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精算高难度压轴填空题-----函数(二)


1. 已 知 函 数 f ( x) ? ln x ?

1 3 x? , g ( x) ? x 2 ? 2bx ? 4 , 若 对 任 意 x1 ? (0,2) , 存 在 4 4x

x2 ? [1,2] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,则实数 b 的取值范围为_______ b ?
解析:即 f ( x) mi

n ? g ( x) min ,求导易得 f ( x ) min ? f (1) ? 当 b ? 1 时, g (x) 增, g ( x) min

14 2

1 , g (x) 对称轴是 x ? b 2 1 9 ? g (1) ? 5 ? 2b ? ? b ? 矛盾; 2 4

2 当 1 ? b ? 2 时, g ( x) min ? g (b) ? 4 ? b ?

1 14 ; ?2?b? 2 2
1 15 ?b?2 ?b? 2 8

当 b ? 2 时, g (x) 减, g ( x) min ? g (2) ? 8 ? 4b ?

2 2 2. 关 于 x 的 不 等 式 x ? 9 ? x ? 3 x ? kx 在 [1,5] 上 恒 成 立 , 则 实 数 k 的 取 值 范 围 是

____ (??,6]

9 ? x ? 3 ,显然 x ? 3 时,右边取最小值 x 1 3 1 2 3. 如果函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 1) x ? 1 在区间 (1,4) 上为减函数,在 (6,??) 上 3 2
解析: k ? x ? 为增函数,则实数 a 的取值范围是_________ [5,7] 解析: f ' (1) ? 0, f ' (4) ? 0, f ' (6) ? 0
x 4. 若 关 于 x 的 方 程 a ? 1 ? 2a ? 0 有 两 个 相 异 的 实 根 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是

____ (0, )
x 解析:数形结合 a ? 1 ? 2a ,对 a 分 0 ? a ? 1 和 a ? 1 讨论

1 2

x 5. 已知函数 f(x)= ,若函数 y=f(x+2)-1 为奇函数,则实数 a=________-2 x+a 解析: f ( x ? 2) ? 1 ?

x?2 ?a ?1 ? ,显然 a ? ?2 x?2?a x?2?a

有人说 a ? 0 可以吗?不行!此时, f ( x) ? 1( x ? 0) ,显然 y=f(x+2)-1 定义域不关 于原点对称! 6. 已知可导函数 f ( x)( x ? R) 的导函数 f ?( x ) 满足f ?( x) ? f ( x) ,则当 a ? 0 时,

f (a)和 ea f (0) ( e 是自然对数的底数)大小关系为

f (a) ? e a f (0)

解析:构造函数 F ( x) ?

f ( x) e x ( f ' ( x) ? f ( x)) , F ' ( x) ? ? 0 , F (x) 增, ex (e x ) 2

f (a ) f (0) ? 0 ? f (0) ea e
7. 若对任意的 x ? D ,均有 f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) 成立,则称函数 f (x) 为函数 f 1 ( x ) 到函 数

f 2 ( x)







D

















.









f ( x) ? (k ? 1) x ? 1, g ( x) ? 0, h( x) ? ( x ? 1) ln x 且 f (x) 是 g (x) 到 h(x) 在区间 [1,2e] 上的
“折中函数” ,则实数 k 的值是_______2 解析:即要求 0 ? (k ? 1) x ? 1 ? ( x ? 1) ln x 在 [1,2e] 恒成立.对于左边: x ? 1 时, k ? 2 ,

1 ( x ? 1) ln x ? 1 ,故 k ? 2 ;右边: k ? 1 ? ,对右边函数求导后得增 2e x 函数,则 k ? 1 ? 1 ? k ? 2 ,综上, k ? 2
x ? 2e 时, k ? 1 ?
8. 已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 ,若对区间(0,1)内任取两个不等的实数 p, q ,不等式

f ( p ? 1) ? f (q ? 1) ? 1 恒成立,则实数 a 的取值范围是_________ [10,??) p?q
解析:

