,h(x)在 x∈ [1,3]上为增函数.则 g(x)在[1,3]上为减函数, ∴[g(x)]min=g(3)=

6 , 7

∴m<

6 . 7

所以 m 的取值范围为 ? - ?, ? .

? ?

6? 7?

12分

-7-


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