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高中数学必修1知识点总结(复习)


第一章 集合与函数概念
一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1)列举法:{a,b,c??} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方 法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn 图: 4、集合的分类: (1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合 (3)空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系—子集 注意: A ? B 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 ? B 或 B? ?A 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? 2. ?相等?关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同则两集合相等? 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 ? 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集 B(或 B A)

三、集合的运算 运算 交 集 并 集 类型 定 由所有属于 A 且属于 由所有属于集合 A 或属 义 B 的元素所组成的集 于集合 B 的元素所组成 合 , 叫 做 A,B 的 交 的集合,叫做 A,B 的并 集.记作 A ? B(读作 集.记作:A ? B(读作 ‘A 交 B’ ) , 即 A ? B= ‘ A 并 B ’ ) ,即 A ? B {x|x ? A,且 x ? B} . ={x|x ? A,或 x ? B}). 韦 恩 图 示 性
A B





设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集, 由 S 中所有 不属于 A 的元素组成的 集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A}
S

A

B

A

图1

图2

A ? A=A A ? Φ=Φ

A ? A=A A ? Φ=A A ? B=B ? A A ? B ?A A ? B ?B

(CuA) ? (CuB) = Cu (A ? B) (CuA) ? (CuB) = Cu(A ? B) A ? (CuA)=U A ? (CuA)= Φ.



A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= ? x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值 人,

第一章

(1)集合概念、关系、运算
和 符号表示为 和 整数集 有理数集 3 4

基础知识: 1.集合中元素与集合之间的关系:文字描述为 2.常见集合的符号表示:自然数集 正整数集 3.集合的表示方法 1 2

实数集

4.集合间的基本关系: (1)相等关系: A ? B且B ? A ? _________ (2)子集: A 是 B 的子集, 符号表示为 ______ 或 B ? A (3)真子集: A 是 B 的真子集,符号表示为 _____ 或 ____

5.不含任何元素的集合叫做 ,记作 ,并规定空集是任何集合的子集,是任何非空集合的 6. 一般地,由所有属于 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集(Union) 记作: 。读作: “A 并 B” 即: A∪B={x|x∈A,或 x∈B} 7. 一般地,由属于 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。记作 读作: “A 交 B” 即: A∩B={x|∈A,且 x∈B} 8.如果一个集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,记作 U。 9. 一般地,设 U 为全集,A 是 U 的一个子集(即 A?U) ,则由 U 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做集合 A 在全集 U 中的补集,记作 CuA,即 CuA={x|x∈u,且 x?A},读作“A 相对于 U 的补集” 。 基础训练: 1. 下列各种对象的全体,可以构成集合的是 (1)某班身高超过 1.8m 的女学生; (2)某班比较聪明的学生;
2 (3)本书中的难题 (4)使 x ? 3 x ? 2 最小的 x 的值

2. 用适当的符号 (?,?, ?, ?, ?) 填空:

? ___ Q;

?3.14? ____ Q ;

N ___ N * ;

? x x ? 2k ? 1, k ? Z ? ____ ?x x ? 2k ? 1, k ? z?

3.用描述法表示下列集合: 由直线 y ? x ? 1 上所有点的坐标组成的集合; 4.若 A ? B ? B ,则 A ____ B ;若 A ? B ? B 则 A _____ B; A ? B _____ A ? B 5.集合 A ? x x ? 3 ? 5 , B ? x x ? a ,且 A ? B ,则 a 的范围是 6.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则 Cu( M ? N)= 典型例题讲练 例 1 设集合 M ? ? x x ?

?

?

?

?

? ?

k 1 k 1 ? ? ? ? , k ? Z ? , N ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 M _______ N 2 4 4 2 ? ? ? k 1 k 1 ? ? ? ? , k ? Z ? , Q ? ? x x ? ? , k ? Z ? ,则 P ______ Q 3 6 6 3 ? ? ?

变式练习: 设集合 P ? ? x x ?

? ?

2 例 2 已知集合 A ? x ax ? 2 x ? 1 ? 0, x ? R , a 为实数。

?

?

(1)若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2)若 A 是单元素集,求 a 的取值范围; (3)若 A 中至多只有一个元素,求 a 的取值范围;

变式练习:已知数集 P ? ?1,

? a ? , b ? ,数集 Q ? ?0, a ? b, b 2 ? ,且 P ? Q ,求 a , b 的值 ? b ?

