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3.1-方程的根与函数的零点


方程的根与函数的零点

回顾旧知,探究新知
观察下列函数 (1) y ? 2 x ? 1,
y

(2) y ? x 2 ? 2 x ? 3,
函数的零点
x 令 y ? 0, 即 2 x ? 1 ? 0. ? x ? 0.5.

0.5

? ? ? ? ?函数

方程 2 x ? 1 ? 0的根

y ? 2 x ? 1的图象与 x轴的交点的横坐标

形成 概念

函数的零点

方程的根
(2) y ? x ? 2 x ? 3,
2

y ? f ( x)的零点 1、函数的零点: 使f ( x) ? 0的实数x叫做函数
y=f(x) 的零点 (数值)
令x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ? ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 x ? 1或x ? ?3 ? 零点为 1和 ? 3





y=f(x)的图象 方程f(x)=0 (图像与x轴交点的横坐标) (方程的根)
求零点的步骤:⑴令f ( x) ? 0 ⑵解方程f ( x) ? 0 ⑶写出函数y ? f ( x)的零点

-3

1

写出表中一元二次方程并求出方程的根,画出相应的二次函 数图像的简图,得出函数的零点. 方程 函数 x2-2x-3=0 y= x2-2x-3 x2-2x+1=0 y= x2-2x+1 x2-2x+3=0 y= x2-2x+3

方程的实数根
函 数 的 图 象 函数的零点

x1=-1,x2=3
y
2 1
-1

x1=x2=1
y
2

无实数根
y
5 4 3 2 1

0

-1 -2

1 2

3

x
-1

1

-3 -4

0

1

2

x

-1

0

1

2

3

x

-1,3

1

无零点

二次函数的零点、图象、方程实数根的联系
判别式△ =b2-4ac
方程ax2 +bx+c=0 的根 a> 函数y= ax2 +bx+c (a>0)的图象
x1

△>0 两个不相等的 实数根x1 、x2
y

△=0 有两个相等的 实数根x1 = x2
y

△<0

没有实数根
y

0

0

x2 x

0

x1

x

0

x

函数的零点

x1, x2

x1

没有零点

探究新知

y ? x ? 2x ? 3
2

思考:x=-3,x=1时,有y=0

那么x ? ?3, x ? 1时,y值如何?
比如:(1) f(0)= -3<0 , f(2)= 5>0
a -3 b 1

零点"1"在区间(0,2)内

(2) f(0.5)<0 ,f(1.5) >0 零点1在区间(0.5,1.5)内 (3)f(a)>0, f(b)<0 区间(a,b)内有零点“-3”

已知A、B是某函数y ? f ( x )图象上的两个点, 试把x ? ? a, b ?区间上的图象补充完整并观察 此时函数图象与x轴有交点吗?函数有零点吗? 零点有多少个?在什么范围内?
A

作出多个函数f(x)的图像进行验证)

(a,f(a))

a
A (a,f(a))

b
(b,f(b))

B

a
B

b
(b,f(b))

函数y=f(x),在区间[a,b]上若满足:图象 连续 并且f(a)f(b) <0 则函数图象与x轴有交点。即函数有零点且零点位于 (a,b)内

函数y=f(x),在区间[a,c]上满足:图象 连续 并且 f(a)f(c)<0 则函数图象与x轴有交点。 即函数有零 点且零点位于 (a,c) 内。

A A

B

B

A

函数y ? f ( x) 图像连续,f (a) f (b) ? 0 则f ( x)在区间(a, b)上有零点
B

形成结 论

零点的存在性定理

如果函数 y ? f ( x) 在区间? a, b?上的图象是连续不断的一条曲线,

并且有 f (a) ? f (b) ? 0 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 内有零点,

即存在 c ? ? a, b ? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。
y 1、“存在”的理解
a o
单调时仅有一个零点

y

b x

a

o

b x

2、若不满足连续性 ,不能保证有零点 y 3、f(a)f(b)>0时 不能保证有零点
a

y

y

o

b

x

a

o

b

x

a

o

b

x

牛刀小试
例如:已知函数f(x)有如下的x,f(x)对应值表:
7 -7 –26 f(x) 若f(x)图象连续,该函数在区间[1,6]上( B )零点

x

1 23

2 9

3

4 5 11 –5

6 –12

A、只有3个 C、至多有3个

B、至少有3个 D、无法确定

函数f(x)=lnx与g(x)=2x- 所以:函数f(x)+g(x在 6在(0,+∞)都是单增的, (0,+∞)也是单增的, 例1 求函数f(x)=lnx+2x- 6的零点的个数
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

思考1:如何说明函数有零点? 14 12 由表可知f(2)<0,f(3)>0, 10 8 从而f(2)· f(3)<0, 6 4 ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点. 2 思考2:如何说明函数的零点个数? 0
-2 -4 -6
1 2

y

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

x

. 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数, 所以它仅有一个零点.

变式训练

判断f(a)f(b)<0?

1、函数f ( x) ? ?x3 ? x ?1的零点所在的大致区间为( B )

A. (?1,0)

B. (0,1)

C. (1, 2)

D. (2,3)

2、思考:函数y ? ax ? 2在区间( 1, 2)上有 零点,求a 的范围
f(1)f(2)<0一定成立?

感悟: 请大家概括一下:

这节课你学到了什么?
1、零点的概念

2、数与形两个角度理解问题
3、存在性定理

拓展练习
思考:f ( x) ? x 2 ? 2 x ? c, c为何值时f ( x)有2个零点? 有1个零点? 没有零点?

课后作业:
1、第88页练习第1题,第92页A组第2题

2、《阅读与思考》: 中外历史上的方程求解

思考:f ( x) ? lg x ? 2 x ? 6在 ? 2,3?内有零点, 如何缩小零点所在区间的范围呢?

谢谢指导


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