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向量题带答案


向量练习题 1.已知非零向量 a、b 满足|a+b|=|a-b|且 3a2 ? b2 , 则a与b-a 的夹角为 A. 答案 A 2.已知 | OA |?| OB |? 2 ,点 C 在线段 AB 上,且 | OC | 的最小值为 1,则 | OA ? tOB | (t ? R) 的最小值为 A. 答案:B 3.已知向量 OA ? (cos ? ,sin ? ) , 把向量 OA

绕坐标原点 O 按逆时针方向旋围θ 角得到向 量 OB(0? ? ? ? 90?) ,则下列说法不正确 的为 ... A. | OA ? OB |?| OA ? OB | C. (OA ? OB) ? (OA ? OB) 影相等 答案 A 4.设非零向量 a, b, c 满足 | a |?| b |?| c |, a ? b ? c, 则a, b 的夹角为 A.150° 答案 B B.120° C.60° D.30° ( ) B. | OA | ? | OB |?| OA ? OB | D.OA 、OB 在 OA ? OB 方向上的投 ( ( D. )

2? 3

B.

? 3

C.

5? 6

? 6

2

B. 3

C. 2

D. 5



5.已知 | OA |? 1,| OB |? 3, OA ? OB ? 0, 点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设

O C? m O A ?
A.

m nO ( B , m ? n )则 ,R = n
B. 3 C.





3 3

1 3

D.3

答案 B 6. 已 知 ?ABC 为 等 边 三 角 形 ,AB=2, 设 点 P,Q 满 足 AP ? ? AB , AQ ? (1 ? ? ) AC 3 ? ? R , 若 BQ ? CP ? ? , 则? ? 2 1 A. B. 1 ? 2 C 1 ? 10 D. ? 3 ? 2 2 2 2 2 2 .
1

答案:A 7.设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,由 O 向边 BC, CA, AB 引垂线,垂足分别是 D, E, F , 给出下列命题: ① OA ? OB ? OC ? 0 ;② OD ? OE ? OF ? 0 ;③ | OD | : | OE | : | OF | = cos A : cos B :

cos C ;④ ?? ? R ,使得 AD ? ? (

AB AB sin B

?

AC AC sin C

) .以上命题正确的个数是

A.1 B.2 C.3 D.4; 答案:B 提示③④正确画出圆,利用圆周角和圆心角之间的关系解决 8.若 O 在 ?ABC 所在的平面内: OA ? (

AC AB BC BA ? ) ? OB ? ( ? ) | AC | | AB | | BC | | BA |
) D.外心

? OC ? (

CA CB ? ) ? 0 ,则 O 是 ?ABC 的 ( | CA | | CB |
B.重心

A.垂心 答案 C

C.内心

9. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 1,圆心为 O,且 3OA ? 4OB ? 5OC ? 0 ,则 OC ? AB 的值为

A. ?

1 5

B.

1 5

C. ?

6 5

D.

6 5

答案 A 10.已知圆 O 的半径为 3,直径 AB 上一点 D 使 AB ? 3 AD , E、F 为另一直径的两个端 点,则 DE ? DF ? ( A. ?3 答案 C ) B . ?4 C. ?8 D. ?6

11.已知 P 为边长为 2 的正方形 ABCD 及其内部一动点,若 ?PAB, ?PBC 面积均不大于 1 , 则 AP ? BP 取值范围是( A. ? , ? ) B. ?? 1,2 ? C. ? 0, ? 2

?1 3 ? ?2 2 ?

? ?

1? ?

D. ?? 1,1?

2

答案 D 12.在 ?ABC 中,AC=6,BC=7, cos A ?

1 ,O 是 ?ABC 的内心,若 OP ? xOA ? yOB ,其中 5

0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 ,动点 P 的轨迹所覆盖的面积为_____
A.

10 6 3

B.

5 6 3

C.

10 3

D.

20 3

答案 A 提示三角形 ABO 的面积 13. 如图, 在 ?ABC 中, 延长 CB 到 D, 使A | BA |?| BC | , C ? A D 则 ? ? ? 的值是 A.1 答案 B B.3 C.-1

A D ,若 A B ?? A C
( D.2

??




14.若点 M 是△ABC 所在平面内一点, 且满足 AM ? 的面积之比为 A. 答案 A

3 1 AB ? AC , 则△ABM 与△ABC 4 4
( )

1 4

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 5

15 定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a, b ? ,则关于空间向量上述运算的 以下结论中, ① a ? b ? b ? a ,② ? (a ? b) ? (?a) ? b ,③ (a ? b) ? c ? (a ? c) ? (b ? c) ,④ 若

a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b ? x1 y2 ? x2 y1 .恒成立的有_____
A.1 个 答案 C 提示 1,3,4 对 16.下列命题中,正确的是( ) B.2 个 C.3 个 D.4 个

(1)平面向量 a 与 b 的夹角为 600 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?

?

?

?

?

?

?

7

(2)在 ?ABC中,A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 a cos C , b cos B, c cos A 成等差数列则

3

B?
(3)

?
3 O


?ABC

















,





P



足: OP ? OA ? ? ?

? AB AC ? , ? ? ? 0, ?? ? ,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心 ? ? sin C sin B ? ? ? ? ? ? x ? ? x? x ? 0 其 中 ? x? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 f ( x ? 1) x<0 ? ?
f ( x) ? 1 1 x ? 不同零点的个数 2 个 4 4
2

(4) 设 函 数 f ( x) ? ?