2 例 3 已知集合 A ? x x ? 3x ? 10 ? 0

?

?
? ? ?

(1) 若 B ? A, B ? x m ? 1 ? x ? 2m ? 1 ,求实数 m 的取值范围。 (2) 若 A ? B, B ? x m ? 6 ? x ? 2m ? 1 ,求实数 m 的取值范围。 (3) 若 A ? B, B ? x m ? 6 ? x ? 2m ? 1 ,求实数 m 的取值范围。 练习:已知集合 A ? x 1 ? ax ? 2 , B ? x ? 1 ? x ? 1 ,满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 例 4 定义集合运算: A ? B ? z z ? xy ( x ? y ), x ? A, y ? B ,设集合 A ? ?0,1 ?, B ? ?2,3? , 则集合 A ? B 的所有元素之和为 变式练习:设 P, Q 为两个非空实数集合,定义集合 P ? Q ? a ? b a ? P, b ? Q , 若P ? ?0,2,5? , Q ? ?1,2,6? , 则 P ? Q 中元素的个数是 例 5 若 U={1,3,a2+2a+1}, A={1,3}, CUA={4}, 则 a=________ 变式练习:已知全集 U={3,5,7},A={3,|a-7|},若?UA={7},则 a 的值为 课堂检测
2 1. 设全集 U ? R, 集合 M ? x x ? 1 , P ? x x ? 1 ,则 M ______ P 2 2. 集合 P ? x x ? 3 x ? 2 ? 0 , Q ? x mx ? 1 ? 0 , 若 P ? Q ,则实数 m 的值是

?

?

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?

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3.已知集合 A 有 n 个元素,则集合 A 的子集个数有

个,真子集个数有

个 .

2 4.已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m } .若 B ? A ,则实数 m =

5.已知含有三个元素的集合 {a,

b ,1} ? {a 2 , a ? b, 0}, 求 a2004 ? b2005 的值. a

6.定义集合运算: A ? B ? z z ? xy ( x ? y ), x ? A, y ? B ,设集合 A ? ?1,2? , B ? ?3,4? ,则集合 A ? B 的所有元 素之积为 7.设集合 A= x 1 ? x ? 2 ,B= x x ? a ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 8.若{1,2} ? A ? {1,2,3,4,5}则满足条件的集合 A 的个数是 9.设集合 A ? {1, 2, a}, B ? {1, a ? a} ,若 A ? B 求实数 a 的值.
2
2 10.设全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的 Venn 图是

?

?

?

?

?

?

?

?

11.设 U ? R , A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x ? 1} ,则 A∩CUB=( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0}

) D. {x | x ? 1} )

2 12.集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? , 则 a 的值为(

?

?

A.0 课后作业

B.1

C.2

D.4

1.若集合 A ? {x kx2 ? 4x ? 4 ? 0, x ? R} 中只有一个元素,则实数 k 的值为 2.符号 {a} ? P ? {a, b, c} 的集合 P 的个数是

?

3.已知 M ? {y y ? x2 ?1, x ? R}, P ? {x x ? a ?1, a ? R} ,则集合 M 与 P 的关系是 4.若 A ? {x x ? 2k , k ? Z} ,B={ x x ? 2k ? 1, k ? Z} ,C={ x x ? 4k ?1, k ? Z}, a ? A , b ? B, 则 a ? b ? 5.已知 A ? {x x ? ?1或x ? 5}, B ? {x a ? x ? a ? 4} ,若 A ? ? B,则实数 a 的取值范围是 6.集合 A={x| x +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若 B ? A, 求 a 的值。 7.已知集合 A={0,2,4,6},?UA={-1,1,-3,3},?UB={-1,0,2},则集合 B=________.
2

.

8.设全集 U=R,集合 A={x|x<-1 或 2≤x<3},B={x|-2≤x<4},则(?UA)∪B=__________. 9.若 P={ (x,y)|2x-y=3} ,Q={ (x,y)|x+2y=4} ,则 P∩Q= .

10.已知关于 x 的方程 3x2+px-7=0 的解集为 A,方程 3x2-7x+q=0 的解集为 B,若 A∩B={-

1 },求 A∪B 3

11.已知集合 A={y|y>a+5 或 y<a},B={y|2≤y≤4},若 A∩B≠?,求实数 a 的取值范围.

