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数学(理)卷·2014届江西省景德镇市高三第二次质检(2014.01)


景德镇市 2014 届高三第二次质检试题


命题

学(理)

市一中 江 宁 市二中 张勋达 审核 刘倩 昌江一中 叶柔涌 乐一中 许 敏 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分 1.设集合 M ? {x ? 1 ? x ? 2}, N ? { y y ? a} ,若 M ? N ? ? , 则实数 a 的取值范围一定 是 C. a ? ?1 D. a ? ?1 a?2 2.若 (1 ? i ) ? a 为纯虚数,则实数 a 的值为 A.0 B. ?2 C.1 D. ?1 3. 若命题 P : 对于任意 x ? ? ?1,1? ,有 f ( x) ? 0 ,则对命题 P 的否定是 A. ?1 ? a ? 2
2

B.

A.对于任意 x ? ? ?1,1?

有 f ( x) ? 0

B.对于任意 x ? (??, ?1) ? (1, ?) 有 f ( x) ? 0 D.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0

C.存在 x0 ? ? ?1,1? 使 f ( x0 ) ? 0

4.在一组样本数据的频率分布直方图中,共有 5 个小长方形,若中间一个小长方形的面积 等于其它 4 个小长方形的面积和的 A.56 B.80

2 ,且样本容量为 280,则中间一组的频数为( 5
C.112 D.120

)

5.已知 ? ? ( ????? ) , sin(? ?

?

?

2

3 ) ? ,则 cos? ? 4 5
C. ?

A. ?

2 10

B.

7 2 10

2 7 2 或 10 10

D. ?

7 2 10

6. 函数 y ?

2x ?1 的图像可能是 x ?1

y
2

y
2

y

y

-1 O

x

-1

O

x

-1

O

x
-2

-1

O

x

A

B

C

D

第 1 页 共 9 页

7.等差数列 ?a n ? 中的 a1 、 a4025 是函数 f ( x) ?

1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 3

log 2 a2013 ?
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

8. 如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,E 是 AB 的 中点,D 是 AA1 的中点,则三棱锥 D ? B1C1 E 的体积 与三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积之比是

A1 B1 D

C1

1 4 1 C. 8
A.

1 6 3 D. 8
B.

A E B

C

9.设 F 1 、F 2 分别是双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 的左,右焦点,过 F 1 的直线 l 与双曲线的左支相交 a 2 b2

于 A、 B 两点, 且三角形 ABF2 是以 ?B 为直角的等腰直角三角形, 记双曲线 C 的离心率为 e , 则 e 为( A. 5 ? 2 2
2



B.

5 2 ? 2 4

C. 5 ? 2 2

D.

5 2 ? 2 4

2 3 , ?ABC ? 60? ,沿对角线 AC 折成如图所示的四面体, 3 二 面 角 B ? A C? D 为 60? , M 为 AC 的 中 点 , P 在 线 段 DM 上 , 记 D P ? x ,
10.菱形 ABCD 的边长为

PA ? PB ? y ,则函数 y ? f ( x) 的图像大致为

y
2 2

y
2

y
2

y

A

M
1 1 1 1

B

P C

D

x O
1

x O
1

x O
1

x O
1

A

B

C
第 2 页 共 9 页

D

二、填空题:本大题共 4 小题,第小题 5 分,共 20 分. 11.已知程序框图如图,则输出的 i= .

12 . 在 Rt ?ABC 中 , AB ? 1 , BC ? 2 , AC ? 3 , D 在 边 BC 上 , BD ?

??? ? ???? AB ? AD ?

2 ,则 3



2 13.已知抛物线 y ? 2 x 的焦点为 F ,过 F 点,且斜率为 3 的直线交抛物线于 A, B 两点,

其中第一象限内的交点为 A,则

AF ? FB



14. 设集合 S ? 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8? , 集合 A ? a1 , a2 , a3 ? ,A ? S ,

?

?

P

a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a2 ? a3 且 a3 ? a2 ? 5 ,那么满足条件的集合 A
的个数为 . 三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一 题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1)如图,在极坐标下,写出点 P 的极坐标 . (2)方程 x ? 1 ? x ? x ? 1 ? m 有四个解,则 m 的取值范围为

60°
O 2 X



四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 a ? 2 sin A , (I)求边 c 的大小; (II)求△ABC 面积的最大值. 17. (本小题满分 12 分)

cos B 2a b ? ? ?0. cos C c c

1 2 ax ? x ? ln x 2 (1)当 a ? 2 时,求 f ( x) 的单调区间;
设 f ( x) ?
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(2)若 f ( x) 在 [2, ?) 上单调递增,求 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 为了了解某班在全市“一检”中数学成绩的情况,按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女生的试卷成绩作为样本,他们数学成绩的茎叶图如图所示,其中茎为百位数和十位数, 叶为个位数. (Ⅰ)若该样本男女生平均分数相等,求 x 的值; (Ⅱ)若规定 120 分以上为优秀,在该 5 名女生试卷中 女生 男生 每次都抽取 1 份,且不重复抽取,直到确定出所 2 10 0 2 4 有非优秀的女生为止,记所要抽取的次数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望 E? . 7 8 4 4 11 12 13 9 x 0 8 1 2 8

19. (本小题满分 12 分) 如图,在等腰梯形 ABCD 中, AD // BC

P E D

AB ? BC ? CD ?

