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3.1.1 两角和与差的余弦


3.1.1 两角和与差的余弦

一、课题:两角和与差的余弦 二、教学目标:1. 掌握两点间的距离公式及其推导; 2.掌握两角和的余弦公式的推导; 3.能初步运用公 式 C(? ? ? ) 来解决 一些有关的简单的问题。 三、教学重点:两点间的距离公式及两角和的余弦 公式的推导。 四、教学难点:两角和 的余弦公式的推导。 五、教学过程: (一)复习: 1.数轴两点间的距离公式: MN ? x1 ? x2 . 2.点 P( x, y) 是 ? 终边与单位圆的交点,则 sin ? ? y,cos ? ? x . (二)新课讲解: 1.两点间的距离公式及其推导 设P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ) 是 坐 标 平 面 内 的 任 意 两 点 , 从 点 P 1, P 2 分别作 x 轴的垂线
[来源:学科网 ZXXK]

PM 1 1, P 2 M 2 , 与 x 轴交于点 M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0) ;再从点 P 1, P 2 分别作 y 轴的垂线 PN 1 1, P 2 N 2 ,与 y 轴交于点 N1 (0, y1 ), N2 (0, y2 ) .直线 PN 1 1与P 2 M 2 相交 于点 Q ,那


PQ ? M1M2 ? x2 ? x1 , QP 1 2 ? N1 N2 ? y2 ? y1 .
2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1 由勾股定理,可得 PP ? QP 1 2 ? PQ 1 2 2 2
2 2

y
N2
P2 M2

? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
∴P 1P 2 ?

( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 .

M1

O
P 1 N1
Q

x

2.两角和的余弦公式的推导 在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O , 并作角 ? , ? 与 ? ? , 使角 ? 的始边为 Ox , 交⊙ O 于 点 P1 ,终边交⊙ O 于点 P 2 ;角 ? 的始边为 OP 2 ,终边交⊙ O 于点 P 3 ;角 ? ? 的始边为

OP 1 ,终边交⊙ O 于点 P 1 (1, 0) , P 2 (cos ? ,sin ? ) , 4 ,则点 P 1, P 2, P 3, P 4 的坐标分别是 P

P 4 (cos(? ? ),sin(? ? )) , 3 (cos(? ? ? ),sin(? ? ? )) , P
2 2 PP 1 3 ? P 2P 4 ,∴ [cos(? ? ? ) ? 1] ? sin (? ? ? )

P3 y
?

P2
?

? [cos(?? ) ? cos? ]2 ? [sin(?? ) ? sin ? ]2
得: 2 ? 2cos(? ? ? ) ? 2 ? 2(cos ? cos ? ? sin ? sin ? )
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O

??

P1 x

P4

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3.1.1 两角和与差的余弦
∴ cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin? sin ? . ( C(? ? ? ) ) 3.两角 差 的余弦公式 在公式 C(? ? ? ) 中用 ? ? 代替 ? ,就得到 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ( C? ? ? ) 说明:公式 C(? ? ? ) 对于任意的 ? , ? 都成立。 4.例 题分析: 例:求值(1) cos 75 ; (2) cos195 ; (3) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 . 解: (1) cos 75 ? cos30 cos 45 ? sin 30 sin 45

3 2 1 2 6? 2 ; ? ? ? ? 2 2 2 2 4 (2) cos195 ? cos(180 ? 15 ) ? ? cos15
=

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? ?(cos 45 cos30 ? sin 45 sin 30 )
6? 2 ; 4 (3) cos54 cos36 ? sin 54 sin 36 ? cos(54 ? 36 ) ? 0 . 六、 课堂练习: P (4) . 38 2(3) ??
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七、小结:掌握 公式 C(? ? ? ) 的推导,能熟练运用 C(? ? ? ) 公式,注意 C(? ? ? ) 公式的逆用。 八、作业:习题 4.6 第三题(3) (4) (6) (8)

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