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高一数学必修一所有知识点总结[1]


高一数学必修一所有知识点大总结

第一章 集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每 一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性; 2.元素的互异性;

3.元素的无序性

>
说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个 对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的 对象归入一个集合时,仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否 一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列举法与描述法。

注意啊:常用数集及其记法:

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集 N*或 N+

整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就 说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 a? A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集 合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x? R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类:

1.有限集

含有有限个元素的集合

2.无限集

含有无限个元素的集合

3.空集

不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;(2)A 与 B 是同一集 合。

反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A

2.“相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5)

实例:设 A={x|x2-1=0}

B={-1,1}

“元素相同”

结论: 对于两个集合 A 与 B, 如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素,我们就说 集合 A 等于集合 B,即:A=B

① 任何一个集合是它本身的子集。A? A

②真子集:如果 A? B,且 A?B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B(或 B A)

③如果 A? B, B? C ,那么 A? C

④ 如果 A? B 同时 B? A 那么 A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集 合,叫做 A,B 的交集.

记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所 组成的集合,叫做 A,B 的并集。记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪ B={x|x∈A,或 x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中 所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集)

记作: CSA

即 CSA ={x | x? S 且 x? A}

S

CsA

A

(2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素, 这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。

(3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应 关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定 的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫

做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数 的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;3 函数的定义 域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的定义 域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方 根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对 数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通 过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函 数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

再注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于 值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和 对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两 个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自 变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;② 定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本 21 页相关例 2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函 数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函 数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的 基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐 标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈ A)的图象.

C 上每一点的坐标(x, y)均满足函数关系 y=f(x), 反过来, 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }

图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平 行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列 表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲 线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数)

常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用:

1、 直观的看出函数的性质; 2、 利用数形结合的方法分析解题的思路。 提高解题的速度。

发现解题中的错误。

4.快去了解区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的 元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到集合 B 的一个 映射。记作“f:A B”

给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对 应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原 象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、 B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于 映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在

集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合 A 中不同的元素, 在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合 B 中的每一 个元素在集合 A 中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点:

1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等 等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法:必须注明 函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域; 化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法:选取的自变量要有 代表性,应能反映定义域的特征.

注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象 法:便于量出函数值

补充一:分段函数

(参见课本 P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里 求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能 写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大 括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函

数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义 域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数

如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x), (x∈A) g 的复合函数。

称为 f、

例如:

y=2sinX

y=2cos(X2+1)

7.函数单调性

(1).增函数

设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的 任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间(睇清楚 课本单调区间的概念)

如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都 有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间.

注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的 局部性质;

2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总 有 f(x1)<f(x2) 。

(2) 图象的特点

如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在 这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到 右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:

1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常 是因式分解和配方);4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);5 下 结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性).

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密 切相关,其规律如下:

函数 单调性

u=g(x) 增 增 减 减

y=f(u) 增 减 增 减

y=f[g(x)]

增 减 减 增

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性 相同的区间和在一起写成其并集. 2、 还记得我们在选修里学习简单易 行的导数法判定单调性吗?

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x), 那么 f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x), 那么 f(x)就叫做奇函数.

注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性, 函数的奇偶性 是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶 函数。

2 由函数的奇偶性定义可知, 函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对 于定义域内的任意一个 x, 则-x 也一定是定义域内的一个自变量 (即 定义域关于原点对称).

(3)具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义 域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函 数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数.

注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首 先看函数的定义域是否关于原点对称, 若不对称则函数是非奇非偶函 数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=± f(x)比较困难,可 考虑根据是否有 f(-x)± f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=± 1 来判定; (3)利用定理,或 借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函 数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义 域.

(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法 等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知 表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解 方程组消参的方法求出 f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页)

1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图 象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小) 值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递 减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a, b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 小值 f(b);

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果 ,那么 叫做 的 次方根(n th root), 其中 >1,且 ∈ *.

当 是奇数时,正数的 次方根是一个正数,负数的 次方根是一个负 数.此时, 的 次方根用符号 表示.式子 叫做根式(radical),这 里 叫做根指数(radical exponent), 叫做被开方数(radicand).

当 是偶数时,正数的 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时, 正数 的正的 次方根用符号 表示,负的 次方根用符号- 表示.正 的 次方根与负的 次方根可以合并成± ( >0).由此可得:负数没 有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 。

注意:当 是奇数时, ,当 是偶数时, 2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

, 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数, 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数 指数幂.

3.实数指数幂的运算性质

(1) ·



(2)



(3)



(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 叫做指数函数(exponential ), 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.

2、指数函数的图象和性质

a>1 0<a<1

图象特征 函数性质

向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R

图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数

函数图象都在 x 轴上方 函数的值域为 R+

函数图象都过定点(0,1)

自左向右看,

图象逐渐上升 自左向右看,

图象逐渐下降 增函数 减函数

在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1

在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1

图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, 值域是 或 ; (2)若 ,则 ; 取遍所有正数当且仅当 ; (3)对于指数函数 ,总有 ; (4)当 时,若 ,则 ;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果 ,那么数 叫做以 为底 的对数,记 作: ( — 底数, — 真数, — 对数式)

说明:1 注意底数的限制 ,且 ;

2 ;

3 注意对数的书写格式.

两个重要对数:

1 常用对数:以 10 为底的对数 ;

2 自然对数:以无理数 为底的对数的对数 .

对数式与指数式的互化

对数式 指数式

对数底数 幂底数





对数 → 指数



真数 → 幂



(二)对数的运算性质

如果 ,且 , , ,那么:

1 ·+ ;

2 - ;

3



注意:换底公式

( ,且 ; ,且 ; ).

利用换底公式推导下面的结论(1) ;(2) .

(二)对数函数

1、对数函数的概念:函数 ,且 叫做对数函数,其中 是自变量,函 数的定义域是(0,+∞).

注意: 1 对数函数的定义与指数函数类似, 都是形式定义, 注意辨别。

如: ,

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

2 对数函数对底数的限制: ,且 .

2、对数函数的性质:

a>1 0<a<1

图象特征 函数性质

函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为(0,+∞)

图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数

向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R

函数图象都过定点(1,0)

自左向右看,

图象逐渐上升 自左向右看,

图象逐渐下降 增函数 减函数

第一象限的图象纵坐标都大于 0 第一象限的图象纵坐标都大于 0

第二象限的图象纵坐标都小于 0 第二象限的图象纵坐标都小于 0

(三)幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如 的函数称为幂函数,其中 为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);

(2) 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 上是增函数.特别 地,当 时,幂函数的图象下凸;当 时,幂函数的图象上凸;

(3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 从 右边趋向原点时, 图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴, 当 趋于 时, 图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴.

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数 ,把使 成立的实数 叫做函数 的零 点。

2、函数零点的意义:函数 的零点就是方程 实数根,亦即函数 的图 象与 轴交点的横坐标。即:

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点.

3、函数零点的求法:

求函数 的零点:

1 (代数法)求方程 的实数根;

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 的图象 联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数 .

1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点, 二次函数有两个零点.

2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有 一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无 零点.


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