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2011全国高中数学竞赛讲义15-不等式的应用


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§15 不等式的应用
1.排序不等式(又称排序原理) 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an 及 b1 ? b2 ? ? ? bn . 则 a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn (同序和)

? a1b j1 ?

a2b j 2 ? ? ? an b jn (乱序和)
? a1bn ? a2bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其 中 j1 , j2 ,?, jn 是 1 , 2 , … , n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 ? a2 ? ? ? an 或

b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号(对任一排列 j1 , j2 ,?, jn )成立.
2.应用排序不等式可证明“平均不等式” : 设有 n 个正数 a1 , a2 ,?, an 的算术平均数和几何平均数分别是

An ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n 和Gn ? n a1 a 2 ? a n n

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到

Hn ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an



和平方平均(在统计学及误差分析中用到)

Qn ?

2 2 a12 ? a2 ? ? ? an n

* 这四个平均值有以下关系 H n ? Gn ? An ? