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广东省江门市新会一中2013届高三第一学期第二次检测理科数学试题


广东省江门市新会一中 2013 届高三第一学期第二次检测 理科数学试题
第一部分 选择题(共 40 分)

一. 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

{ 1.集合 M ? y y ?
A.2 个

8 , x , y ? N} 的元素个数是( x?3
B.4 个 ) C.6 个

) D.8 个

2.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e x0 ? 0

B. ?x ? R,2 ? x
x

2

a ? ?1 D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件 b ? 3.将函数 y ? sin 4 x 的图象向左平移 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象,则 ? =( ) 12 ? ? ? ? A. ? B. ? C. D. 3 12 12 3
C. a ? b ? 0 的充要条件是 4.函数 f (x)=2 x +x 3 ? 2 在区间 (0,1) 内的零点个数是( ) A.0 B.1 C.2
? 1 2

D.3 ,则( ) C. z ? y ? x D. y ? z ? x

5.已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e A. x ? y ? z

B. z ? x ? y

6.如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P ,则点 P 恰好取自阴影部分的概 率为( ) A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7


7.设函数 D( x ) ? ?

?1, x为有理数 ?0, x为无理数

,则下列关于 D (x ) 的结论错误的是(

A.值域为 {0,1} 8. 函 数

B.偶函数

C.不是周期函数

D.不是单调函数

f (x ) 在 [a , b] 上 有 定 义 , 若 对 任 意 x1 , x2 ? [a, b] , 有

f(

x1 ? x 2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x 2 )] ,则称 f (x ) 在 [a , b] 上具有性质 P 。设 f (x ) 在[1,3] 2 2

上具有性质 P ,现给出如下命题: ① f (x ) 在 [1,3] 上的图像时连续不断的; ② f ( x 2 ) 在 [1, 3] 上具有性质 P ;

③若 f (x ) 在 x ? 2 处取得最大值 1,则 f ( x ) ? 1 , x ? [1,3] ; ④ 对 任 意

x1 , x2 , x3 , x4 ? [1,3]





f(

x1 ? x2 ? x3 ? x 4 1 ) [ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x3 ) ? f ( x 4 )]。其中真命题的序号是( ? 4 4
A.①② B.①③ C.②④ D.③④



第二部分

非选择题(共 110 分)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.函数 f ? x ? ?

1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln ? x ? 1?
x

. . .

10. y ? (log1 a) 在 R 上为减函数,则 a 的取值范围是
2

11.当函数 y ? sin x ? 3 cos x(0 ? x ? 2? ) 取得最大值时, x ?

12 . 已 知 F ( x) ? f ( x) ? x 2 是 奇 函 数 , 且 f (1) ? 1 , 若 g ( x) ? f ( x) ? 2 , 则

g (?1) ?

. .

13.已知函数 f ( x) ? x( x ? c) 2 在 x ? 2 处有极大值,则 c ?

14.已知函数 f ( x) ? e| x?a| ( a 为常数).若 f (x) 在区间 [1,??) 上是增函数,则 a 的取值范 围是 .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? 图像相邻两条对称轴之间的距离为

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

? , 2

(1)求函数 f ( x ) 的解析式和当 x ? [0, ? ] 时 f ( x ) 的单调减区间; (2)设 ? ? (0,

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

16. (本小题满分 12 分) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获 胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为 次投篮投中的概率为

1 ,乙每 3

1 ,且各次投篮互不影响. 2

(Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望.

17. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD ,

P

AC 丄 AD , AB 丄 BC , ?BAC ? 45? , PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)设 E 为棱 PA 上的点,满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 30 0 ,求 AE 的长.
B A C

18.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? a x ? ln x, (a为常数) . (1)当 a ? 5 时,求 f (x) 的极值; (2)若 f (x) 为增函数,求实数 a 的取值范围.

D

19. (本题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x4 ? ax3 ? 2x2 ? b( x ?R) ,其中 a,b ? R . (Ⅰ)若函数 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若对于任意的 a ?? ?2, ,不等式 f ( x) ? 1 在 x ? ??11? 恒成立,求 b 的取值范围. 2? ,

20. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? e ? ax ? ex, a ? R
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f (x ) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y ? f (x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的 切线与曲线只有一个公共点 P 。

参考答案
ADCB DCCD 10. ( ,1) ;

9. x ? 1 ? x ? 2且x ? 0 ; { } 13. 6 ; 14.

