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高中数学选修2-2第二章


第二章 推理与证明目录
§2.1.1 合情推理---归纳推理(新授课) §2.1.1 合情推理――类比推理(新授课) §2.1.2 §2.2.1 §2.2.1 §2.2.2 §2.3 §2.3 演绎推理(新授课) 综合法和分析法(一) (新授课) 综合法和分析法(二) (新授课) 反证法(新授课) 数学归纳法(一) (新授课) 数学归纳法(二) (新授课)
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br />选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(一) 选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(一)答案 选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(二) 选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(二)答案 选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(三) 选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(三)答案

第二章 推理与证明
一、 课程目标: “推理与证明”是数学的基本思维过程,也是人们学习和生活中 经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理 是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经 验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳、类比是合情推理常用的 思维方法。在解决问题的过程中,合情推理是根据已有的事实和正确 的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程,培养和提高学 生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的主要目标, 合情推 理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证明通常包括逻辑证明和实 验、实践证明,数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证,即在前 提正确的基础上,通过正确使用推理规则得出结论。 二、 学习目标 1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例, 了结合情推理的含 义, 能利用归纳和类比进行简单的推理, 体会并认识合情推 理在数学发现中的作用。 2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例, 体会演绎推理的重 要性, 掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一些简 单的推理。 3、 通过具体实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差 异。 4、 结合已学过的数学实例, 了解直接证明的两种基本方法――

分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 5、 结合已学过的数学实例, 了解间接证明的一种基本方法―― 反证法;了解反证法的思考过程、特点。 6、 了解数学归纳法的原理, 能用数学归纳法证明一些简单的数 学命题。 三、 本章知识结构框图:
推理与证明

推理

证明

合情推理

演绎推理

直接证明

间接证明

数学归纳法

归纳

综合法 分析法

反证法

类比

四、 课时安排 本章共安排了 3 个小节,教学时间约需 8 课时,具体内容和课时分配 如下: 2.1 合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明 2.3 数学归纳法 约 3 课时 约 3 课时 约 2 课时

§2.1.1 合情推理-归纳推理(新授课)
一、教学目标: 知识与技能:掌握归纳推理的技巧,并能运用解决实际问题。 过程与方法:通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 情感、态度与价值观:感受数学的人文价值,提高学生的学习兴趣,使其体会到 数学学习的美感。 二、教学重点与难点 重点:归纳推理及方法的总结。 难点:归纳推理的含义及其具体应用。 三、教学过程: (一)、问题情境 1、原理初探 引入: “阿基米德曾对国王说,给我一个支点,我将撬起整个地球! ” 提问:大家认为可能吗?他为何敢夸下如此海口?理由何在? 探究:他是怎么发现“杠杆原理”的? 从而引入两则小典故: A:一个小孩,为何轻轻松松就能提起一大桶水? B:修筑河堤时,奴隶们是怎样搬运巨石的? 正是基于这两个发现,阿基米德大胆地猜想,然后小心求证,终于发现了伟大的 “杠杆原理” 。 思考:整个过程对你有什么启发? 启发:在教师的引导下归纳出: “科学离不开生活,离不开观察,也离不开猜想 和证明” 。 归纳推理的发展过程
生活 观察 猜想 证明

2、皇冠明珠 ―― “歌德巴赫猜想” 。 相关链接: 世界近代三大数学难题之一。 哥德巴赫是德国一位中学教师,也是一位著名的数 学家,生于 1690 年,1725 年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742 年,哥德巴赫 在教学中发现, 每个不小于 6 的偶数都是两个素数 (只能被 1 和它本身整除的数) 之和。如 6=3+3,12=5+7 等等。公元 1742 年 6 月 7 日哥德巴赫写信给当时 的大数学家欧拉, 欧拉在 6 月 30 日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的, 但他不能证明。 叙述如此简单的问题, 连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明, 这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学 家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作, 例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等。有人对 33×108 以内且大过 6 之偶数――进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学 家的努力。 从此, 这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。 200 年过去了, 没有人证明它。 哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的 "明珠"。 人们对哥德巴赫猜想难题的热情,历经两百多年而不衰。世界上许许

多多的数学工作者,殚精竭虑,费尽心机,然而至今仍不得其解。到了 20 世纪 20 年代,才有人开始向它靠近。1920 年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证 明,得出了一个结论:每一个比大偶数 n(不小于 6)的偶数都可以表示为(99) 。 这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9 十 9)开始,逐步减少每个 数里所含质数因子的个数, 直到最后使每个数里都是一个质数为止,这样就证明 了哥德巴赫猜想。 思考:其他偶数是否也有类似的规律? 讨论:组织学生进行交流、探讨。 检验:2 和 4 可以吗?为什么不行? 归纳:通过刚才的探究,由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。 (二) 、数学建构 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点; 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: 实验.观察 概括.推广 猜测一般性结论 (三) 、师生活动 例 1、前提:蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是 用肺呼吸的。蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物. 结论:所有的爬行动物都是用肺呼吸的。 例 2、前提:三角形的内角和是 1800,凸四边形的内角和是 3600,凸五边形的内 角和是 5400,?? 结论:凸 n 边形的内角和是(n—2)×1800。
2 2 ?1 2 2 ? 2 2 2 ? 3 ? , ? , ? ,? 3 3 ?1 3 3 ? 2 3 3 ? 3 b b+m 由此我们猜想: ? (a, b, m均为正实数)。 a a+m 探究:上述结论都成立吗? 强调:归纳推理的结果不一定成立! (四) .提高巩固

例 3、

? 的第一项a1 ? 1, 且a n?1 ? 例4:已知数列 a n ?
数列的通项公式。

an (n ? 1,2,......),试归纳出这个 1 ? an

探索:先让学生独立进行思考。 活动:鼓励学生说出自己的解题思路。 活动:鼓励其他同学给予评价,对在哪里?错在哪里?还有没有更好的方法? 2 1 例4拓展 : a1 ? 2, a 2 ? 1, a 3 ? , a 4 ? , 求a n ? ? 3 2 思考:怎么求 an ?组织学生进行探究,寻找规律。 归纳:由学生讨论,归纳技巧,得到技巧①和②.