[ f ( p ? 1) ? ( p ? 1)] ? [ f (q ? 1) ? (q ? 1)] ? 0 ,故 g ( x) ? f ( x) ? x 是(1,2)上增 ( p ? 1) ? (q ? 1)

a ? 2 x ? 1 ? 0 在(1,2)上恒成立,则 a ? 2 x 2 ? x x ' ' x 9. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和 g ( x) 满足 g ( x) ? 0, f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,f ( x) ? a ? g ( x) , 15 f (1) f (?1) 5 f ( n) ? ? . an ? 令 , 则使数列 {an } 的前 n 项和 Sn 不超过 的最大自然数 n 16 g (1) g (?1) 2 g ( n)
函数, g ' ( x) ? 的值为 4 解析: F ( x) ?

f ( x) f (1) f (?1) 5 ? a x 单调递减, ? ? ? 0 ? a ?1 g ( x) g (1) g (?1) 2

10. 已知函数

?log (x+1) f(x)=? 1 ?(2) -1
1
2 x

x≥0, 若 f(3-2a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 x<0.

3 a ? ? 或a ? 1 2
解析:不需讨论 3 ? 2a , a 的正负性,可以观察出 f (x) 是减函数,则 3 ? 2a ? a
2 2

已知函数 f ( x) ? x ? 1 ,关于 x 的方程 f 2 ( x) ? f ( x) ? k ? 0 ,给出下列四个命题:

① 存在实数 k ,使得方程恰有 2 个不同的实根;② 存在实数 k ,使得方程恰有 4 个不同的 实根; ③ 存在实数 k ,使得方程恰有 5 个不同的实根;④ 存在实数 k ,使得方程恰有 8 个不同的 实根. 其中真命题的序号为____________.①②③④ 解 析 : 令

t ? f (x)







t ? x ?1



k ? t ?t2





t 1 x

k ② ④ ③ 1 t ①

2 11. 设非空集合 S ? x m ? x ? l 满足:当 x ? S时,有x ? S ,给出如下三个命题:① 若

?

?

1 1 1 2 若 ? m ? 0 ;其中正确的命 m ? 1, 则S ? ?1? ;② m ? ? , 则 ? l ? 1; ③若 l ? , 则 ? 2 4 2 2
题为 ①②③ 解析:① ? x ? l ? 1 ? x 2 ? l 2 ? [1, l ] ? l 2 ? l ? l ? 1 ,而 l ? 1 ,故 l ? 1 1 ② ?

1 1 1 1 1 1 1 ? x ? l , 若 ? ? l ? , 则 0 ? x 2 ? ? [? , l ] ? l ? ; 若 l ? , 则 2 2 2 4 2 4 2

1 1 1 1 0 ? x 2 ? l 2 ? [? , l ] ? l ? 1 ③ m ? x ? ,若 m ? 0 ,则 m 2 ? x 2 ? ? [m, ] , 2 2 4 2

m 2 ? m ? m ? 1 矛盾,若 ?

1 1 1 1 ? m ? 0 ,则 0 ? x 2 ? ? [m, ] ,成立;若 m ? ? ,则 2 4 2 2

1 1 2 1 2 0 ? x 2 ? m 2 ? [m, ] ? m 2 ? ? ? ? m ? ? ,综上, ? ?m?0 2 2 2 2 2
12. 已知函数 f ( x) ? x ?

1 ?1 ? ? a 2 , g ( x ) ? x 3 ? a 3 ? 2a ? 1 , 若存在 ?1 , ? 2 ? ? , a ? (a ? 1) , x ?a ?

使得 | f (?1 ) ? g (? 2 ) |? 9 ,则 a 的取值范围是

?1,4?

解析:即 ? 9 ? f (?1 ) ? f (? 2 ) ? 9 , ? 9 ? f ( x) max ? g ( x) min ,且 f ( x) min ? g ( x) max ? 9 13. 已知 f ( x) ?

1 2 * ,且关于 x 的方程 f ( x) ? bf ( x) ? c ? 0 有 k (k ? N ) 个根,则 | x ? 1| ?1
.(请写出所有可能值)2、3、4、5、6、7、8

这 k 个根的和可能是

1

? 1 ? x ? 2 ,x ?1 ? 解析: f ( x) ? ? ,画图 1 ? ,x ?1 ?x ?

