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【2014-2015学年高中数学(人教A版,必修二)第2章 2.3.3 课时作业


2.3.3

直线与平面垂直的性质

【课时目标】 1.理解直线和平面垂直的性质定理,并能用文字、符号和图形语言描述 定理.2.能够灵活地应用线面垂直的性质定理证明相关问题.3.理解并掌握“平行”与“垂 直”之间的相互转化.

直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________ ? a⊥α?

??________ 符号语言 ? b⊥α? 图形语言 ①线面垂直?线线平行 ②作平行线

作用

一、选择题 1.下列说法正确的是( ) A.若 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α B.若直线 l 与平面 α 垂直,则 l 与 α 内的任一直线垂直 C.若 E、F 分别为△ABC 中 AB、BC 边上的中点,则 EF 与经过 AC 边的所有平面平行 D.两条垂直的直线中有一条和一个平面平行,则另一条和这个平面垂直 2.若 M、n 表示直线,α 表示平面,则下列命题中,正确命题的个数为( ) ? ? m∥n? m⊥α? ??n⊥α; ??M∥n; ① ② ? ? m⊥α? n⊥ α ? m⊥α? m∥α? ? ? ??M⊥n; ??n⊥α. ④ ? ? n∥α ? m⊥n? A.1 B.2 C.3 D.4 3.已知直线 PG⊥平面 α 于 G,直线 EF?α,且 PF⊥EF 于 F,那么线段 PE,PF,PG 的大小关系是( ) A.PE>PG>PF B.PG>PF>PE C.PE>PF>PG D.PF>PE>PG 4.PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系不 正确的是( ) ③

A.PA⊥BC B.BC⊥平面 PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 5.下列命题: ①垂直于同一直线的两条直线平行; ②垂直于同一直线的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两条直线平行;

④垂直于同一平面的两平面平行. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.在△ABC 所在的平面 α 外有一点 P,且 PA=PB=PC,则 P 在 α 内的射影是△ABC 的 ( ) A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心 二、填空题 7.线段 AB 在平面 α 的同侧,A、B 到 α 的距离分别为 3 和 5,则 AB 的中点到 α 的距离 为________. 8.直线 a 和 b 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的两个不同平面内,使 a∥b 成立的条件是 ________.(只填序号) ①a 和 b 垂直于正方体的同一个面;②a 和 b 在正方体两个相对的面内,且共面;③a 和 b 平行于同一条棱;④a 和 b 在正方体的两个面内,且与正方体的同一条棱垂直. 9.如图所示,平面 ABC⊥平面 ABD,∠ACB=90° ,CA=CB,△ABD 是正三角形,O 为 AB 中点,则图中直角三角形的个数为________.

三、解答题 10.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 是 AB 上一点,N 是 A1C 的中点,MN ⊥平面 A1DC. 求证:(1)MN∥AD1; (2)M 是 AB 的中点.

11.如图所示,设三角形 ABC 的三个顶点在平面 α 的同侧,AA′⊥α 于 A′,BB′⊥α 于 B′,CC′⊥α 于 C′,G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心,求证:GG′⊥α.

能力提升 12.如图,△ABC 为正三角形,EC⊥平面 ABC,DB⊥平面 ABC,CE=CA=2BD,M 是 EA 的中点,N 是 EC 的中点, 求证:平面 DMN∥平面 ABC.

13.如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥BC,AC=BC=CC1,M,N 分别是 A1B,B1C1 的中点. (1)求证:MN⊥平面 A1BC; (2)求直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角的大小.

1.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理,可以并入平行推导链 中,实现平行与垂直的相互转化,即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行. 2.“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一直线的两个平面互相平行” 都是真命题.但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面的两个平面互 相平行”都是假命题.

2. 3. 3

直线与平面垂直的性质

答案

知识梳理 平行 a∥b 作业设计 1.B [由线面垂直的定义知 B 正确.]

