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湖北省武汉外国语学校2013-2014学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案)


武汉外国语学校 2013—2014 学年度上学期期末考试 高一数学试卷(评分标准) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的. 1. 若角 ? 的终边经过点 P(1, ?2) ,则 tan ? 的值为( A ) A. ?2 B. 2 C. ?

1 2

D.

1 2

2. ( P 59 ? A2 )设 a>0,将 A. a
1 2

a2 a? a
3 2

表示成分数指数幂,其结果是( D )
5 7

3. ( P 29 ? A3 )若 ? ? A. ?

4. 函数 f(x) = x2 + lnx ? 4 的零点所在的区间是( B ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

3 4

7? ,则计算 1 ? sin(? ? 2? ) ?sin( ? ? ?) ? 2cos 2( ??) 所得的结果为( A ) 6 1 5 B. ? C. 0 D. 4 4
D.(3,4)

B. a

3 2

C. a 6

D. a 6

??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? 5. ( P )已知 , , , ,且四边形 ABCD 为平行四边形, OA ? a OB ? b OC ? c OD ? d ? B 1 119 (3)
则( B ) A. a ? b ? c ? d ? 0

? ? ? ? ?

?

B. a ? b ? c ? d ? 0
x ?x

? ? ? ? ?

?

C. a ? b ? c ? d ? 0

? ? ? ? ?

?

D. a ? b ? c ? d ? 0

? ? ? ? ?

?

6. ( P 75 ? B1 )若 x log3 4 ? 1 ,则 4 ? 4 A. 1 B. 2 C.

?( D )

8 3

D.

10 3 π 2

0 ?≤ ) 7. (原创) 已知函数 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) ( x ? R,? > 0,≤
的图象如图所示,则 f ( ) ? ( B )

?

4

C. ? 3 D. ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?? a ? 1, b ? 1, c ? 3 a ? b ? c 等于 8. ( P ) 若向量 两两所成的角相等, 且 , 则 ( C ) ? B 1 a , b , c 119 (6) A. 0 B. ?1 A. 2 B. 5 C. 2 或 5 D.

2或 5

9.函数 f ( x) ? lg

1 ? sin x 的图象( C ) cos x A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称

C.关于原点对称
2

D.关于直线 y ? x 对称

10. 对于任意不全为 0 的实数 a , b ,关于 x 的方程 3ax ? 2bx ? (a ? b) ? 0 在区间 ?0,1? 内( C ) A.无实根 B.恰有一实根 C.至少有一实根 D.至多有一实根

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 11.( P 44 ? A9 )已知函数 f ( x) ? 4 x ? kx ? 8 在区间 ?5,10? 上具有单调性,则实数 k 的取值范围是

? ??, 40? ? ?80, ??? 。
12.( P 11 )已知 a ? ? 4, 2? ,则与 a 垂直的单位向量的坐标是 ? 108 ? A

?

?

? 5 2 5? ? 5 2 5? , ? , ? , ? ? ?。 ? 5 ? 5 ? 5 ? ? ? ? 5 ?

tan ? ? 3 ,则 ? sin ? ? cos ? ? 的值为 13.( P 69 ? A8 )若
2

8 。 5

x ? 6 无限接近,但永不相交。 14.( P 25 ? B1 )函数 r ? f ( p ) 的图象如图所示,其右侧部分向直线
(1)函数 r ? f ( p ) 的定义域为 ? ?5,0? ? ? 2,6? ,值域为 ?0, ??? ; (2)当 r ? ?0,2? ? ?5, ??? 时,只有唯一的 p 值与之对应。 (错一空扣 分,扣完为止 ) ....2 . ......

15.(2013 湖南卷)设函数 f ( x) ? a ? b ? c ,其中 c ? a ? 0, c ? b ? 0 .
x x x

(1)记集合 M ?

构成一个三角形的三边长,且 a ? b? ,则 ? a, b, c ? ? M 所对 ?? a, b, c? | a, b, c 不能 ..