技巧①:有整数和分数时,往往将整数化为分数. 技巧②:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分 的变化规律. (五) 、课堂练习:课本77页1.2 (六) 、布置作业:习题2.1:A组1

B组1

(七) 、课堂小结 1、归纳推理是由部分到整体,从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多, 越具有代表性, 那么推广的一般性命题也会越可靠,它是一种发现一般性规律的 重要方法。 2、归纳推理的一般步骤: 通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般命题(猜想) 证明 四.课后反思

§2.1.1 合情推理――类比推理(新授课)
一、教学目标: 知识与能力: 通过对已学知识的回顾, 认识类比推理这一种合情推理的基本方法, 并把它用于对问题的发现中去。 过程与方法:类比推理是从特殊到特殊的推理, 是寻找事物之间的共同或相似性 质,类比的性质相似性越多,相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从 而类比得出的结论就越可靠。 情感态度与价值观: 1、正确认识合情推理在数学中的重要作用,养成从小开始认真观察事物、分析 问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质,善于发现问题,探求新知识。 2、认识数学在日常生产生活中的重要作用,培养学生学数学,用数学,完善数 学的正确数学意识。 二、教学重点与难点: 重点:了解合情推理的含义,能利用类比进行简单的推理。 难点:用类比进行推理,做出猜想。 三、教学过程: (一) .问题情境 从一个传说说起: 春秋时代鲁国的公输班 (后人称鲁班, 被认为是木匠业的祖师) 一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手,这桩倒霉事却使他发明了锯子. 他的思路是这样的: 茅草是齿形的; 茅草能割破手. 我需要一种能割断木头的工具; 它也可以是齿形的. 这个推理过程是归纳推理吗? (二) .数学活动 我们再看几个类似的推理实例。 例 1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质: 猜想不等式的性质: (1) a=b?a+c=b+c; (1) a>b?a+c>b+c; (2) a=b? ac=bc; (2) a>b? ac>bc; 2 2 (3) a=b?a =b ;等等。 (3) a>b?a2>b2;等等。 问:这样猜想出的结论是否一定正确? 例 2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合. 球的定义:到一个定点的距离等于定长的点的集合. 圆 球 弦←→截面圆 直径←→大圆 周长←→表面积 面积←→体积

圆的性质

球的性质

圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线 于弦 垂直于截面圆 与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离 与球心距离相等的两截面圆相等;与球 不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 心距离不等的两截面圆不等,距球心较 近的截面圆较大 圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心 球的切面垂直于过切点的半径;经过球 且垂直于切线的直线必经过切点 心且垂直于切面的直线必经过切点 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆 经过切点且垂直于切面的直线必经过球 心 心 上述两个例子均是这种由两个(两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演 出他们在其他方面也相似或相同;或其中一类对象的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ⑶ 检验猜想。即 观察.比较 联想.类推 猜想新结论 例 3.在平面上,设 ha,hb,hc 是三角形 ABC 三条边上的高.P 为三角形内任一点,P 到 相应三边的距离分别为 pa,pb,pc,我们可以得到结论: pa pb pc ? ? ?1 ha hb hc 试通过类比,写出在空间中的类似结论.

(三) .巩固提高 1、已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的 对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更 一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------2、类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

直角三角形 ∠C=90° 3 个边的长度 a,b,c 2 条直角边 a,b 和 1 条斜边 c

三个面两两垂直的四面体 ∠PDF=∠PDE=∠EDF=90° 4 个面的面积 S1,S2,S3 和 S 3 个“直角面” S1,S2,S3 和 1 个“斜 面” S

3、 (2004,北京)定义“等和数列” :在一个数列中,如果每一项与它的后一项 的和都为同一个常数, 那么这个数列叫做等和数列, 这个常数叫做该数列的公和。 已 知 数 列 {a n } 是 等 和 数 列 , 且 a1 ? 2 , 公 和 为 5 , 那 么 a18 的 值 为 ______________,这个数列的前 n 项和 Sn 的计算公式为________________ (四) 、课堂小结 1、类比推理是从特殊到特殊的推理,是寻找事物之间的共同或相似性质。类比 的性质相似性越多, 相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关,从而类比得 出的结论就越可靠。 2、比推理的一般步骤: ①找出两类事物之间的相似性或者一致性。 ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) (五) 、布置作业:习题2.1A组 4 四、课后反思

§2.1.2
一、教学目标:

演绎推理(新授课)

知识与技能:理解演绎推理的概念,掌握演绎推理的四种形式。体会它们的重要 性, 并能运用它们进行一些简单的推理, 了解合情推理与演绎推理的区别与联系。 过程与方法:通过学习演绎推理,体会推理的规则,合乎逻辑地进行推理。 情感、态度与价值观:通过演绎推理的训练,认识数学的人文价值,培养理性思 维,形成审慎思维的习惯。 二、教学重点与难点: 重点:了解演绎推理的含义,能利用“三段论”进行简单的推理. 难点:分析证明过程中包含的“三段论”形式. 三、教学过程: (一) 、课前复习与练习: 1. 练习: ① 对于任意正整数 n,猜想(2n-1)与(n+1)2 的大小关系? ②在平面内,若 a ? c, b ? c ,则 a // b . 类比到空间,你会得到什么结论? (结论:在空间中,若 a ? c, b ? c ,则 a // b ;或在空间中,若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? . 2. 讨论:以上推理属于什么推理,结论正确吗? 合情推理的结论不一定正确, 有待进一步证明,有什么能使结论正确的推理形式 呢? 3. 导入:① 所有的金属都能够导电,铜是金属,所以 ;

② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行,冥王星是太阳系的大行星,因 此 ; .

③ 奇数都不能被 2 整除,2007 是奇数,所以

(填空→讨论:上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗?→课题: 演绎推理) (二) 、讲授新课: 1、演绎推理的概念: (1) 、概念:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推 理称为演绎推理。 特点:由一般到特殊的推理。

(2) 、讨论:演绎推理与合情推理有什么区别? 合情推理 ?
?归纳推理:由特殊到一般 ;演绎推理:由一般到特殊. ?类比推理:由特殊到特殊

(3) 、提问:观察课本 78 页引例,它们都由几部分组成,各部分有什么特点? 所有的金属都导电 已知的一般原理 大前提 铜是金属 特殊情况 小前提 铜能导电 根据原理,对特殊情况做出的判断 结论

“三段论”是演绎推理的一般模式: 第一段:大前提——已知的一般原理; 第二段:小前提——所研究的特殊情况; 第三段:结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. (4) 、举例:举出一些用“三段论”推理的例子. 2、典例剖析: 例 1:证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数. 简析:证明方法(定义法、导数法) 指出:大前题、小前题、结论. 例 2:在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中 点 M 到 D,E 的距离相等. 分析:证明思路 板演:证明过程 指出:大前题、小前题、结论.