1

2

? 2 1 ?ax ? ? 3x, x ? 0 14. 已知函数 f ? x ? ? ? ,若方程 f ? x ? ? 4 有两个不等的实根,则实数 a x ? 4, x ? 0 ?
的取值范围___________ a ? 18ora ? ? 解析:即 ax ?
2

14 27

1 1 4 3 1 ? 3x ? 4 只有一个非零根, a ? ? 3 ? 2 ? ,令 ? t ,则 x x x x x

a ? ?t 3 ? 4t 2 ? 3t ? g (t ), g ' (t ) ? ?(3t ? 1)(t ? 3) ? 0
15. 已知函数 f ( x) ? 的取值范围是

x 2 ? ax ? 11 ( a ∈R), 若对于任意的 x ∈ N *, f ( x) ? 3 恒成立, a 则 x ?1
. [? , ??)

8 3

2 解析:即 x ? (a ? 3) x ? 8 ? 0 对 x ∈ N *恒成立,分离变量 a ? 3 ? ?( x ?

8 ) 恒成立,当 x

x ? 2, x ?

8 8 8 ? 6, a ? ?3; 当 x ? 3, a ? ? ,故 a ? ? x 3 3

16. 对于实数 x , [x ] 称为取整函数或高斯函数,亦即

[x] 是 不 超 过 x 的 最 大 整 数 . 例 如 : [2.3] ? 2 . 直 角 坐 标 平 面 内 , 若 ( x, y) 满 足

[ x ? 1]2 ? [ y ? 1]2 ? 4 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是
解析: [ x ? 1],[ y ? 1] ? Z , [ x ? 1] ? [ y ? 1] ? 4 , 因 又 所以 ?
2 2

(1,5) ? [10,20)

?[ x ? 1] ? ?2 ?[ x ? 1] ? 0 或? , ?[ y ? 1] ? ?2 ?[ y ? 1] ? 0

则 ?[ y ] ? 3或[ y ] ? ?1 ,或 ?[ y ] ? 1 ? ? 数形结合即可

?[ x] ? 1

?[ x] ? 3或[ x] ? ?1

?1 ? x ? 2 ?? 或?. ?3 ? y ? 4或 - 1 ? y ? 0

17. 设 f ( x ) 是连续的偶函数,且当 x ? 0 时 f ( x ) 是单调函数,则满足 f ( x) ? f ( 的所有 x 之和为 解析:显然 x ? 2010

x?2 ) x ? 1005

x?2 x?2 ? 0 ,然后用韦达定理即可 或x? x ? 1005 x ? 1005

18. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) , 满足对任意 a, b ? R , 都有 f (a ? b2 ) ? f (a) ? 2 f 2 (b) 成立,则 f (2011) =

0或

2011 2 1 2

解析: a ? b ? 0, f (0) ? 0 ; a ? 0, f (b 2 ) ? 2 f 2 (b) , b ? 1 , f (1) ? 0 或 f (1) ? 令 令 令 则

) 当 f (1) ? 0 时,令 b ? 1 ,则 f (a ? 1) ? f (a) ,显然 f (2011 ? 0
当 f (1) ?

1 1 1 2011 时,令 b ? 1 ,则 f (a ? 1) ? f (a) ? , f (2011) ? f (1) ? ? 2010 ? 2 2 2 2

2 19. 设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 1 ,若 a ? b ? ?1, 且 f (a) ? f (b), 则 ab ? a ? b 的取值范围为

(-1,1)

2

-3 x1 -1 解析:

1 由条件 a ? b ? ?1, 结合图象知, ? 3 ? a ? x1 ? b ? ?1
2 2

则 a 2 ? 2a ? 1 ? ?(b 2 ? 2b ? 1) ? a ? b ? 2(a ? b) ? 2 ? 0 ? a ? b ? ?

a2 ? b2 ? 2 2

a 2 ? b 2 ? 2 2 ? ( a ? b) 2 2 ab ? a ? b ? ab ? ? ,而 ? 2 ? a ? b ? 0 , 0 ? (a ? b) ? 4 2 2

x 20. 如果关于 的方程 ax ?
为___ a ? 2 或 a ? 0 解析: ax ?