1 AD ? 2 , O 为 AD 上 一 点 ,且 2 A AO ? 1 ,平面外两点 P、E 满足, AE ? 1 , EA ? AB ,
B

O C

EB ? BD , PO // EA .
(1) 求证: EA ? 平面 ABCD ; (2) 求平面 AED 与平面 BED 夹角的余弦值; (3) 若 BE // 平面 PCD,求 PO 的长. 20. (本小题满分 13 分) 单调递增数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? (1)求 a1 ,并求数列 {an } 的通项公式; (2)设 cn ? ?

1 2 (an ? n) . 2

? ?an?1, ? ?an?1 ? 2
an?1

n为奇数, ? 1 n为偶数

,求数列 {cn } 的前 2n 项和 T2 n .

21. (本小题满分 14 分) 已知双曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 (m ? 0) , A.B 两点分别在双曲线 C 的两条渐近线上,且 m

AB ? 2 m ,又点 P 为 AB 的中点.
(1)求点 P 的轨迹方程并判断其形状; (2)若不同三点 D(-2,0) 、S、T 均在点 P 的轨迹上,且 DS ? ST ? 0 ; 求 T 点横坐标 xT 的取值范围。
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??? ? ??? ?

数学试题(理)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

DACBA

BAA A D 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.9 12.

2 3

13.3

14.55

三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15. (1) ( 3,

?
6

)

(2) ?1, 2 ?

四、解答题:本大题共 6 题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (1)∵ ∴ ∴ ∴

cos B 2a b ∴ c cos B ? 2a cos C ? b cos C ? 0 ? ? ?0 cos C c c sin C cos B ? sin B cos C ? 2sin A cos C ? 0 sin A ? 2sin A cos C ? 0 ∵ sin A ? 0 1 2? a ∴ ∴ c? cos C ? ? C? ? sin C ? 3 ?? (6 分) 2 3 sin A

(2)∵

cos C ? ?

1 a 2 ? b2 ? 3 ? 2 2ab
S ?ABC ?



a 2 ? b 2 ? ab ? 3



3ab ? 3 ∴
2

1 3 ???? (12 分) ab sin C ? 2 4

17.解: f ( x) ? x ? x ? ln x

(x ? 0 ) 1 (2 x ? 1)( x ? 1) f ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? x x ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? x ?1 令 f ?( x) ? 0 ? ? ?x ? 0 ?(2 x ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 0 ? x ?1 令 f ?( x) ? 0 ? ? ?x ? 0 所以 f ( x) 在 (0,1) 单调递减,在 [1, ??) 上单调递增?????????6 分

1 ax 2 ? x ? 1 ? x x 由 f ?( x) ? 0 ,又 x ? 0 ,
(2) f ?( x) ? ax ? 1 ? 所以 ax ? x ? 1 ? 0
2

a?

1 1 1 1 2 1 ? ?( ? ) ? x2 x x 2 4
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由 x ? [2, ??) ? 0 ?

1 1 ? x 2

1 1 3 ? ) max ? 2 x x 4 3 即 a ? [ , ??) 4 3 得 a ? ???12 分 4
所以 ( 18. (1)解:依题意得

102 ? 118 ? 124 ? 127 ? 134 100 ? 102 ? 104 ? 119 ? 12 x ? 128 ? 130 ? 131 ? 132 ? 138 ? 5 10 得 x ? 6 ????????6 分
(2)由茎叶图知,5 名女生中优秀的人数为 3 人,非优秀的有 2 人

? ? 2,3, 4

P (? ? 2) ? P (? ? 4) ?

1 1 C2 C1 1 ? 1 1 C5C4 10 1 2 C2 C3 3 ? 3 C5 5

P(? ? 3) ? 1 ? P(? ? 2) ? P(? ? 4) ? E? ? 2 ?

3 10

1 3 6 7 ? 3 ? ? 4 ? ? ????????12 分 10 10 10 2 19. (1)在等腰梯形 ABCD 中 BD ? AB ,又 ∵ EB ? BD ,∴ BD ? 平面 ABE ∴ BD ? EA 又 ∵ EA ? AB ∴ EA ? 平面 ABCD ?(4 分)

(2)如图建立直角坐标系

A(0?,?? 1, ? ?0) , B( 3?,?0?,?0) , D(0?,?3?,?0) , E (0?,?? 1,1) ??
求得平面 AED 法向量为

?? n1 ? (1, ? ?0?,?0)
平面 BED 法向量为

z

?? ? n2 ? ( 3?,???,??)
∴平面 PBD 与平面 PCD 所成的角的余弦值为

P E D A B x
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cos ? ?

