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河北衡水市衡水中学2013届高三元月第一次模拟考试数学理试题


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河北衡水中学 2013 届高三元月第一次模拟考试数学 理试题
第Ⅰ卷
一、选择题:(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是符合 要求的) 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若

/>
x, y ? R , A ? ?x y ? 2 x ? x 2
A. (2, ??)

? ,B ? ? y

y ? 3x , x ? 0

? ,则 A *B=(

) .

B. ?0,1? ? (2, ??)
?? ?

C. ?0,1? ? (2, ??)

D. ?0,1? ?[2, ??)

2. 如右图,在△ ABC 中, AN ? 的值为( A. ) B

? ?? ? ?? ? 2 ?? ? 1 ?? NC , P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC ,则实数 m 3 9

1 9

1 3

C. 1

D.

3

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 3.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( ) x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ? 2, 6? C. ?3,10? D. ?3,11?
?( x )

4. 定义在 R 上的可导函数 f ( x ) ,已知 y ? e f

的图象如图所示,则

y ? f ( x) 的增区间是( )
A. (??,1) B. (??, 2) C. (0,1) D. (1, 2)

5.如右图过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的直线依次交抛物线与圆

? x ? 1?
A .4

2

? y 2 ? 1 于 A、B、C、D,则 AB ? CD ? (
B. 2 C. 1 D.

)

1 2

6.如图所示是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边 BD 长为 2,侧视图 是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且 AB=BC=1,则异面直线 PB 与 CD 所成角的正切值 是( )
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A.1 B. 2 C.

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1 2

2 2

D.

2 2 7.已知 F1、F2分别是椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是 a b

椭圆上位于第一象限内的一点,点 B 也在椭圆 上,且满足 , OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若椭圆的离心 率等于

2 , 则直线 AB 的方程是 ( ) . 2
2

A. y ? 2 x

B. y ? ? 2 x
2

C. y ? ? 3 x
2

D. y ? 3 x
2

8. 函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? 7 x ? 6 与 g ( x) ? ? x 的图象所围成封闭图形的面积为( A.



2 3

B.

4 3

C.2

D.

8 3

x2 y 2 9.已知 F1 , F2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,P 为双曲线上除顶点外的 a b
任意一点,且△ F PF2 的内切圆交实轴于点 M,则 F M ? MF2 的值为( 1 1 )

A. b

2

B. a

2

C. c

2

D.

a 2 ? b2 a

10.已知正方形 APP P 的边长为 4,点 B, C 位边 PP , P P 的中点,沿 AB, BC, CA 折叠成 1 2 3 1 2 2 3 一个三棱锥 P ? ABC (使 P , P , P 重合于点 P ) ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球表面积为 1 2 3 ( ) B. 12? C. 8? D. 4?

A. 24?

11. 已知 y ? f (x) 是偶函数, x ? R ,若将 y ? f (x) 的图象向右平移一个单位又得到一个 奇函 数,又 f (2) ? ?1, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? f (2011) ? A.-1003 B.1003 C.1 D.-1 ( )

12.设函数 f ( x) ? x x ? bx ? c ,给出以下四个命题:①当 c=0 时,有 f (? x) ? ? f ( x) 成立; ②当 b=0,c>0 时,方程 f ( x) ? 0, 只有一个实数根;③函数 y ? f (x) 的图象关于点(0,c) 对称 ④当 x>0 时;函数 f ( x) ? x x ? bx ? c , f ( x) 有最小值是 c ?
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b2 。其中正确的命题的 2

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序号是( ) A.①②④ B.①③④

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C.②③④ D.①②③

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的相应 位置)

?2 x ? 1, x?0 ? 13.已知定义在 (?1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 3x ? 1 ,若 f (3 ? a2 ) ? f (2a) ,则 , ?1 ? x ? 0 ? ? x ?1
实数 a 取值范围为 14.椭圆 为 .

x2 y2 ? ? 1 (a > b > 0) 且满足 a ≤ a 2 b2


3b ,若离心率为 e,则 e 2 +

1 的最小值 e2

15.设函数 f ( x) ? 2sin(

?

x ? ) ,若对任意 x ? R ,都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 2 5

?

x1 ? x2 的最小值为
16.设 X n ? {1, 2,3?n}(n ? N * ) , X n 的任意非空子集 A, 对 定义 f ( A) 为 A 中的最大元素, 当 A 取遍 X n 的所有非空子集时, 对应的 f ( A) 的和为 S, S2 = 则 ,n= S 。

三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的答案填在答卷纸的相应位置) 17、本小题 10 分) ( 在△ABC 中, 内角 A、 C 所对边的长分别为 a、 c, B、 b、 已知向量 m =(1,cosA -1), n =(cosA,1)且满足 m ⊥ n . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 a= 3 ,b+c=3 求 b、c 的值.

18、 (本小题 12 分)如图所示,在三棱锥 V—ABC 中,VC⊥底面 ABC,AC⊥BC,D 是 AB 的中点,且 AC=BC= a , ?VDC ? ? (0 ? ? ? (1)求证:平面 VAB⊥平面 VCD; (2)当角 ? 变化时,求直线 BC 与平面 VAB 所成的角的取值范围。
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?
2

)。

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19. (本小题满分 12 分)某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另 投入成本为 C ( x) 当年产量不足 80 千件时,C ( x ) ? 千件时 C ( x) ? 51x ?