1 思考:因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则结论是什么? 2

(结论→指出:大前提、小前提 → 讨论:结论是否正确,为什么?) 讨论: 演绎推理怎样才结论正确? (只要前提和推理形式正确, 结论必定正确) 3. 比较:合情推理与演绎推理的区别与联系? (从推理形式、结论正确性等角度比较;演绎推理可以验证合情推理的结论,合 情推理为演绎推理提供方向和思路.) (三)、巩固练习:1. 课本:81 页 2、3 题 (四) 、布置作业:课本西提 2.1 四、课后反思: A组 2. 探究:课本 82 页 第1题 阅读与思考

第 6 题,B 组

§2.2.1
一、教学目标:

综合法和分析法(一) (新授课)

知识与技能:理解综合法证明和分析法证明的概念及它们的区别, 能熟练运用综 合法,分析法证题。 过程与方法:通过学习综合法与分析法,体会两种方法的相辅相成、辩证统一的 关系。 情感、态度与价值观:通过综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽 象性、科学性,养成审慎思维的习惯。 二、教学重点与难点: 重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 三、教学过程: (一) 、复习准备: 1. 已知 “若 a1 , a2 ? R? ,且 a1 ? a2 ? 1 ,则
1 1 ? ? 4” ,试请此结论推广猜想. a1 a2
1 1 1 ? ? .... ? ? n2 ) a1 a2 an

(答案:若 a1 , a2 .......an ? R? ,且 a1 ? a2 ? .... ? an ? 1 ,则 2. 已知 a, b, c ? R? , a ? b ? c ? 1 ,求证: ? ? ? 9 .
1 a 1 b 1 c

学生完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? (二) 、讲授新课: 1.例题训练: 例 1:已知:a, b, c 是不全相等的正数, 求证:a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) 板演证明过程(注意等号的处理) 讨论:证明形式的特点 结论:综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推 理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示: P ? Q1
Q1 ? Q 2 Q2 ? Q3

?

Qn ? Q

要点:顺推证法;由因导果. 练习:已知 a,b,c 是全不相等的正实数,求证
b ?c ?a a ?c ?b a ?b ?c ? ? ?3. a b c

例 2:在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 A、B、C 成等 差数列,a、b、c 成等比数列. 求证:为△ABC 等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? 板演:证明过程 讨论:证明过程的特点. 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内 角和) 2. 课堂练习: (1) A, B 为锐角, tan A ? tan B ? 3 tan A tan B ? 3 ,求证: A ? B ? 60? . (提示: 、 且 算 tan( A ? B) ) (2) 、已知 a ? b ? c, 求证:
1 1 4 ? ? . a ?b b ?c a ?c

(三) 、课时小结:综合法是从已知的 P 出发,得到一系列的结论 Q1 , Q2, ??? ,直 到最后的结论是 Q. 相关证明问题. (四) 、巩固练习: 1. 求证:对于任意角θ , cos4 ? ? sin 4 ? ? cos 2? . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等

2. ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 . ? ? a ?b b?c a ?b?c

(五)布置作业:习题 2.2 A 组 2、3 题. 四、课后反思:

§2.2.1
一、教学目标:

综合法和分析法(二) (新授课)

知识与技能:理解综合法证明和分析法证明的概念及它们的区别, 能熟练运用综 合法,分析法证题。 过程与方法:通过学习综合法与分析法,体会两种方法的相辅相成、辩证统一的 关系。 情感、态度与价值观:通过综合法与分析法的学习,体会数学思维的严密性、抽 象性、科学性,养成审慎思维的习惯。 二、教学重点与难点 重点:会用分析法证明问题;了解分析法的思考过程. 难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 三、教学过程: (一) 、复习引入: 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式
a?b ? ab (a ? 0, b ? 0) . 2

(讨论:分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) (二) 、讲授新课: 1. 例题训练: 例 1:求证 3 ? 5 ? 2 ? 6 . 讨论:能用综合法证明吗?如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? 再讨论:能用综合法证明吗? 比较:两种证法 引出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后, 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理 等)为止. 框图表示: ? Q ? P1
P1 ? P2 P2 ? P3 得到一个很明 显成立的条件

要点:逆推证法;执果索因.

跟踪练习:设 x > 0,y > 0,证明不等式: ( x 2 ? y 2 ) 2 ? ( x3 ? y 3 ) 3 . 讨论方法:分别运用分析法、综合法证明. 例 2:课本 85 页例 1: 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) 例 3:课本 88 页例 3: 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步 探求) 2. 课堂练习: 证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等, 那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示:设截面周长为 l,则周长为 l 的圆的半径为
l 4 l 4 l l ,截面积为 ? ( )2 ,周长 2? 2? l 2 l ) > ( )2 . 2? 4

1

1

为 l 的正方形边长为 ,截面积为 ( )2 ,问题只需证: ? ( (四) 、课时小结:

分析法由要证明的结论 Q 思考,一步步探求得到 Q 所需要的已知 P , P2, ??? , 1 直到所有的已知 P 都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或 者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可 知” (综合) ,双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通 已知条件和结论的途径。 (五) 、巩固练习:
c 1. 设 a, b, c 是的△ABC 三边, 是三角形的面积, S 求证: 2 ? a2 ? b2 ? 4ab ? 4 3S .

略证:正弦、余弦定理代入得: ?2ab cos C ? 4ab ? 2 3ab sin C ,
? 即证:2 ? cos C ? 2 3 sin C , 即: 3sin C ? cos C ? 2 , 即证:sin(C ? ) ? 1(成立) .
6

2. 作业:课本 89 页 练习 2、3 题. 四、课后反思:

§2.2.2
一、教学目标

反证法(新授课)

知识与技能:理解反证法的概念,掌握反证法证题的步骤。 过程与方法:通过反证法的学习,体会直接证明与间接证明之间的辩证关系,体 现对立与统一的思想观点和方法。 情感、 态度与价值观: 通过反证法的学习, 培养审慎思维的习惯, 开拓数学视野, 认识数学的科学价值和人文价值。 二、教学重点与难点 重点:会用反证法证明问题;了解反证法的思考过程. 难点:根据问题的特点,选择适当的证明方法. 三、教学过程: (一)、课前复习: 1. 讨论: 三枚正面朝上的硬币, 每次翻转 2 枚, 你能使三枚反面都朝上吗? (原 因:偶次) 2. 提出问题: 平面几何中,我们知道这样一个命题: “过在同一直线上的三点

A、B、C 不能作圆”. 讨论如何证明这个命题?
3. 给出证法:先假设可以作一个⊙O 过 A、B、C 三点,
A

则 O 在 AB 的中垂线 l 上, 又在 BC 的中垂线 m 上, O 即 O 是 l 与 m 的交点。
C

O

D

P B

但 ∵A、B、C 共线,∴l∥m(矛盾) ∴ 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. (二) 、讲授新课: 1. 反证法概念及步骤: (1)练习:用反证法证明:如果 a>b>0,那么 a ? b (2)反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立。 证明基本步骤: 假设原命题的结论不成立 → 从假设出发,经推理论证得到矛 盾 → 矛盾的原因是假设不成立,从而原命题的结论成立 应用关键:在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与 定义、公理、定理、事实矛盾等).