3 15 ? 10 20

?(8 分)

O C

y

??? ? ? ? ??1) (3) 设 PO ? h , EB ? ( 3?,1,

可求得平面 PCD 法向量为

n2 ? (h?,? 3h?,?3 3)
(其他方法相应给分) 20. (1) n ? 1 时, a1 ?

∴ EB ? n1 ? 0

??? ? ??

∴h ?

3 ???? 2

(12 分)

1 2 (a1 ? 1) 2

得 a1 ? 1

当 n ? 2 时, a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?1 ? 得 an ?

1 2 (an?1 ? n ? 1) 2

1 2 2 (an ? an ?1 ? 1) 2
2 2

化为 (an ? 1) ? an ?1 ? 0

an ? an ?1 ? 1 或 an ? an ?1 ? 1

(n ? 2)

又因为 ?an ? 单调递增数列,故 an ? an ?1 ? 1 所以 ?an ? 是首项是 1,公差为 1 的等差数列, an ? n ??????6 分

n为奇数, ? ?an?1, cn ? ? an?1 ? ?an?1 ? 2 ? 1 n为偶数
T2 n ? (2 ? 4 ? ? ? 2n) ? [1? 21 ? 3 ? 23 ? ?(2n ? 1) ? 22 n?1 ] ? n
= n(n ? 1) ? [1? 2 ? 3 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2
1 3 2 n ?1

]? n
① ②

记 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? ? (2n ? 1) ? 2
1 3

2 n ?1

4Sn ? 1? 23 ? 3 ? 25 ? ? (2n ? 1) ? 22 n?1
由①-②得

?3Sn ? 2 ? 24 ? 26 ? ? ? 22 n ? (2n ? 1)22 n ?1

?3Sn ? 22 ? 24 ? 26 ? ? ? 22 n ? (2n ? 1)22 n?1 ? 2

?3Sn ?

4(1 ? 4n ) ? (2n ? 1)22 n ?1 ? 2 1? 4

4(1 ? 4n ) (2n ? 1)22 n ?1 2 Sn ? ? ? 9 3 3
Sn ? (6n ? 5)22 n ?1 10 ? 9 9
第 7 页 共 9 页

(6n ? 5)22n?1 10 T2n ? ? n 2 ? 2n ? 9 9

?????13 分

21. 双曲线渐近线为 y ?

x x 与y?? m m xB m ) , xP ? x ?x xA ? xB ??? yP ? A B 2 2 m


所以设 A( x A ,

xA m

) , B ( xB , ?

又 AB ? 2 m ,点 P 的轨迹方程为

x2 ? y2 ? 1 2 m

所以 m ? 1 时 P 的轨迹为圆 m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆 0 ? m ? 1 时 P 的轨迹为焦点在 y 轴上的椭圆 把 D(-2,0)代入

(6 分)

x2 x2 2 ? y ? 1 ? y2 ? 1 ,得 P 的轨迹的 m2 4

?? ①

(2)设直线 DS 为 y ? k ( x ? 2)?? ② 联立(1) (2)得 (1 ? 4k ) x ?16 k x ? 4k ?1 ? 0
2 2 2 2

设点 S ( x1 , y1 ) ,有 xD ? x1 ?

?16k 2 , 1 ? 4k 2

x1 ?

2 ? 8k 2 4k , y1 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

则直线 ST 为 y ? ? 化简为: y ? ?

1 ( x ? x1 ) ? y1 k


x 2 ? 4k 2 ? k k (1 ? 4k 2 )

4 ? 2 ? 4k 2 ? 4 2 32k 2 ? 16 x? ?4?0 联立①,③得 (1 ? 2 ) x ? 2 2 k k (1 ? 4k 2 ) k 2 ?1 ? 4k 2 ?
2

x1 ? xT ?

16 ? 32k 2 (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 )

xT ?

16 ? 32k 2 2 ? 8k 2 8k 4 ? 2 k 2 ? 8 ? ? (4 ? k 2 )(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2 4k 4 ? 17 k 2 ? 4
第 8 页 共 9 页

? 2?

36k 2 4k 4 ? 17 k 2 ? 4

( 因为三点不同,易知 k ? 0 )

? 2?

36k 2 36 36 14 ? ? 2? ? 4 2 4k ? 17k ? 4 4(k 2 ? 1 ) ? 17 25 25 k2
14 , ??) ?? (14 分) 25

所以 xT 的取值范围为 [

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