1 2 x ? 10 x(万元) ;当年产量不小于 80 3

10000 ? 1450 (万元) ,每件商品售价为 0.05 万元,通过市场分析, x

该厂生产的商品能全部售完。 (1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数解析式; (2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

x2 y2 20、 (本小题满分 12 分)已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 相交于 A、B a b
两点. (Ⅰ)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3 1 2 ] 2 2

(Ⅱ) 若向量 OA 与向量 OB 互相垂直 (其中 O 为坐标原点)当椭圆的离心率 e ? [ , , 时,求椭圆的长轴长的最大值.

21、 (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F, 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相
2

交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)判断点 F 是否在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ??? ? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ?R) . (1)若函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数

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b 的取值范围;

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y 1 ? ln y 与 的大小. x 1 ? ln x

(2)当 0 ? x ? y ? e 且 x ? e 时,试比较
2

2012~2013 学年度第一次模拟考试 高三年级数学(理科)答案
一、选择题: CADBC CADAA 二、填空题 13.( ? 16. DD

1 13 ,1) 14. 6 2

15. 2

S2 ? 5, Sn ? (n ?1)2n ?1

三、解答题 17、(1) m ? n ? 0 ,cosA=
1 , 2

A 为△ABC 内角,∴A=60?

(2)a= 3 ,A=60? ,由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA 得 a2=(b+c)2-2bc-2bccosA ∵b+c=3, ∴3=9-3bc,bc=2 由 ? 18 、
? b ? c ? 3 ?b ? 1 ?b ? 2 或? 得? ?bc ? 2 ?c ? 2 ?c ? 1

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19. (本小题满分 12 分)

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6分

20、解: (Ⅰ)? e ?

3 c 3 ,2c ? 2,即 ? 3 2 3

? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2
x2 y2 ? ?1 ∴椭圆的方程为 3 2
……… 2 分

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 2 ? y ? ?x ? 1 ?
6 3 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 5 5

?| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? 5 5 5
(II) 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )
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…………………… 6 分

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??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? OA ? OB ? OA ? OB ? 0,即x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x2 y 2 ?1 ? ? 由? a 2 b2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ?1 ?

由? ? (?2a 2 ) 2 ? 4a 2 (a 2 ? b 2 )(1 ? b 2 ) ? 0
a2 ? b2 ? 1

整理得

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) x1 x2 ? 2 a ?b a 2 ? b2 ? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 又x1 ? x2 ?
2

整理得:

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0得 : 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 ?

2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? 2 ?1 ? 0 a 2 ? b2 a ? b2

a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得

2a 2 ? 1 ?

1 1 ? e2

?a2 ?

1 1 (1 ? ) 2 1 ? e2

1 2 ? ?e? 2 2 1 1 1 3 ? ? e2 ? ? ? 1 ? e2 ? 4 2 2 4 4 1 ? ? ?2 3 1 ? e2 7 1 7 3 ? ? 1? ? 3? ? a 2 ? 2 3 1? e 6 2 2 2 适合条件a ? b ? 1
由此得

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 , 3

故长轴长的最大值为 6 .… 12 分

21 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , D( x1 , ? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (Ⅰ)将 x ? my ? 1 代人 y ? 4 x 并整理得
2

y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,从而
直线 BD 的方程为

y1 ? y2 ?4 m y y ? 4 . , 1 2

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y ? y2 ? y2 ? y1 ? ( x ? x2 ) , x2 ? x1

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y ? y2 ?

y2 4 ? (x ? 2 ) y2 ? y1 4
y1 y2 ? 1. 4
所以点 F ( 1 , 0在直线 BD 上。4 分 )

令 y ? 0, 得x ?

(Ⅱ)由①知 x1 ? x2 ? (my1 ?1) ? (my2 ?1) ? 4m2 ? 2

x1x2 ? (my1 ?1)(my2 ?1) ? 1.
因为

uur uur FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,


uur uur FA ? FB ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2
8 ? 4m 2 ? 8 , 解得 9 m?? 4 3 6分

所以 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0 又由①知

y2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3

故直线 BD 的斜率

4 3 , ?? y2 ? y1 7

因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0. 因为 KF 为 ? BKD 的平分线,故可设圆心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的距离

分别为

3 t ?1 3 t ?1 , . 5 4



3 t ? 1 3 t ?1 1 ? 得 t ? ,或 t ? 9 (舍去) , 9 5 4 3 t ?1 2 ? . 5 3

故圆 M 的半径 r ?

1 4 . 12 分 9 9 22、 (1)∵函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 ,
2 2 所以圆 M 的方程为 ( x ? ) ? y ?

∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ?
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1 ln x ? ?b, x x

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令 g ( x) ? 1 ?

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1 ln x ,可得 g (x) 在 0, e 2 上递减,在 e 2 ,?? 上递增, ? x x

?

?

?

?

∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?

1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . 6分 e2

(2)由(Ⅱ)知 g ( x) ? 1 ?

1 ? ln x 在(0,e2)上单调减 x

∴0<x<y<e2 时, g ( x) ? g ( y )



1 ? ln x 1 ? ln y ? x y

当 0<x<e 时,1-lnx>0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴ 当 e<x<e2 时,1-lnx<0,∴y(1-lnx)>x(1-lny), ∴ 12 分

y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x y 1 ? ln y ? x 1 ? ln x

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