2.C [①②③正确,④中 n 与面 α 可能有:n?α 或 n∥α 或相交(包括 n⊥α).] 3.C [由于 PG⊥平面 α 于 G,PF⊥EF, ∴PG 最短,PF<PE, ∴有 PG<PF<PE.故选 C.] 4.C [PA⊥平面 ABC,得 PA⊥BC,A 正确; 又 BC⊥AC,∴BC⊥面 PAC,∴BC⊥PC,B、D 均正确. ∴选 C.] 5.B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确,选 B.] 6.C [设 P 在平面 α 内的射影为 O,易证△PAO≌△PBO≌△PCO?AO=BO=CO.] 7.4 解析 由直线与平面垂直的性质定理知 AB 中点到 α 距离为以 3 和 5 为上、 下底的直角梯 形的中位线的长. 8.①②③ 解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用,②为面面平行的性质,③为公理 4 的应 用. 9.6 解析 由题意知 CO⊥AB, ∴CO⊥面 ABD,∴CO⊥OD, ∴直角三角形为△CAO,△COB,△ACB,△AOD,△BOD,△COD. 10.证明 (1)∵ADD1A1 为正方形, ∴AD1⊥A1D. 又∵CD⊥平面 ADD1A1,∴CD⊥AD1. ∵A1D∩CD=D,∴AD1⊥平面 A1DC. 又∵MN⊥平面 A1DC, ∴MN∥AD1.

(2)连接 ON,在△A1DC 中, A1O=OD,A1N=NC. 1 1 ∴ON 綊 CD 綊 AB, 2 2 ∴ON∥AM. 又∵MN∥OA, ∴四边形 AMNO 为平行四边形,∴ON=AM. 1 1 ∵ON= AB,∴AM= AB,∴M 是 AB 的中点. 2 2 11.证明

连接 AG 并延长交 BC 于 D,连接 A′G′并延长交 B′C′于 D′,连接 DD′,由 AA′⊥α,BB′⊥α,CC′⊥α,得 AA′∥BB′∥CC′. ∵D、D′分别为 BC 和 B′C′的中点, ∴DD′∥CC′∥BB′,∴DD′∥AA′, ∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心,

AG A′G′ = ,∴GG′∥AA′, GD G′D′ 又∵AA′⊥α,∴GG′⊥α. 12.证明 ∵M、N 分别是 EA 与 EC 的中点,∴MN∥AC, 又∵AC?平面 ABC,MN?平面 ABC, ∴MN∥平面 ABC, ∵DB⊥平面 ABC,EC⊥平面 ABC, ∴BD∥EC,四边形 BDEC 为直角梯形, ∵N 为 EC 中点,EC=2BD, ∴ ∴NC 綊 BD,∴四边形 BCND 为矩形, ∴DN∥BC, 又∵DN?平面 ABC,BC?平面 ABC, ∴DN∥平面 ABC, 又∵MN∩DN=N, ∴平面 DMN∥平面 ABC. 13.

(1)证明 如图所示,由已知 BC⊥AC,BC⊥CC1,得 BC⊥平面 ACC1A1. 连接 AC1,则 BC⊥AC1. 由已知,可知侧面 ACC1A1 是正方形,所以 A1C⊥AC1. 又 BC∩A1C=C, 所以 AC1⊥平面 A1BC. 因为侧面 ABB1A1 是正方形,M 是 A1B 的中点,连接 AB1,则点 M 是 AB1 的中点. 又点 N 是 B1C1 的中点, 则 MN 是△AB1C1 的中位线, 所以 MN∥AC1. 故 MN⊥平面 A1BC. (2)解 如图所示,因为 AC1⊥平面 A1BC,设 AC1 与 A1C 相交于点 D, 连接 BD,则∠C1BD 为直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角. 2 设 AC=BC=CC1=a,则 C1D= a,BC1= 2a. 2 C1D 1 在 Rt△BDC1 中,sin ∠C1BD= = , BC1 2 所以∠C1BD=30° , 故直线 BC1 和平面 A1BC 所成的角为 30° .


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