1 2

11.

5? ; 6

12. ? 1

(??,1]

15.解: (Ⅰ)∵函数 f ? x ? 的最大值是 3, ∴ A ? 1 ? 3 ,即 A ? 2 ∵ ∴ 函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 最小正周期 T ? ? ,∴ ? ? 2 ------1 分

? , 2
------3 分 ------4 分

) ?1 。 6 ? ? 3? ? 2k? , k ? Z 令 ? 2k? ? 2 x ? ? 2 6 2 ? 5? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z 即 3 6
∵ x ? [0, ? ] ∴ f ? x ? 的单调减区间为 [

所以 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?

? 5?
3 , 6

] ····· ····

------8 分

(Ⅱ)∵ f ( ) ? 2sin(? ?

?

?
6

2

) ?1 ? 2 ,
------9 分

即 sin(? ? ∵0 ?? ? ∴? ?

?
6

)?

?
2

,∴ ?

?

1 , 2 ?? ?

?
6

?
6

?

?
6

6

?

?
3

, ------12 分

,故 ? ?

?
3



16.解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概 率计算公式知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 A3

?

? ?

?

? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3
1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27
(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P A1 B1 ? ------5 分

2

2

?

?

1 2 1 2 ? ? ? 3 3 2 3
2 2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 ?2? ?1? 1 P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 2? 9
综上知, ? 有分布列

?

? ? ?

?
2

?

2

?
P

1

2

3

2 3

2 9

1 9
------9 分

2 2 1 13 从而, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? (次) 3 9 9 9 13 13 答:甲获胜的概率为 ;甲的投篮次数的期望为 次。 27 9
17. (1)以 AD, AC, AP 为 x, y, z 正半轴方向,建立空间直角左边系 A ? xyz 则 D(2, 0, 0), C (0,1, 0), B(?

------11 分 ------12 分

???? ??? ??? ? ?

1 1 , , 0), P(0, 0, 2) 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? PC ? (0,1, ?2), AD ? (2,0,0) ? PC?AD ? 0 ? PC ? AD

------4 分

(2) PC ? (0,1, ?2), CD ? (2, ?1,0) ,设平面 PCD 的法向量 n ? ( x, y, z)

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ?n?PC ? 0 ? y ? 2z ? 0 ? y ? 2z ? ?? ?? 则 ? ? ??? 取 z ? 1 ? n ? (1, 2,1) ? ?2 x ? y ? 0 ? x?z ? n? ? 0 ? CD

??? ? AD ? (2,0,0) 是平面 PAC 的法向量 ???? ? ???? ? ???? ? AD?n 6 30 cos ? AD, n ?? ???? ? ? ? sin ? AD, n ?? 6 6 AD n

30 ------9 分 6 ??? ? 1 1 ??? ? ??? ? (3)设 AE ? h ?[0, 2] ;则 AE ? (0,0, 2) , BE ? ( , ? , h), CD ? (2, ?1, 0) 2 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? B E? C D 3 3 10 10 c o s B E ,C D ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?h ? 即 AE ? 2 10 10 BE CD 1 0? 2 h2 0
得:二面角 A ? PC ? D 的正弦值为 ------14 分

18.解:函数 y ? f (x) 的定义域为 (0, ?) , ? 分 (1) 当 a ? 5 时, f ?( x) ? 令 ------3 分

------1

2 x ? 5 x ? 2 (2 x ? 1)( x ? 2) ? 2x 2x


f ?( x) ? 0

x?

1 4

,



x?4

f ?(x ) , f (x) 随 x 的变化情况如下表

x
f ?(x )
f (x)

1 (0, ) 4

1 4

1 ( ,) 4 4
__

4

(4, ?) ?

?
递增

0
? 9 ? ln 4 4 1 4

0
? 6 ? ln 4

?
递增

递减

由上表可得函数的极大值为 f( )? ? ------7 分 (2) 由题意得 f ?( x) ? 1 ?