应的 f ( x) 的零点的取值集合为 ? 0,1? ; (2)若 a, b, c 是 ?ABC 的三边长,则下列结论正确的是 ①②③ (写出所 有正确结论的序号 ) . ... ........ ①对于区间 ? ??,1? 内的任意 x ,总有 f ( x) ? 0 成立; ②存在实数 x ,使得 a , b , c 不能同时成为任意一个三角形的三条边长; ③若 CA ? CB ? 0 ,则存在实数 x ? (1, 2) ,使 f ( x) ? 0 . (提示 .. : AB ? CB ? CA ) (第( 1 ) 空 分, 第( 2 ) 空 分 ) .. . . .2 . .. .. . . .3 . .
x x x

??? ? ??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,

共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (原创)设全集 U ? R ,集合 A ? {x x ?

?
2

, ? 为第二象限角 } ,集合 B ? {x x ? ? ? ? ,? 为第

四象限角 } . (1)分别用区间表示 集合 A 与集合 B ; (2)分别求 A ? B 和 ? UA ?B. ..... 解: (1) A ? ? k? ?

?

?

? ?

?
4

, k? ?

??

3? ? ? (k ? Z ) , B ? ? 2k? ? ? , 2k? ? 2? 2 ?

? ? (k ? Z ) ;………(6 分) ?

(2) A ? B ? ? 2k? ?

? ?

?
4

, 2k? ?

?? ?

3? ? ? ? ? 2k? ? ? , 2k? ? ? (k ? Z ) , 2? ? 2 ? 3? ? ? (k ? Z ) .………………………………………(12 分) 4?

? ? A? ? B ? ? ? 2k? ? ? , 2k? ?
U

?

17. (P 83 ? B3 )对于函数 f ( x ) ? a ?

2 (a?R ) . 2 ?1
x

(1)探索并证明函数 f ( x ) 的单调性;

(2)是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数?若有,

求出实数 a 的值,并证明你的结论;若没有,说明理由. 解: (1)在 ? ??, ??? 上单调递增(用定义证明) ;………………………………………(6 分) (2)先由 f (0) ? 0 求得 a ? 1 ,再证明 f (? x) ? ? f ( x) 恒成立.…………………(12 分) 18. (原创)已知平面直角坐标系内三点 A 、 B 、 C 在一条直线上, OA ? (?2, m) , OB ? (n,1) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OC ? (5, ?1) ,且 OA ? OB ,其中 O 为坐标原点.
(1)求实数 m , n 的值; (2)设 ?OAC 的重心为 G ,若存在实数 ? ,使 OB ? ? OG ,试求 ?AOC 的大小. 解: (1)由于 A 、 B 、 C 三点在一条直线上,则 AC ∥ AB ,

??? ?

????

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 而 AC ? OC ? OA ? (7, ?1 ? m) , AB ? OB ? OA ? (n ? 2, 1 ? m) ∴ 7(1 ? m) ? (?1 ? m)(n ? 2) ? 0 , ?m ? 3 ??? ? ??? ? ?m ? 6 ? 又 OA ? OB ∴ ?2n ? m ? 0 ,联立方程组解得 ? 或? 3 .………(6 分) ?n ? 3 ? n ? ? 2 ??? ? ???? 3 (2)若存在实数 ? ,使 OB ? ? OG ,则 B 为 AC 的中点,故 m ? 3, n ? . 2 ??? ? ??? ? ∴ OA ? (?2, 3) , OC ? (5, ?1) ??? ? ???? 3? OA ? OC ?13 2 ?? ∴ cos ?AOC ? ??? ,∴ ?AOC ? ………………(12 分) ? ???? ? 4 2 13 ? 26 OA ? OC

19. 已知函数 f ( x) ? sin( x ?