方法实质: 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,即由一个 命题与其逆否命题同真假, 通过证明一个命题的逆否命题的正确,从而肯定原命 题真实. 注:结合准备题分析以上知识. 2. 例题练习: 例 1:求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析:如何否定结论? → 如何从假设出发进行推理? → 得到怎样的矛 盾? 与教材不同的证法:反设 AB、CD 被 P 平分,∵P 不是圆心,连结 OP, 则由垂径定理:OP?AB,OP?CD,则过 P 有两条直线与 OP 垂直(矛盾) ,∴不 被 P 平分. 例 2:求证 3 是无理数. ( 同上分析 → 板演证明,提示:有理数可表示为
m/n )

证:假设 3 是有理数,则不妨设 3 ? m / n (m,n 为互质正整数) , 从而: (m / n)2 ? 3 , m2 ? 3n2 ,可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p(p 是正整数) ,则 3n2 ? m2 ? 9 p2 ,可见 n 也是 3 的倍数. 这样,m, n 就不是互质的正整数(矛盾). ∴ 3 ? m / n 不可能,∴ 3 是无 理数. 跟踪练习:如果 a ? 1 为无理数,求证 a 是无理数. 提示:假设 a 为有理数,则 a 可表示为 p / q ( p, q 为整数) ,即 a ? p / q . 由 a ? 1 ? ( p ? q) / q ,则 a ? 1 也是有理数,这与已知矛盾. ∴ a 是无理数.

(四).课时小结:反证法是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛 盾, 从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围 “至多” ( 、 “至少” 、 “均是” 、 “不都”“任何”“唯一”等特征的问题) 、 、 (五) 、巩固练习: 1. 练习:课本 91 页 1、2 题 作业:课本习题 2.2 A 组 四、课后反思 第 4 题.

§2.3
一、教学目标:

数学归纳法(一) (新授课)

知识与技能:理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的整体步骤。 过程与方法:通过对数学归纳法的学习,体会用不完全归纳发现规律,用数学归 纳法证明规律的途径。 情感、态度与价值观:通过对数学归纳法的学习,开拓数学视野,认识数学归纳 法的科学价值,体会数学的美学意义。 二、教学重点与难点: 重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 难点:数学归纳法中递推思想的理解. 三、教学过程: (一) 、课前复习: 1. 问题 1: 在数列 ?an ?中,a1 ? 1, a n ?1 ?
1 2

an (n ? N ? ) ,先算出 a2,a3,a4 的值, 1 ? an
1 3 1 4 1 n

再推测通项 an 的公式. (答案:a2 ? ,a3 ? ,a4 ? , 由此得到:an ? , n ? N * ) 2. 问题 2:多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件: (1)第一张牌被推倒; (2)骨 牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. (二) 、讲授新课: 1.数学归纳法概念: (1) 、归纳法定义:由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点:由特殊→一般. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法。 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法. (2) 讨论:问题 1 中,如果 n=k 猜想成立,那么 n=k+1 是否成立?对所有的 、 正整数 n 是否成立? (3) 提出数学归纳法两大步: 、 a:归纳奠基:证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立; b:归纳递推:假设 n=k(k≥n0, k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成 立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

原因:在基础和递推关系都成立时,可以递推出对所有不小于 n0 的正整数 n0+1,

n0+2,?,命题都成立.
关键:从假设 n=k 成立,证得 n=k+1 成立. 2. 例题训练: 例 1: 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ?
n(n ? 1)(2n ? 1) , n ? N* . 6

分析:第 1 步如何写?n=k 的假设如何写? 待证的目标式是什么?如何从假 设出发? 小结:证 n=k+1 时,需从假设出发,对比目标,分析等式两边同增的项,朝 目标进行变形. 跟踪联系: 求证: 1? 4 ? 2 ? 7 ? 3 ?10 ? ? ? n(3n ? 1) ? n(n ? 1)2 , n ? N * .

× 例 2:设 a n = 1 2 + 2× 3 +?+ n(n ? 1) (n∈N*),求证:a n < (n+1) 2 .

1 2

关键:a k ?1 < (k+1) 2 + (k ? 1)(k ? 2) = (k+1) 2 + k 2 ? 3k ? 2 < (k+1) 2 +(k+ ) = (k+2) 2 小结:放缩法,对比目标发现放缩途径. 变式训练:求证 a n > n(n+1)
1 2

1 2

1 2

1 2

3 2

1 2

(四) 课时小结: 、 数学归纳法证题必须明确写出两个步骤与一个结论, 注意 “递 推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉” ;从 n=k 到 n=k+1 时,变形 方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. (五) 、巩固练习: 课本 95 页 练习 1、2 题 (六) 、布置作业:课本 96 页 四、课后反思 习题 2.3 B 组 1、2 题

§2.3
一、教学目标:

数学归纳法(二) (新授课)

知识与技能:了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导,理解数学归纳法 的操作步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 过程与方法:通过对数学归纳法的学习,体会数学归纳法证明规律的途径。 情感、态度与价值观:通过对数学归纳法的学习,开拓数学视野,认识数学归纳 法的科学价值,体会数学的美学意义。 二、教学重点与难点 重点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 难点:经历试值、猜想、归纳、证明的过程来解决问题. 三、教学过程: (一) 、课前练习与复习 1.已知 f (n) ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ? 2n ? 1? , n ? N * ,猜想 f (n) 的表达式,并给出证明? 过程:试值 f (1) ? 1 , f (2) ? 4 ,?,→ 猜想 f (n) ? n2 2. 提问:数学归纳法的基本步骤? (二) 、讲授新课: 1. 例题讲解: 例 1:已知数列
1 1 1 1 , , , ???, ,猜想 Sn 的表达式,并证明. 2 ? 5 5 ? 8 8 ? 11 (3n ? 1) ? (3n ? 2)

→ 用数学归纳法证明.

分析:如何进行猜想?(试值 S1 , S2 , S3 , S4 →猜想 Sn ) → 学生练习用数学归纳 法证明 讨论:如何直接求此题的 Sn ? (裂项相消法)

小结:探索性问题的解决过程(试值→猜想、归纳→证明) 跟踪练习:是否存在常数 a、b、c 使得 等式 1? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ? 5 ? ...... ? n(n ? 2) ? 试证明你的结论. 解题步骤:求解 n=1,2,3, → 猜想 a、b、c → 数学归纳法证明
1 n(an2 ? bn ? c) 对一切自然数 n 都成立。 6

例 2、已知 ai ? 0 (i ? 1,2,?, n) ,考察 (i) a1 ?

1 ?1 a1

1 1 (ii) (a1 ? a2 )( ? ) ? 4 a1 a2

1 1 1 (iii) (a1 ? a2 ? a3 )( ? ? ) ? 9 之后,归纳出对 a1 , a2 ,?, an 也成立的类似不等式,并证明你 a1 a2 a3

的结论.