9 ? ln 4 , 极 小 值 为 f (4) ? ? 6 ? ln 4 . 4

a 2 x

?

1 2x ? a x ? 2 ? ? ? 0 在区间 (0, ?) 恒成立, ----8 分 x 2x

即 2 x ? a x ? 2 ? 0 在区间 (0, ?) 恒成立, ? ∴ ----10 分 ∵ x?

a ? 2( x ?

1 x

)







(0, ?) ?







.

1 x

?2

x?

1 x

? 2 ,当且仅当 x ?

1 x

, 即 x ? 1 时等号成立.

∴ a ? 2( x ? 分

1 x

) min =4

----13

所以 a 的取值范围是 - ?, . ( 4] 分 19. (Ⅰ)解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) , 分 显然 x ? 0 不是方程 4 x 2 ? 3ax ? 4 ? 0 的根.
2 为使 f ( x ) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 成立,

----14

------1

------3 分

即有 ? ? 9a 2 ? 64 ? 0 .

8 8 ?a? . 3 3 8 8 所以 a 的取值范围是 [? , ] . 3 3
解得 ?

------6 分

2 2 (Ⅱ)由条件 a ? [?2, 2] ,可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.------8

分 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x ) 在 [?1,1] 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 分 为使对任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f ( x) ? 1 在 [?1,1] 上恒成立, ------11

当且仅当 ? 分

? f (1) ? 1 ?b ? ?2 ? a ,即 ? 在 a ? [?2, 2] 上恒成立. ? f (?1) ? 1 ?b ? ?2 ? a

------13

所以 b ? ?4 ,因此满足条件的 b 的取值范围是 (??, ?4] . 分

------14

20.解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? ax ? ex ? f ?( x) ? e ? 2ax ? e
x 2 x

------1 分 ------2 分

由题意得: f ?(1) ? e ? 2a ? e ? 0 ? a ? 0

x f ?( x)? e ? e 0 ? ? ? 1,? f (? ) ? ? x x x 0

1
------4

得:函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (??,1) 分

(Ⅱ)设 P( x0 , f ( x0 )) ; 则过切点 P 的切线方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ------5 分 令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ;则 g ( x0 ) ? 0 切线与曲线只有一个公共点 P ? g ( x) ? 0 只有一个根 x0

g?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? ex ? ex0 ? 2a( x ? x0 ) ,且 g ?( x0 ) ? 0
(1)当 a ? 0 时, g?( x) ? 0 ? x ? x0 , g ?( x) ? 0 ? x ? x0 得:当且仅当 x ? x0 时, g ( x)min ? g ( x0 ) ? 0 由 x0 的任意性, a ? 0 不符合条件 (2)当 a ? 0 时,令

-----6 分

------8 分

h( x) ? ex ? ex0 ? 2a( x ? x0 ) ? h?( x) ? ex ? 2a ? 0 ? x ? x? ? ln(?2a)
①当 x? ? x0 时, h?( x) ? 0 ? x ? x0 , h?( x) ? 0 ? x ? x0 当且仅当 x ? x0 时, g ?( x) ? g ?( x0 ) ? 0 ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增

? g ( x) ? 0 只有一个根 x0
------10 分 ②当 x? ? x0 时, h?( x) ? 0 ? x ? x?, h?( x) ? 0 ? x ? x? 得: g?( x?) ? g?( x0 ) ? 0 ,又 x ? ??, g ?( x) ? ??, x ? ??, g ?( x) ? ?? 存在两个数 x0 ? x?? 使, g?( x0 ) ? g ?( x??) ? 0 得: g ?( x) ? 0 ? x0 ? x ? x?? ? g ( x??) ? g ( x0 ) ? 0 又 x ? ??, g ?( x) ? ?? 存在 x1 ? x?? 使 g ( x??) ? 0 ,与条件不符。 分 ③当 x? ? x0 时,同理可证,与条件不符 分 ------13 ------12

从上得:当 a ? 0 时,存在唯一的点 P(ln(?2a), f (ln(?2a)) 使该点处的切线与曲线只 有一个公共点 P ------14 分


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