1 ? 3 在区间 (0,??) 上有且仅有一个解,则实数 a 的取值范围 x2

1 ? 3 ? f ( x) ? ax3 ? 3x 2 ? 1 ? 0 ? f ' ( x) ? 3x(ax ? 1) 2 x

2 当 a ? 0 时, f ( x) ? ?3x ? 1 ? 0 显然满足题意;

当 a ? 0 时,

0

如图,而 f (0) ? 1 ? 0 ,满足题意;

当 a ? 0 时,

0

如图,极小值点 f ( ) ? 0 ? a ? 2

2 a

21. 已知函数 f (x)=x2+2x+1,若存在 t,当 x∈[1,m]时,f (x+t)≤x 恒成立,则实数 m 的最大 值为 4

1

解析:数形结合 f ( x ? t ) 是由 f (x) 左右移动所得, 要使得 f (x+t)≤x 在 x∈[1,m]上恒成立,则尽量向右移动,当 f ( x ? t ) 与 y ? x 左交点横坐 标为 1 的时候,此时 m 最大. 22. 已知周期函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (x) 的最小正周期为 3, f (1) ? 2,

f (2) ? m, 则m 的取值范围为

_____ (?2,??)

解析: f (2) ? ? f (?2) ? ? f (1) ? ?2 23. 设函数 y ? f ( x) 在 ? ??, ??? 上满足 f (? x) ? f (4 ? x), f (4 ? x) ? f (10 ? x) ,且在闭 区间 ?0,7? 上, f ( x) ? 0 仅有两个根 x ? 1 和 x ? 3 ,则方程 f ( x) ? 0 在闭区间

??2011, 2011? 上根的个数有

________805

解析: f (? x) ? f (4 ? x) ? 对称轴 x ? 2 , f (4 ? x) ? f (10 ? x) ? 对称轴 x ? 7 同时, f (? x) ? f (4 ? x), f (4 ? x) ? f (10 ? x) ? f ( x) ? f (10 ? x) ? 周期 T ? 10

-3 画草图

1

3

7 11 [0,2011]上有 201 个周期

, 共有 402 个根,在[2010,2011]上有 1 个根,在 [?20100] 有 201 个周期,共有 402 个根,而

[?2011?2010 与 [?1,0] 一样无根,共有 805 个根 , ]
24. 已知函数是定义在 (0, ??) 上的单调增函数, n ? N? 时, f (n) ? N? , f [ f (n)] ? 3n , 当 若 则 f(5)的值等于 8

解析:令 n ? 1, f [ f (1)] ? 3 ,若 f (1) ? 1 ,则 f [ f (1)] ? f (1) ? 1 ,与 f [ f (1)] ? 3 矛盾; 故 f (1) ? 1 ,而 3 ? f [ f (1)] ? f (1) ,且 f (n) ? N? ,则 f (1) ? 2 ,则 f (2) ? f [ f (1)] ? 3 ,

f (3) ? f [ f (2)] ? 6 , f (6) ? f [ f (3)] ? 9 ,则由递增知 6 ? f (3) ? f (4) ? f (5) ? f (6) ? 9 ,则 f (4) ? 7, f (5) ? 8
25. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 导数为 f ' ( x) ,且 f ' (0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x) ? 0 ,则

f (1) 的最小值为_____________2 f ' (0)

解 析 : f ' ( x) ? 2ax ? b, f ' (0) ? b ? 0, 因 为 对 任 意 实 数 x 都 有 f ( x) ? 0 , 所 以

f (0) ? c ? 0 , a ? 0 , ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,即 b 2 ? 4ac ,所以 a, c 同为正实数,所以

f (1) a ? b ? c a?c 2 ac ? ? 1? ? 1? ? 1? f ' (0) b b b
号. 26. 设 a ? 0, 函 数 f ( x) ? x ?

2

b2 4 ? 2 ,当且仅当 b ? 2a ? 2c 时取等 b

a2 , g ( x) ? x ? ln x , 若 对 任 意 的 x1 , x2 ? [1, e] , 都 有 x

f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围为_______________ a ? e ? 2
解析:因为 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,所以 f ( x) ? x ? 又因为 g ' ( x) ? 1 ?

a2 在 [1, e] 上最小值大于等于 g (x) 的最大值, x

1 x ?1 ? ? 0 ,所以 g (x) 在 [1, e] 上递增,所以 g ( x) max ? e ? 1 ,又① x x

a ? e 时, f (x) 在 [1, e] 上递减,所以 f ( x) min ? e ?

a2 ? e ? 1 ,故 a ? e ;② 0 ? a ? 1 时, e

f (x) 在 [1, e] 上 递 增 , 所 以 f ( x) min ? 1 ? a 2 , 故 1 ? a 2 ? e ? 1 , a ? e ? 2 , 此 时

e ? 2 ? a ? 1 ;③ 1 ? a ? e 时, f ( x) m i n ? 2a ,所以 2a ? e ? 1 ,即 a ?

e ?1 ,所以 2

1 ? a ? e ,综上得实数 a 的取值范围是 a ? e ? 2
27. 定义在 (0,??) 上的函数 f (x) 的导函数 f ' ( x) ? 0 恒成立, f (4) ? 1 , 且 若两正数 x, y 满 足 f ( x ? y ) ? 1,则

y?3 3 7 的取值范围是_______________ ( , ) x?3 7 3

解析: f (x) 在 (0,??) 上单调递减, f ( x ? y) ? 1 ? f (4) , 0 ? x ? y ? 4 ,利用斜率数形 结合可得. 28. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 ? b 2 ? 4b ? 3 ? x, g ( x) ? x 2 (2a 2 ? x 2 ) (a ? N *,b ? Z ) , 若存在 x0 ,使 f ( x0 ) 为 f (x) 的最小值, g ( x0 ) 为 g (x) 的最大值,则此时数对 ( a, b) 为 ____________(1,2). 解析:因为 f (x) 是开口向上的抛物线,函数取最小值时

x0 ?

? b 2 ? 4b ? 3 ' 令 则 所以 x0 ? a , , g ( x) ? ?4 x 3 ? 4a 2 x , g ' ( x) ? 0 , x ? 0, x ? ?a , a
2

即 ? b 2 ? 4b ? 3 ? a 2 ,又因为 ? b ? 4b ? 3 ? 0 ,所以 1 ? b ? 3 ,故 b ? 2, a ? 1 29. 已知 t 为常数,函数 f ( x) ?| x 3 ? 3x ? t ? 1 | 在区间 [?2,1] 上的最大值为 2,则实数

t ? ______1
解 析 : 令 g ( x) ? x ? 3x ? t ? 1 , 则 g ' ( x) ? 3x ? 3 =0 ,
3 2

x ? ?1, x ? 1 , 所 以

f (?2) ? 1? | ?t |?| t ? 1 |? f (1) , f (?1) ?| 3 ? t | , 又 f (x) 在 [?2,1] 上 的 最 大 值 2 , 故

?| 1 ? t |? 2 ?| 3 ? t |? 2 或? 所以 t ? 1 ? ?| 3 ? t |? 2 ?| 1 ? t |? 2
法二: | x ? 3x ? t ? 1|? 2 ? ?2 ? x ? 3x ? t ? 1 ? 2 分离变量后求最值
3 3

2 30. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? 2 x, x ? [a, b] 的 值 域 为 [?1,3] , 则 b ? a 的 取 值 范 围 是

___________ [2,4]
2 解析: f ( x) ? x ? 2 x 是开口向上的抛物线,当 x ? ?1 或 x ? 3 时, f ( x) ? 3 ,当 x ? 1 时

f ( x) ? ?1 , 所以 f (x) 的值域是 [?1,3] 时, 定义域中一定包含 x ? 1, 同时 x ? ?1 或 x ? 3 至
少包含一个值,所以 b ? a ? [2,4]

31. 已知函数 y ?

4 ? 1 的定义域为 [a, b](a, b ? Z ) ,值域为 [0,1] ,那么满足条件的整 | x | ?2

数对 ( a, b) 共有___________个 5 个 解 析 : 1?

4 ?2?0? x ?2 , 只 要 使 得 x ?2 的 区 间 都 可 以 , 于 是 有 x ?2

[?2,2],[?1,2],[0,2],[?2,0],[?2,1]
32. 若 不 等 式 x 2 ? | x 3 ? 4 x |? ax ? 4 对 于 x ? (0,6) 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________ (??,4] .

4 4 4 ? | x 2 ? 4 | 的最小值,当 0 ? x ? 2 时, x ? ? | x 2 ? 4 |? x ? ? 4 ? x 2 , x x x 4 4 2 2 在 (0,2] 上递减, 所以 x ? ? | x ? 4 | 最小值是 4; 2 ? x ? 6 时,x ? ? x ? 4 在 [2,6) 当 x x 4 2 上递增,所以 x ? ? | x ? 4 | 最小值是 4,所以 a ? 4 x
解析:a ? x ? 32. 函数 f ( x) ?| x | ? | x ? 1 | , g ( x) ? f ( x) ? a 的零点个数不为 0, 若 则实数 a 的最小值是 ______1 解析:数形结合 33. 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f (x) 满 足 f (3) ? l o g 3 , 且 对 任 意 的 x, y ? R 都 有 2

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若 f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9 x ? 2) ? 0 对任意的 x ? R 恒成立,则实
数 k 的取值范围是_____________ (??,?1 ? 2 2 ) 解析:令 x ? y ? 0, f (0) ? 0 ,再令 y ? ? x 得奇函数,又 f (3) ? log2 3 >0, f (3) ? f (0) , 由 f (x) 是单调函数,知增函数, k ? 3 ?
x

2 2 ? 1 ,而 3 x ? x ? 1 的最小值为 2 2 ? 1 x 3 3

34. 若函数 f ( x) ? x ? 13 ? 2tx (t ? N *, x ? N *) 的最大值是正整数 M , M =_______7 则 解析: 因为 t ? N *, x ? N * , 所以函数取最大值 M 时 13? 2tx 也是正整数, 13 ? 2tx ? 1 则 或 13 ? 2tx ? 9 ,则当 13 ? 2tx ? 1 时, x ?

6 6 , f ( x) ? ? 1 ,故 t ? 1 时, f ( x) max ? 7 ;当 t t

13 ? 2tx ? 9 , f ( x) ?

2 ? 3 ,所以 t ? 1 时 f ( x) max ? 5 t

35. 设集合 M ? ? x | m ? x ? m ? ? , N ? ? x | n ?

? ?

3? 4?

? ?

1 ? ? x ? n ? ,且集合 M , N 都是集合 3 ?

?0,1? 的子集,定义 b ? a 为集合 ? a, b? 的长度,求集合 M ? N 长度的最小值________ 12
解析:集合 M 的区间长度是

1

3 1 ,集合 N 的区间长度是 ,要使得 M ? N 区间长度最小, 4 3

必须使得集合 M , N 尽可能分别向 0,1 靠近,即最大限度拉开它们距离,左边区间的左端点 =0,右边区间的右端点=1,可以分 M , N 分别左右位置讨论,结果显然一样,因为它们相 对位置是不变的. 36. 函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ?
2

b 对称。据此可推测,对任意的 2a

非零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解集都不可能是 A. ?1, 2? 【答案】 :D [解析]本题用特例法解决简洁快速,对方程 m[ f ( x)]2 ? nf ( x) ? P ? 0 中 m, n, p 分别赋值求 出 f ( x ) 代入 f ( x) ? 0 求出检验即得; (法二)设 m ? f ( x) ? ? nf ( x) ? p ? 0 的解 f ( x) ? t1
2

B ?1, 4?

C ?1,2,3,4?

D ?1,4,16,64?

或 f ( x) ? t 2 ,则对应方程的根 x1 , x2 , x3 , x4 关于 x ? ?

b b 对称, x1 ? x 2 ? x3 ? x 4 ? ? 2a a

37. 已知定义在 R 上的偶函数 f (x) 在 [0,??) 上是增函数,且 f (2) ? 1 ,若 f ( x ? a) ? 1 对

x ? [?1,1] 恒成立,则实数 a 的取值范围是_________
【答案】 [?1,1] 。数形结合,实际上要使得 f ( x ? a) ? 1 对 x ? [?1,1] 恒成立,函数 f (x) 只 能向左或向右最多一个单位 38.已知不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的解集是 A,若 (3,4) ? A ,则实数 a 的取值范围是______
2

【答案】 a ? ?

7 。法一:分 a ? 0, a ? 0, a ? 0 三种情况数形结合讨论,注意特殊性:即 16

常数项-1;法二:本题转化为不等式在 (3,4) 上恒成立,分离变量更简单.

3 1 ) 在 [1, ] 上恒正,则实数 a 的取值范围是 2 2 1 1 3 2 (0, ) 解:设 u ? ax 2 ? ax ? ,对称轴为直线 x ? , a ? 0 ,故其在 [1, ] 上为增函数, 3 2 2 2 1 3 1 1 3 1 所以 u ? [ , a ? ] ,当 a ? 1 时, f (u) ? loga u 在 u ? [ , a ? ] 时不可能恒正, 2 4 2 2 4 2 1 3 1 3 1 2 当 0 ? a ? 1 时, f (u) ? loga u 在 u ? [ , a ? ] 时恒正,需 a ? ? 1 得 a ? 2 4 2 4 2 3
39. 若 f ( x) ? log a (ax ? ax ?
2

故 a ? ? 0, ?