? ?1.3? =-2, ?1.3? =1,则函数 y ?
答案(1) (2) (3)

17.若在直线上存在不同的三点 A、B、C,使得关于 x 的方程 x OA ? xOB ? OC ? 0 有解 (点 O 不在直线上) ,则此方程的解集为( A. ? ) B.{一 1,0}

C.{-1} 答案 A 18. 已 知 三 个 向 量 m ? ( a, cos

D. ?

? ? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? , ? 2 ? ? ? 2 ?

A B C ) , n ? (b, cos ) , p ? (c, cos ) 共 线 , 其 中 2 2 2
)

a, b, c, A, B, C 分别是 ?ABC 的三条边和三个角,则 ?ABC 的形状是(
A.等腰三角形 答案 B B.等边三角形 C.直角三角形

D.等腰直角三角形

19. 已知点 F ? 0,1? ,直, P 为平面上的动点,过点 P 作直线的垂线,垂足为 Q ,且 ,动点 P 的轨迹为 C ,已知圆 M 过定点 D ? 0,2 ? ,圆心 M 在轨迹 C 上 QP QF ? FP FQ 运动, 且圆 M 与 x 轴交于 A 、B 两点, 设 DA ? l1 , DB ? l2 , 则 A. 2 答案 C 20. 已 知 向 量 AB与AC 的 夹 角 为 135? , AC ? (1, ?1) , 则 向 量 AC在 BA上 的 投 影
4

l1 l2 ? 的最大值为( l2 l1
D. 3 2

)

B. 3

C. 2 2

为 答案 1



21.在△ABC 中, AB ? BC ? 3 ,△ABC 的面积 S ? [ 围是 答案 ? 。

3 3 , ], 则 AB与BC 夹角的取值范 2 2

?? ? ? , ?6 4? ?

22. 已 知 直 线 x ? y ? m ? 0 与 圆 x2 ? y 2 ? 2 交 于 不 同 的 两 点 A 、 B , O 是 坐 标 原 点, OA ? OB ? AB ,那么实数 m 的取值范围是________.

? 2? 答案: ?2, ?

?

? 2, ? 2

?
1

23.已知△ABC 中, 点 D 是 BC 的中点, 过点 D 的直线分别交直线 AB 、AC 于 E 、F 两 点,若 AB ? ? AE (? ? 0) , AC ? ? AF (? ? 0) ,则

?

?

4

?

的最小值是_____

答案:

9 2
2 1 NC ,P 是 BN 上的一点,若 AP = m AB + AC ,则实数 m 的值为 3 11

24.在△ABC 中, AN = ___________. 答案

3 11

25. 已 知 O 为 锐 角 △ ABC 的 外 心 , AB ? 6, AC ? 10 若 AO = x AB + y AC , 且

2 x ? 10y ? 5 ,则 cos ?BAC 的值是________
答案

1 提示建立坐标系计算,以 AC 所在直线为 X 轴,A 为原点。 3
, OA ? OB ? 0 , 则 3,| OC ? | 1

、 OB、 OC , 满足 | OA |? 1 26. 平面上三个向量 OA , | OB |? CA ? CB 的最大值是___.
答案 3
5

27.如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E,使得 DE=CD.若动点 P 从点 A 出发,沿正方形 的边按逆时针方向运动一周回到 A 点 ,其中 AP ? ? AB ? ? AE , 则 ? ? ? 的最大值为 _______. 答案 2 ? 2

28. 在 Δ ABC 中 , ? B =600,O 为 Δ ABC 的 外 心 ,P 为 劣 弧 AC 上 一 动 点 , 且

OP ? xOA ? yOC (x,y∈ R) ,则 x+y 的取值范围为 _____
答案 ? ?2, 2? 29.在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 BC 的中点,若 F 为该矩形内(含边界)任意一点,则 AE. AF 的最大值为______ 答案 5 30. 已 知 向 量 a, b, c, d 满 足 : | a |? 1,| b |?

2 , b 在 a 上 的 投 影 为

1 , (a ? c) (b ? c) ? 0 , | d ? c |? 1 ,则 | d | 的最大值为____. 2
答案 2 ? 31.

2 2

?0 ? x ? 2 ? ?y ? 2 ? x ? 2y 27.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? 给定. 若 M ( x, y ) 为
D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为
6

.

答案 4 提示利用 OM 的射影最大。 32. 已知非零向量 a , b 满足 | a ? b |?| a ? b |? __________. 答案 60
0

2 3 | a | ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3

33.△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 AB ? AC ? 2AO ,且 | AC |?| AO | ,则向 量 BA 在 BC 方向上的投影是_____ 答案

3 2

,? 为 实 34. 设 两个向量 a ? (? ? 2,? 2 ? cos2 ? ) 和 b ? ? m, ? sin ? ? ,其中 ?,m
r r

r

r

? ?

m 2

? ?

数.若 a ? 2b ,则 答案 ? ?6,1?

? 的取值范围是 m

提示消去 ? ,变为 ? 2m ? 2 ? ? m ? ? ? sin ? ? 1? ? 2 ? ? ?2, 2? ,解出
2 2

?
m

1 ?m?2 4

? 2?

2 ? ? ?6,1? m

35.已知在三角形 ABC 中,AB=2,AC=3,∠BAC=θ ,若 D 为 BC 的三等分点〔靠近点 B 一侧). 则 的取值范围为____.

答案 ? ? , ? 3 3

? 5 7? ? ?

7


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