例 3、是否存在常数 a、b、c,使得等式 1 ?22 ? 2 ? 32 ? ..... ? n(n ? 1)2 ?
n(n ? 1) (an2 ? bn ? c) 对一切自然数 n 都成立?并证明你 12

的结论(答案:a=3,b=11,c=10)

(四) 、巩固练习: 1. 平面内有 n 个圆, 任意两个圆都相交于两点,任何三个圆都不相交于同一点, 求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2-n+2 个部分.

2. 是否存在正整数 m,使得 f(n)=(2n+7) n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整 ·3 除?若存在,求出最大的 m 值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由. (答 案:m=36)

3. 试证明面值为 3 分和 5 分的邮票可支付任何 n (n ? 7, n ? N ) 的邮资. 证明: (1)当 n ? 8,9,10 时,由 8 ? 3 ? 5,9 ? 3 ? 3 ? 3,10 ? 5 ? 5 可知命题成立; (2)假设 n ? k (k ? 7, k ? N ) 时,命题成立. 则 当 n ? k ? 3 时,由(1)及归纳假设,显然 n ? k ? 3 时成立.根据(1)和(2) , 可知命题成立. 小结:新的递推形式,即(1)验证 P(n0 ), P(n0 ? 1),?, P(n0 ? l ? 1) 成立 (l ? N ) ; (2) 假设 P(k ) 成立,并在此基础上,推出 P(k ? l ) 成立. 根据(1)和(2),对一切自然数
n (? n0 ) ,命题 P (n) 都成立.

(五) 、课时小结: 探索性问题的解决模式为“一试验→二归纳→三猜想→四证明”. (六) 、布置作业:课本 96 页 四、课后反思 习题 2.3 A 组 1、2 题

选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(一)
一、选择题 1
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数列 2,5,11, 20, x, 47, ?中的 x 等于( A
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) D
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B

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C

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2

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设 a, b, c ? (??, 0), 则 a ? A C
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1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a
B D
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都不大于 ?2 至少有一个不大于 ?2

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都不小于 ?2 至少有一个不小于 ?2

3

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已知正六边形 ABCDEF ,在下列表达式① BC ? CD ? EC ;② 2BC ? DC ; ③ FE ? ED ;④ 2ED ? FA 中,与 AC 等价的有( A
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??? ??? ??? ? ? ?

??? ???? ?

??? ??? ? ?
1个

??? ??? ? ?
C
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??? ?



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B

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函数 f ( x) ? 3 sin( 4 x ? A C
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?

)在[0, ] 内( 4 2
B D
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?

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只有最大值 只有最大值或只有最小值

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只有最小值 既有最大值又有最小值 )

5

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如果 a1 , a2 ,? ? ?a8 为各项都大于零的等差数列,公差 d ? 0 ,则( A C
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a1a8 ? a4 a5 a1 ? a8 ? a4 ? a5

B

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a1a8 ? a4 a5
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D

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a1a8 ? a4 a5

6

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若 log2[log3 (log4 x)] ? log3[log 4 (log 2 x)] ? log 4[log 2 (log3 x)] ? 0 , x ?y ?z ? ( ) 则 A
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B

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105

C

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D

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58
)

7

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函数 y ?

1 x

在点 x ? 4 处的导数是 (

A

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1 8
2

B

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?

1 8
2

C

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1 16

D

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?

1 16

二、填空题 1 2
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从 1 ? 1 ,2 ? 3 ? 4 ? 3 ,3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 5 中得出的一般性结论是_____________
2
2 已知实数 a ? 0 ,且函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? (2 x ?

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1 ) 有最小值 ?1 ,则 a =__________ a

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已知 a, b 是不相等的正数,x ?
m?1

a? b 2

则 , y ? a ? b , x, y 的大小关系是_________

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若正整数 m 满足 10

? 2512 ? 10m ,则 m ? __________ ____.(lg2 ? 0.3010 )
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若数列 ?an ? 中, 1 ? 1, a2 ? 3 ? 5, a3 ? 7 ? 9 ? 11, a4 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19,... 则 a10 ? ____ a

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三、解答题 1
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观察(1) tan100 tan 200 ? tan 200 tan 600 ? tan 600 tan100 ? 1; (2) tan 5 tan10 ? tan10 tan 75 ? tan 75 tan 5 ? 1
0 0 0 0 0 0

由以上两式成立,推广到一般结论,写出你的推论

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设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 中, a, b, c 均为整数,且 f (0), f (1) 均为奇数 求证: f ( x) ? 0 无整数根
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?A B C的三个内角 A, B, C 成等差数列,求证:

1 1 3 ? ? a?b b?c a?b?c

4

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设 f ( x) ? sin(2 x ? ? )(?? ? ? ? 0), f ( x) 图像的一条对称轴是 x ? (1)求 ? 的值; (2)求 y ? f (x) 的增区间; (3)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 与函数 y ? f (x) 的图象不相切
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?
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选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(一)答案
一、选择题 1 2 3
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B D D

5 ? 2 ? 3,11 ? 5 ? 6, 20 ? 11 ? 9, 推出 x ? 20 ? 12, x ? 32
1 1 1 a ? ? b ? ? c ? ? ?6 ,三者不能都小于 ?2 b c a ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ① BC ? CD ? EC ? BD ? EC ? AE ? EC ? AC ;
② 2BC ? DC ? AD ? DC ? AC

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??? ???? ?

???? ???? ??? ?

??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ?

③ FE ? ED ? FD ? AC ;④ 2ED ? FA ? FC ? FA ? AC ,都是对的 4 5 6
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??? ??? ? ?

??? ?

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D

T?

2? ? ? ? , [0, ] 已经历一个完整的周期,所以有最大、小值 4 2 2

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B 由 a1 ? a8 ? a4 ? a5 知道 C 不对,举例 an ? n, a1 ? 1, a8 ? 8, a4 ? 4, a5 ? 5 C

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log2[log3 (log4 x)] ? 0,log3 (log4 x) ? 1,log4 x ? 3, x ? 43 ? 64 log3[log4 (log2 x)] ? 0,log4 (log2 x) ? 1,log2 x ? 4, x ? 24 ? 16
log4[log2 (log3 x)] ? 0,log2 (log3 x) ? 1,log3 x ? 2, x ? 9
x ? y ? z ? 89

7

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D

1 ? 1 1 ?3 1 1 1 ' 2 y? ?x ,y ?? x 2 ?? , y '(4) ? ? ?? 2 16 x 2x x 2? 4 4

二、填空题 1 2
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n ? n ? 1 ? ... ? 2n ?1 ? 2n ? ... ? 3n ? 2 ? (2n ?1)2 , n ? N * 注意左边共有 2n ? 1 项
1

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1 1 1 有最小值, a ? 0 , 则 对称轴 x ? , f ( x) min ? f ( ) ? ?1 a a a 1 1 2 1 1 2 2 即 f ( ) ? a ? ( ) ? 2 ? ? a ? ? 0, a ? ? ?1, a ? a ? 2 ? 0, (a ? 0) ? a ? 1 a a a a a f ( x) ? ax 2 ? 2 x ? a ?

3

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x? y

y 2 ? ( a ? b )2 ? a ? b ?

2(a ? b) ( a ? b )2 ? ? x2 2 2

4 5

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155 1000

512lg 2 ? m ? 512lg 2 ? 1,154.112 ? m ? 155.112, m ? N * , m ? 155
前 10 项共使用了 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? 10 ? 55 个奇数,a10 由第 46 个到第 55 个奇

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数的和组成,即 a10 ? (2 ? 46 ? 1) ? (2 ? 47 ? 1) ? ... ? (2 ? 55 ? 1) ?

10(91 ? 109) ? 1000 2

三、解答题 1
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若 ? , ? , ? 都不是 90 ,且 ? ? ? ? ? ? 900 ,
0

则 tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? 1 2
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证明:假设 f ( x) ? 0 有整数根 n ,则 an2 ? bn ? c ? 0,(n ? Z ) 而 f (0), f (1) 均为奇数,即 c 为奇数, a ? b 为偶数,则 a, b, c 同时为奇数‘ 或 a , b 同时为偶数, c 为奇数,当 n 为奇数时, an ? bn 为偶数;当 n 为偶数时,
2

an 2 ? bn 也为偶数,即 an2 ? bn ? c 为奇数,与 an2 ? bn ? c ? 0 矛盾 ? f ( x) ? 0 无整数根
3
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证明:要证原式,只要证

a?b?c a ?b?c c a ? ? 3,即 ? ?1 a?b b?c a?b b?c

即只要证

bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? 1, 而 A ? C ? 2B, B ? 600 , b2 ? a2 ? c2 ? ac 2 ab ? b ? ac ? bc

?
4

bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab bc ? c 2 ? a 2 ? ab ? ? ?1 ab ? b2 ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? ac ? ac ? bc ab ? a 2 ? c 2 ? bc

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解: (1)由对称轴是 x ?

?
8

,得 sin(

?
4

? ? ) ? ?1,

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, ? ? k? ?

?
4



而 ?? ? ? ? 0 ,所以 ? ? ? ?

3 ? 3 ? ? ), 2k? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? 4 2 4 2 ? 5? ? 5? k? ? ? x ? k? ? ], (k ? Z ) ,增区间为 [k? ? , k? ? 8 8 8 8 3 3 ' (3) f ( x) ? sin(2 x ? ? ), f ( x) ? 2 cos(2 x ? ? ) ? 2 ,即曲线的切线的斜率不大于 2 , 4 4 5 而直线 5x ? 2 y ? c ? 0 的斜率 ? 2 ,即直线 5x ? 2 y ? c ? 0 不是函数 y ? f (x) 的切线 2
(2) f ( x) ? sin(2 x ?
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3 4

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选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(二)
一、选择题 1
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?sin ?x 2 ,?1 ? x ? 0; 函数 f ( x ) ? ? x ?1 ,若 f (1) ? f (a ) ? 2, 则 a 的所有可能值为( ?e , x ? 0
A
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1

B

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?

2 2

C

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1, 或 ?

2 2

D

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1, 或

2 2
) D )
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2

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函数 y ? x cos x ? sin x 在下列哪个区间内是增函数( A
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? 3? ( , ) 2 2

B

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(? ,2? )

C

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(

3? 5? , ) 2 2

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(2? ,3? )

3

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设 a, b ? R, a 2 ? 2b 2 ? 6, 则a ? b 的最小值是(

A

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?2 2

B

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?

5 3 3

C

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-3

D )

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?

7 2

4

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下列函数中,在 (0,??) 上为增函数的是 ( A
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2 y ?sin x

B

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y ? xex

C

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y ? x3 ? x

D

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y ? l n1 ? x ) ? x (

5

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设 a, b, c 三数成等比数列,而 x, y 分别为 a, b 和 b, c 的等差中项,则
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a c ? ?( x y



A 1 B 2 C 3 D 不确定 6 计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的计数制,采用数字 0 ? 9 和字母 A ? F 共 16 个计 数符号,这些符号与十进制的数字的对应关系如下表:
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十六进制 十进制 十六进制 十进制
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0 0 8 8
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1 1 9 9

2 2 A 10
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3 3 B 11

4 4 C 12 )

5 5 D 13

6 6 E 14

7 7 F 15

例如,用十六进制表示 E ? D ? 1B ,则 A ? B ? ( A 6E B 72 C 5F D B0 二、填空题
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2 若等差数列 ?an ? 的前 n 项和公式为 Sn ? pn ? ( p ? 1)n ? p ? 3 ,则 p =_______,首项

a1 =_______;公差 d =_______
2
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若 lg x ? lg y ? 2lg( x ? 2 y) ,则 log

2

x ? _____ y

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设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? ? ? f (0) ? ? ? ? ? f (5) ? f (6) 的值是________________
4
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设函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f (x) 的图像关于直线 x ?

1 对称,则 2

f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? __________ ____.
5
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设 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)( x ? c) ( a, b, c 是两两不等的常数),则
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a b c ? / ? / f (a) f (b) f (c)
/

的值是 ______________ 三、解答题 1
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已知: sin 30 ? sin 90 ? sin 150 ?
2 ? 2 ? 2 ?

3 2 3 sin 2 5 ? ? sin 2 65 ? ? sin 2 125 ? ? 2
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通过观察上述两等式的规律,请你写出一般性的命题,并给出的证明

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计算: 11...1 ? 22...2(n是正整数) ? ?
2n n

3

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直角三角形的三边满足 a ? b ? c ,分别以 a, b, c 三边为轴将三角形旋转一周所得旋转
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体的体积记为 Va ,Vb ,Vc ,请比较 Va ,Vb ,Vc 的大小

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已知 a, b, c 均为实数,且 a ? x ? 2 y ?
2

?
2

, b ? y 2 ? 2z ?

?
3

, c ? z 2 ? 2x ?

?
6



求证: a, b, c 中至少有一个大于 0

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选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(二)答案
一、选择题 1
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C

f (1) ? e0 ? 1, f (a) ? 1 ,当 a ? 0 时, f (a) ? ea?1 ? 1 ? a ? 1 ;
当 ?1 ? a ? 0 时, f (a) ? sin ? a ? 1 ? a ?
2 2

1 2 ,a ? ? 2 2

2

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B

令 y' ? x' cos x ? x(? sin x) ? cos x ? ? x sin x ? 0 , 由选项知 x ? 0,?sin x ? 0, ? ? x ? 2?