? ?

2? 3?

40. 若关于 x 的方程

|x| ? kx 有三个不等实数根,则实数 k 的取值范围是 x?2

1 (0, ) 2

? 1 ?x ? 2 ,x ? 0 |x| ? ?? 解析:显然 x ? 0 是根,当 x ? 0 时, k ? 画图即可 1 x( x ? 2) ? ? ,x ? 0 ? x?2 ?
41. 函数 f (x) 的定义域为 D,若对于任意 x1,x2∈D,当 x1<x2 时,都有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) , 则称函数 f (x) 在 D 上为非减函数.设函数 f (x) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个 条 件 : ① f (0) ? 0 ; ② f( )?

x 3

1 f ( x) ; 2

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ;



1 1 ? 2? f ( ) ? 2 f ( ) + 3 f ? ? 等于___7/4___ 3 8 ? 15 ?
解析:由③得 f (1) ? 1 ,由②得 f ( ) ? 同理 f (

1 3

1 2 1 1 1 3 1 ,再由③得 f ( ) ? ,则 f ( ) ? f ( ) ? , 2 3 2 8 2 8 4

2 1 2 1 )? f( )? 15 2 5 4


42. 若关于 x 的方程 x 4 ? ax3 ? ax 2 ? ax ? 1 ? 0 有实数根,则实数 a 的取值范围为 解析: (??, ? ] ? [2, ??)

2 3

解题思路:高次不好处理,设法降次。

方程两边同除以 x 2 得, x2 ? 设t ? x ?

1 1 ? a( x ? ? 1) ? 0 。 2 x x

1 1 1 , | t |?| x ? |? 2 x ? ? 2 , t ? 2 或 t ? ? 2 。 则 即 x x x

f ( t )? 2t ? a ? a 2 ?, t ? 0
要使此方程有实根,由图可知需要 f (2) ? 0 或 f (?2) ? 0 , 即 22 ? 2a ? a ? 2 ? 0 或 (?2)2 ? 2a ? a ? 2 ? 0 ,

2 2 3 3 2 43.已知二次函数 f(x)=x +px+q 通过点(α,0)( β,0)。若存在整数 n,使 n<α< β<n+1,
解得 a ? ? 或 a ? 2 ,从而有 a? (??, ? ] ? [2, ??) 。

1 则 min{f(n),f(n+1)}的取值范围是__ (0, ) 4 p 2n ? 1 p 2n ? 1 ,0 ) , 解析: 数形结合, f (x) 对称轴为 x ? ? , 区间中点为 ( 不妨假设 ? ? 2 2 2 2
(大于时同理) ,此时 min{f(n),f(n+1)}= f (n) ,显然此时只需把图象向下平移到过 (n,0)

时 f (n) 最小值为 0,但由于 ? ? n ,故 min{f(n),f(n+1)}必须大于 0;另外,要使

min{f(n),f(n+1)}最大,必须对称轴为 x ? ?

p 2n ? 1 ? ,即对称轴为区间中点,此时两 2 2

个端点值 f (n) ? f (n ? 1) 都最小,为了使得它们最大,尽可能把抛物线向上平移,

1 ,但也取不到。 4 1 44. 已 知 函 数 y ? f (x) 满 足 f (1) ? , 且 对 任 意 x, y ? R , 都 有 4 x? y x? y 1 f ( x) ? f ( y ) ? 4 f ( )? f ( ) ,则 f (?2011 ? _______ ) 2 2 4 1 x? y x? y ,n ? 解析:令 x ? y 得 2 f ( x) ? 4 f ( x) f (0) ? f (0) ? ,令 m ? ,则 2 2 2
临界是 ? ? 0 ,此时 f (n) ? f (n ? 1) ?

x ? m ? n, y ? m ? n , f (m ? n) ? f (m ? n) ? 4 f (m) f (n) ,令 n ? 1 ,则

f (m ? 1) ? f (m ? 1) ? f (m) ,则 f (m ? 2) ? f (m) ? f (m ? 1) 两式相加得 f (m ? 1) ? f (m ? 2) ? 0 ,即 f (m ? 1) ? ? f (m ? 2) ? f (m ? 5) ,故 f (x) 是周期为 6 的
周期函数。 再令 y ? ? x 得 f ( x) ? f (? x) ? 4 f (0) f ( x) ? 2 f ( x) ? f (? x) ? f ( x) 故 f (x) 是偶函数,则 f (?2011) ? f (2011) ? f (335 ? 6 ? 1) ? f (1) ?