1 2

?
3

), x ? R 。

(1)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (2)求函数 f ( x ) 在区间 ? 0, ? ? 上的最大值及最小值; (3)将函数 y ? sin( x ? 解: (1)令 z ?

1 ? x ? ,则 y ? sin z 2 3

1 2

?
3

) 的图象作怎样的变换可得到 y ? sin x 的图象?

y ? sin z 的单调递减区间为 [2k? ?
由 2 k? ? 又z ?

?

?
2

?

1 ? x ? 在 (??, ? ?) 上为增函数,故原函数的单调递减区间为: 2 3 ? 7 [4k? ? , 4k? ? ? ]( k ? Z ) ……………………………………………………(4 分) 3 3 1 ? ? ? 5? ? x ? ,则 y ? sin z , z ? ? , ? 2 3 ?3 6 ?

1 ? 3? x ? ? 2 k? ? , (k ? Z ) 得: 2 3 2

3 , 2k? ? ? ]( k ? Z ) 2 2 4k? ?

?

7 ? x ? 4k? ? ? , k ? Z 3 3

(2)令 z ?

2 3 3 5? 1 当z ? ,即 x ? ? 时, f ( x ) 有最小值 f (? ) ? ;……………………………(8 分) 6 2 1 ? 1 ? (3)法一:将 y ? sin( x ? ) 的图象的横坐标变为原来的 ,再向右平移 个单位。 (12 分) 2 3 2 3 1 ? 2? 1 法二:将 y ? sin( x ? ) 的图象向右平移 个单位,再将横坐标变为原来的 。 (12 分) 2 3 3 2
20.( P 83 ? B6 )某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量 P(mg / L) 与时
? kt 间 t ( 小时 ) 间的关系为 P ? P .如果在前 5 个小时消除了 10% 的污染物,试求: 0e

当z ?

?

,即 x ?

?

时, f ( x ) 有最大值 f ( ) ? 1 ,

?

(1) 10 个小时后还剩百分之几的污染物? (2)污染物减少 50% 所需要的时间. (参考数据: ln 2 ? 0.7, ln3 ? 1.1, ln5 ? 1.6 )
? kt 解: (1)由 P ? P 可知,当 t ? 0 时, P ? P 0 ;当 t ? 5 时, P ? (1 ? 10%) P 0 .于是有 0e

(1 ?10%) P 0 ?P 0e

?5k

? ln 0.9 ?t 1 ?5 ? ,解得 k ? ? ln 0.9 ,那么 P ? P 0e 5 ?1 ? ? ln0.9 ??10 ?5 ?

?1

?

所以,当 t ? 10 时, P ? P 0e

? P0eln0.81 ? 81%P0

∴ 10 个小时后还剩 81% 的污染物……………………………………………………(7 分)

?5 (2)当 P ? 50%P 0 时,有 50%P 0 ?P 0e

?1 ? ? ln 0.9 ?t ?

1 ln 0.5 ln 2 2 ? 5 ? ? ln 2 ? 5 ? 解得 t ? ? ? 35 …………(13 分) 1 9 ln 9 ? ln10 ln 2 ? ln 5 ? 2ln 3 ln 0.9 ln 5 10 ∴污染物减少 50% 所需要的时间为 35 个小时. 5ln
2 2 21.已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? kx .

(1)若对于区间 ? 0, ??? 内的任意 x ,总有 f ( x) ? 0 成立,求实数 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 在区间 ?0,2? 内有两个不同的零点 x1 , x2 ,求: ①实数 k 的取值范围; ②

1 1 ? 的取值范围. x1 x2
2

解: (1) f ( x) ? 0 ? x ? 1 ? x ? kx ? 0 ? k ? ?
2

x2 ?1 ? x2 x

, x ? ? 0, ?? ? ,

? 1 ? , x ? ? 0,1? ? x ?1 ? x ? x ?? 记 g ( x) ? ? ,易知 g ( x) 在上 ? 0,1? 递增,在 ?1, ?? ? 上递减, 1 x ??2 x ? , x ? ?1, ?? ? ? x ?
2 2

∴ g ( x)max ? g ?1? ? ?1,∴ k ? ?1 即可

…………………………………………(5 分)

(2)①ⅰ) 0 ? x ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 化为 kx ? 1 ? 0 , k ? 0 时,无解; k ? 0 时, x ? ?