3 4 5

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C B B

令 a ? 6 cos? , b ? 3sin ? , a ? b ? 3sin(? ? ? ) ? ?3

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x ? (0, ??) ,B 中的 y' ? ex ? xex ? 0 恒成立

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6 A 二、填空题
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a c a c 2a 2c ac ? b2 , a ? b ? 2x, b ? c ? 2 y , ? ? ? ? ? x y a?b b?c a?b b?c 2 2 2ab ? 4ac ? 2bc 2ab ? 4ac ? 2bc ? ? ?2 ab ? b 2 ? bc ? ac ab ? ac ? bc ? ac A ? B ? 10 ?11 ? 110 ? 16 ? 6 ? 14 ? 6 E

1

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?3 , ? 5 ,? Sn ? na1 ? 6

n(n ? 1)d d 2 d ? n ? (a1 ? )n ,其常数项为 0 ,即 p ? 3 ? 0, 2 2 2 d d d d p ? ?3 , Sn ? ?3n 2 ? 2n ? n 2 ? (a1 ? )n, ? ?3, d ? ?6, a1 ? ? ?2, a1 ? ?5 2 2 2 2

2

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4

lg( xy) ? lg( x ? 2 y)2 , xy ? ( x ? 2 y)2 , x2 ? 5xy ? 4 y 2 ? 0, x ? y, 或x ? 4 y
而 x ? 2 y ? 0,? x ? 4 y,log
2

4?4

3

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3 2

f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 1 1 2x ? 1? x ? x ? 2x ? 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 x

?

2 2x 2 ? 2x 2 ? ? ? x x x 2 2 ?2 ? 2 2? 2 ?2 2? 2 ?2

f (?5) ? f (?4) ? ??? ? f (0) ? ??? ? f (5) ? f (6) ? [ f (?5) ? f (6)] ? [ f (?4) ? f (5)] ? ... ? [ f (0) ? f (1)] ?
4
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2 ?6 ? 3 2 2
f (0) ? 0, f (1) ? f (0) ? 0, f (2) ? f (?1) ? 0, f (3) ? f (?2) ? 0

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0

f (4) ? f (?3) ? 0, f (5) ? f (?4) ? 0 ,都是 0
5
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0

f ' ( x) ? ( x ? b)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? c) ? ( x ? a)( x ? b), f ' (a) ? (a ? b)(a ? c) , f ' (b) ? (b ? a)(b ? c), f ' (c) ? (c ? a)(c ? b) ,
a b c a b c ? / ? / ? ? ? f (a) f (b) f (c) (a ? b)(a ? c) (b ? a)(b ? c) (c ? a)(c ? b)
/

?
三、解答题 1
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a(b ? c) ? b(a ? c) ? c(a ? b) ?0 (a ? b)(a ? c)(b ? c)
3 2

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解: 一般性的命题为 sin (? ? 60 ) ? sin ? ? sin (? ? 60 ) ?
2 ? 2 2 ?

证明:左边 ?

1 ? cos(2? ? 1200 ) 1 ? cos 2? 1 ? cos(2? ? 1200 ) ? ? 2 2 2

3 ? [cos(2? ? 1200 ) ? cos 2? ? cos(2? ? 120 0 )] 2 3 ? 2 ?
所以左边等于右边 2
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解: 11...1 ? 22...2 ? 11...1 ?10 ?11...1 ?22...2 ? ? ? ? ?
n 2n n n n n

? 11...1?10n ? 11...1 ? 11...1? (10 n ? 1) ? ? ?
n n n

? 11...1? 9 ?11...1 ? 3?11...1 ? 33...3 ? ? ? ?
n n n n

3

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解: Va ?

1 2 1 1 1 ? b a ? ? ab ? b,Vb ? ? a 2b ? ? ab ? a, 3 3 3 3 1 ab 2 1 ab ab Vc ? ? ( ) c ? ? ab ? , 因为 a ? b ? c ,则 ?a?b 3 c 3 c c

?Vc ? Vb ? Va
4
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证明:假设 a, b, c 都不大于 0 ,即 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,得 a ? b ? c ? 0 , 而 a ? b ? c ? ( x ?1) ? ( y ?1) ? ( z ?1) ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? 0 ,
2 2 2

即 a ? b ? c ? 0 ,与 a ? b ? c ? 0 矛盾,

? a, b, c 中至少有一个大于 0

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选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(三)
一、选择题 1
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若 x, y ? R, 则 " xy ? 1" 是 " x 2 ? y 2 ? 1"的( A C
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充分不必要条件 B 充要条件 D

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必要不充分条件 既不充分也不必要条件 )

2

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如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于( A
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2 3

B

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4 3

C

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8 3
11

D

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12 3


y
x1

3

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设P ? A C

1 log2
11

?

1 log
11 3
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?

1 log4

?

1 log5
11

,则(

o

x1

2

x

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0 ? P ?1 2?P?3

B 1? P ? 2 D 3? P ? 4
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4

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将函数 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的图象和直线 y ? 2 围成一个封闭的平面图形, 则这个封闭的平面图形的面积是( A 4 B 8 C 2?
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) D

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4?

5

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若 O 是平面上一定点, A, B, C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足 )

??? ? ???? ??? ??? ? ? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), ? ? ? 0, ?? ? ,则 P 的轨迹一定通过△ ABC 的( ? AB AC
A 6
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外心

B

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内心

C

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重心

D

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垂心 )txjy

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设函数 f ( x) ? ? A

??1, x ? 0 ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) (a ? b) 的值为( ,则 2 1, x ? 0 ?
B
? x ?2
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a

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b
? x ?2

C

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a , b 中较小的数 D

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a , b 中较大的数
) D
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7

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关于 x 的方程 9 A
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? 4?3
B
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? a ? 0 有实根的充要条件是(
C
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a ? ?4

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?4 ? a ? 0

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a?0

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?3 ? a ? 0

二、填空题 1 2 3
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在数列 ?an ? 中,a1 ? 1, a2 ? 2, an?2 ? an ? 1 ? (?1) (n ? N ) ,则 S10 ? __________ .
n *

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过原点作曲线 y ? e 的切线,则切点坐标是______________,切线斜率是_________
x

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若关于 x 的不等式 (k ? 2k ? ) ? (k ? 2k ? )
2 x 2

3 2

3 2

1? x

的解集为 ( , ?? ) ,则 k 的范围是

1 2

____

4

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1 1 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N ? ) , 2 3 n 3 5 7 经计算的 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? , 2 2 2 推测当 n ? 2 时,有__________________________ f ( n) ? 1 ?
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若数列 ?an ? 的通项公式 a n ?