1 4

2 45.已知二次函数 f ( x) ? x ? x ? k , k ? Z ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 在 ? ?1, ? 上有两个不

? ?

3? 2?

同的零点,则

[ f ( x)]2 ? 2 的最小值为 f ( x)



81 28

9 ? k? ?? ? 0 ? ? ? 4 ?? 解析: g ( x) ? x 2 ? x ? k ? 2 满足 ? 3 ,又 k ? Z ,故 k ? 2 5 f( )?0 ? ? 2 ? ?k ? 4 ?
1 7 7 [ f ( x)]2 ? 2 2 7 8 81 f ( x) ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? ) 2 ? ? , ? ? ? = f ( x) ? 2 4 4 f ( x) 4 7 28 f ( x)
46. 定义在 ( ?1,1) 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ) ? f ( y ) ? f (
x? y ) , x ? (?,0 1) 当 1 ? xy

时, f ( x) ? 0 , 有

1 1 1 1 ) n≥ 2, n ? N * ,则实数 m 与-1 且 f (? ) ? 1.设 m ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( 2 2 5 11 n ? n ?1 的大小关系为 . x? y ) , x ? y ? 0 得 f(0)=0; x=0 得 ? f ( y ) ? f (? y ) . 提示: 函数 f(x)满足 f ( x) ? f ( y) ? f ( ∵ 令 令 1 ? xy
) ? ∴f ( x) 在 ( ?1,1) 为奇函数, 单调减函数且在 (?1,0) 时,f ( x) ? 0 , (0, 时 f ( x 0 . 则在 1) 又

1 f ( ) ? ?1 , 2
1 1 ? 1 1 1 1 ∵f ( 2 )? f( ) ? f ( n n ?1 ) ? f ( ) ? f ( ), 1 1 n ? n ?1 n(n ? 1) ? 1 n n ?1 1? ? n n ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 m ? f ( ) ? f ( ) ?? ? f ( 2 ) ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f ( ) ? f ( )] 5 11 n ? n ?1 2 3 3 4 n n ?1 1 1 1 ? f ( )? f ( ) ? ?1 ? f ( ) ? ?1 2 n ?1 n ?1
2 2 47. 已知 f ( x) ? x ? 4 ? x ? kx ,若 f (x) 在(0,4)上有两个不同的零点 x1 , x2 ,则 k 的取

值范围是__________ (?7,?2)
2 2 2 解 析 : 数 形 结 合 , x ? 4 ? ?( x ? kx ) 在 (0,4) 上 有 两 个 交 点 , 令 f ( x) ?| x ? 4 | ,

k k2 g ( x) ? ?( x 2 ? kx) ? ?( x ? ) 2 ? ,则 f (4) ? g (4) ? k ? ?7 ; 2 4
f (2) ? g (2) ? k ? ?2
48. (2010-2011 徐州市高三第一次质量检测)已知函数

f ( x) ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x ? 2011 ( x ? R ) ,
且 f (a 2 ? 3a ? 2) ? f (a ? 1) ,则满足条件的所有整数 a 的和是
2

6

解析:根据绝对值的几何意义,对 a ? 3a ? 2 和 a ? 1 分三类讨论:

??1 ? a 2 ? 3a ? 2 ? 1 (1) ? 解得: a ? 1, a ? 2 ??1 ? a ? 1 ? 1
2 (2) a ? 3a ? 2 ? a ? 1 解得: a ? 1 或 a ? 3

2 (3) (a ? 3a ? 2) ? (a ?1) ? 0 解得: a ? 1

故所有和为 1+2+3=6 49.设函数 f ( x) ? e ? sin x, g ( x ) ?
x

1 x. 若存在 x1 , x 2 ? [0,??) 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立 3

则 x 2 ? x1 的最小值是

3

解法一:

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? e x1 ? sin x1 ?

1 x2 ,则 x2 ? x1 ? 3(ex1 ? sin x1 ) ? x1 3

只要求 h( x) ? 3(e x ? sin x) ? x ( x ? 0 )的最小值即可. 解法二:数形结合,即函数 f ( x ) 与 g ( x) 水平差最小


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