1 ; k

2 ⅱ ) 1 ? x ? 2 时 , 方 程 f ( x) ? 0 化 为 2 x ? kx ? 1 ? 0 , x ?

? k ? k2 ? 8 ,而其中 4

? k ? k2 ? 8 ? k ? k ? k ? k2 ? 8 ; ? ? 0 ,故 f ( x) ? 0 在区间 ?1,2? 内至多有一解 x ? 4 4 4
k ? 0, 综合ⅰ) ⅱ) 可知, 且 0 ? x ? 1 时, 方程 f ( x) ? 0 有一解 x ? ?
时,方程 f ( x) ? 0 也仅有一解 x ? 所以实数 k 的取值范围是 ?

1 1? x ? 2 , 故 k ? ?1 ; k

7 ? k ? k2 ? 8 ? k ? k2 ? 8 ,令 1 ? ? 2 ,得 ? ? k ? ?1 , 2 4 4
……………………………………………(10 分)

7 ? k ? ?1 ; 2

②方程 f ( x) ? 0 的两解分别为 x1 ? ?

1 ? k ? k2 ? 8 , x2 ? , k 4

1 1 4 k ? k 2 ? 8 ?k ? k 2 ? 8 (14 分) ? ? 2x2 ? ? 2,4? …… ? ? ?k ? ? ?k ? 2 x1 x2 2 ? k ? k2 ? 8

四、选做题:本大题 10 分.

建议有 理科倾向的同学选 做 . ... ........ .

22. (原创)已知函数 f ( x) ? sin x ? x ? R ? 与 g ( x) ? cos x ? x ? R? . (1)对于函数 F ( x) ? f (2 x) ? g ( x) ,有下列结论:①F ( x) 是奇函数;②F ( x) 是周期函数,最小 正周期为 ? ;③ y ? F ( x) 的图象关于点 ?? ,0? 对称;④ y ? F ( x) 的图象关于直线 x ? 正确结论的序号是__________; (直接写出所有正确结论的序号 ) ............. (2)对于函数 G( x) ? f ( x) ? g (2 x) ,求满足 G ( x) ? 0 的 x 的取值范围; (3)设函数 F ( x) 的值域为 A ,函数 G ( x) 的值域为 B ,试判断集合 A, B 之间的关系. 解: (1)① ③ ④ ;…………………………………………………………………………………(3 分) ( 2) G ( x ) ? 0 ? ?

?
2

对称.其中

?sin x ? 0 ?sin x ? 0 或? ? ?cos 2 x ? 0 ?cos 2 x ? 0
? ? ;…………(6 分) ?

?? ? 3? 5? 7? ? ? ? x ? ? 2k? , 2k? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? , 2k? ? 4? ? 4 4 4 ? ? ?
(3) F ( x) ? sin 2x ? cos x ? sin 2x ? cos x ? 1 ,当且仅当 ?

? ? cos x ? 1 时取得等号,但是当 sin 2 x ? 1 ? ?

2? ? 0 ,所以 F ( x ) ? 1,故 F ( x) ? 1 ,即 cos x ? 1 时, x ? k? (k ? Z ) ,此时 sin 2x ? sin k

A? ? ? ?1,1? ;
? cos 2 x ? 1 ? 时 取 得 等号, 此 时 G( x) ? sin x ? cos 2x ? sin x ? cos 2x ? 1 , 当 且 仅 当 ? sin x ? 1 ? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) ,所以 G( x) ? 1 ,即 B ? ? ?1,1? ; 2
由此可知, A ? ? B .…………………………………………………………………(10 分)


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