1 记 (n ? N ? ) , f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , (n ? 1) 2

______ . 试通过计算 f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________
三、解答题 1
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已知 a ? b ? c, 求证:

1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

2

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求证:质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

3

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在 ?ABC 中,猜想 T ? sin A ? sin B ? sin C 的最大值,并证明之

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用数学归纳法证明 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?
2 2 2 2

n(n ? 1)( 2n ? 1) ? , (n ? N ) 6

选修 2-2 第二章 推理与证明基础训练题(三)答案
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B

令 x ? 10, y ? ?10 , " xy ? 1" 不能推出 " x 2 ? y 2 ? 1"; 反之 x ? y ? 1 ? 1 ? x ? y ? 2 xy ? xy ?
2 2 2 2

1 ?1 2

2

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C

函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 图象过点 (0,0),(1,0),(2,0) ,得 d ? 0, b ? c ? 1 ? 0,

4b ? 2c ? 8 ? 0 ,则 b ? ?3, c ? 2 , f ' ( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ? 3x2 ? 6 x ? 2 ,且 x1 , x2 是
函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的两个极值点,即 x1 , x2 是方程 3x ? 6 x ? 2 ? 0 的实根
2

x12 ? x2 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? 4 ?
3
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4 8 ? 3 3

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B

P ? log11 2 ? log11 3 ? log11 4 ? log11 5 ? log11 120 , 1 ? log11 11 ? log11 120 ? log11 121 ? 2 ,即1 ? P ? 2

4 5

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D B

画出图象,把 x 轴下方的部分补足给上方就构成一个完整的矩形

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??? ? ???? ??? ? ???? ??? ??? ? ? ? ?? ?? ? AB AC ??? AB AC OP ? OA ? ? ( ??? ? ???? ), AP ? ? ( ??? ? ???? ) ? ? (e1 ? e2 ) ? ? AB AC AB AC

AP 是 ? A 的内角平分线

6

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D

? (a ? b) ? (a ? b)(?1) ? a, ( a ? b) ( a ? b) ? ( a ? b) f ( a ? b) ? ? 2 ?? 2 ? (a ? b) ? (a ? b) ? b, (a ? b) ? ? 2
令3
? x ?2

7

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D

? x ?2

? t,(0 ? t ? 1) ,则原方程变为 t 2 ? 4t ? a ? 0 ,
? a ? 0 有实根的充要条件是方程 t 2 ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有实根

方程 9

? 4?3

? x ?2

2 2 再令 f (t ) ? t ? 4t ? a ,其对称轴 t ? 2 ? 1 ,则方程 t ? 4t ? a ? 0 在 t ? (0,1] 上有一实根,

另一根在 t ? (0,1] 以外,因而舍去,即 ? 二、填空题 1
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? f (0) ? 0 ??a ? 0 ?? ? ?3 ? a ? 0 ? f (1) ? 0 ??3 ? a ? 0

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35

a1 ? 1, a2 ? 2, a3 ? a1 ? 0, a3 ? 1, a4 ? 4, a5 ? 1, a6 ? 6,..., a9 ? 1, a10 ? 10 S10 ? 1 ? 2 ? 1 ? 4 ?1 ? 6 ?1 ? 8 ? 1 ? 10 ? 35

2

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( 1 e ) , 设切点 (t , et ) ,函数 y ? e x 的导数 y ' ? e x ,切线的斜率 , e

k ? y ' | x ?t ? et ?

et ? t ? 1, k ? e, 切点 (1, e) t

3

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3 ? 2 ? k ? 2k ? 2 ? 1 3 2 2 ? (1 ? ,1 ? ) ? x ? 1 ? x,? 0 ? k 2 ? 2k ? ? 1 ,即 ? 2 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? ? 2 1 ? 2 k ? 2k ? ? 0 ? 2 2 ? 2 2 ? k ? 1? ? ?1 ? 2 ?? ?? ? k ? 1? 2 2 ,?1 ? 2 2 ? k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ? k ? R ? ? ? 2

4

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f ( 2n ) ?
f ( n) ?

n?2 2

5

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n?2 2n ? 2

f (n) ? (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 2 2 3 (n ? 1) 2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 n ?1 n ?1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2
三、解答题 1
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证明:?

a ?c a ?c a ?b?b?c a ?b?b?c ? ? ? a ?b b?c a ?b b?c

? 2?
?
2
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b ?c a ?b b ?c a ?b ? ? 2?2 ? ? 4 , (a ? b ? c) a ?b b ?c a ?b b ?c

a?c a?c 1 1 4 ? ? 4,? ? ? . a ?b b?c a ?b b?c a ?c

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证明:假设质数序列是有限的,序列的最后一个也就是最大质数为 P ,全部序列 为 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 再构造一个整数 N ? 2 ? 3 ? 5 ? 7 ?11? ... ? P ? 1 , 显然 N 不能被 2 整除, N 不能被 3 整除,…… N 不能被 P 整除, 即 N 不能被 2,3,5,7,11,13,17,19,..., P 中的任何一个整除, 所以 N 是个质数,而且是个大于 P 的质数,与最大质数为 P 矛盾, 即质数序列 2,3,5,7,11,13,17,19, ……是无限的

3

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证明: sin A ? sin B ? sin C ? sin

?
3

? 2sin

A? B A? B C ? C ? cos ? 2sin( ? ) cos( ? ) 2 2 2 6 2 6

? 2sin

A? B C ? A? B ?C ? A? B ?C ? ? 2sin( ? ) ? 4sin( ? ) cos( ? ) 2 2 6 4 12 4 12

? 4sin(

? 4sin( ? ) ? 4sin 4 12 3

?

A? B ?C ? ? ) 4 12

?

?

A? B ? ? ?cos 2 ? 1 ?A ? B ? ? C ? ? ? ? 当且仅当 ?cos( ? ) ? 1 时等号成立,即 ?C ? 2 6 3 ? ? A? B ?C ? ? ? ? ? ) ?1 ?cos( ?A ? B ? C ? 3 4 12 ? ?
所以当且仅当 A ? B ? C ? 所以 Tmax ? 3sin 4
0

?
3

时, T ? sin

?
3

的最大值为 4 sin

? 3

?
3

?

3 3 2

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证明: 1 当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ?

(1 ? 1)(2 ? 1) ? 1 ,即原式成立 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 20 假设当 n ? k 时,原式成立,即 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? 6 k (k ? 1)(2k ? 1) 2 2 2 2 2 ? ( k ? 1) 2 当 n ? k ? 1 时, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? k ? ( k ? 1) ? 6

k (k ? 1)(2k ? 1) ? 6(k ? 1) 2 (k ? 1)(2k 2 ? 7 k ? 6) ? 6 6 (k ? 1)(k ? 2)(2k ? 3) ? 6 ?
即原式成立

?12 ? 22 ? 32 ? ? ? n 2 ?

n(n ? 1)(2n ? 1) 6


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