函数的有关概念与函数性质
一.函数的有关概念 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义 的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法: ①表达式相同 (与表示自变量和函数值的字母无关) ; ②定义域一致 (两 点必须同时具备) 2.值域 : 先考虑其定义域。 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵 坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.C 上每一点的坐标(x,y)均满足 函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (2) 画法:描点法,图象变换法 常用变换方法有三种 :平移变换 ,伸缩变换 ,对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对 应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作?f(对应关系) :A(原象) ?B (象) ? 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质)

(1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2, 当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增 区间. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)>f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ; ○ 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . ○ (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律: ?同 增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并 集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2) .奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) = ○ -f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意: 函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. 首先看函数的定义域是否关于 原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们 之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)函数的解析式的主要求法有:1)凑配法 2)待定系数法 3)换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最 小值 f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域:
2 ⑴ y ? x ? 2 x ? 15

x ?3 ?3

⑵ y ? 1 ? ( x ? 1)2
x ?1

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_

_

3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x =
? ?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3
( x ? R)

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4x ? 5

(3) y ? x ? 1 ? 2x

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4x ,求函数 f ( x) , f (2x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (?x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x) = 。

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??,0) 时 f ( x) =
f ( x) 在 R 上的解析式为

9.求下列函数的单调区间: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ⑵ y ? ? x 2 ? 2 x ? 3

⑶ y ? x2 ? 6 x ? 1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论.

11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 2 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) .
2

1? x

x

第二章 基本初等函数
一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x n ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 * n∈N . ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 ?a (a ? 0) 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0) 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:

a a ? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 r r ?s r (1) a 〃 a ? a
(2) (a ) ? a
r s r rs r s

a ? a (a ? 0, m, n ? N , n ? 1) , a
n m *

m n

?

m n

?

1
m n

?

1
n m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

(a ? 0, r , s ? R) ; (a ? 0, r , s ? R) ;

(a ? 0, r , s ? R) . (3) (ab) ? a a (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5 4 4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 定义域 R 值域 y>0 值域 y>0 在 R 上单调递 在 R 上单调递 增 减 非奇非偶函数 非奇非偶函数 函数图象都过 函数图象都过 定点(0,1) 定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上, f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a)] ; (2)若 x ? 0 ,则 f (x) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f (x) ? a x (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a x ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 .a 为底 ..N 的 对数,记作: x ? loga N ( a — 底数, N — 真数, loga N — 对数式)

说明:○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ loga N 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○ 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ ? 指数式与对数式的互化 幂值 真数
ab = N ? log a N = b

底数 指数 对数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M 〃 N ) ? loga M + loga N ; ○ M 2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M (n ? R) . ○ 注意:换底公式 logc b ( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ) . loga b ? logc a 利用换底公式推导下面的结论(1) log a b n ?
m

1 n (2) loga b ? . log a b ; m logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自 变量,函数的定义域是(0,+≦) . 注意: ○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:
y ? 2 log2 x , y ? log 5 x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.
5

2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质: a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都 过定点(1, 0)

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过 定点(1,0)

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x ? (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+≦)都有定义并且图象都过点(1,1) ; (2)? ? 0 时, 幂函数的图象通过原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特别地, 当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3)? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从 右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图 象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 例题:1. 已知 a>0,a 0,函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( )

2.计算: ①

log3 2 ? log27 64
1 3

;② 2 4? log 3 =
2

; 25 log =

1 3

5

27 ? 2 log5 2

=

;

③ 0.064 ?

1 7 ?4 ? (? ) 0 ? [( ?2) 3 ] 3 ? 16 ?0.75 ? 0.01 2 8

3.函数 y=log 1 (2x2-3x+1)的递减区间为
2

4.若函数 f ( x) ? loga x(0 ? a ? 1) 在区间 [a, 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍,则 a= 5.已知 f ( x) ? log a 1 ? x (a ? 0且a ? 1) , (1)求 f ( x) 的定义域(2)求使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围
1? x

第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y ? f ( x)(x ? D) ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数

y ? f ( x)(x ? D) 的零点。 2、函数零点的意义:函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 实数根,亦即函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴交点的横坐标。 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点 ? 函数 y ? f ( x) 有零
点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) 的图象联系起来, ○ 并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) . (1)△>0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点, 二次函数有两个零点.
2

(2)△=0,方程 ax ? bx ? c ? 0 有两相等实根,二次函数的图象与 x 轴有一个交点, 二次函数有一个二重零点或二阶零点.
2

(3)△<0,方程 ax ? bx ? c ? 0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无 零点.
2


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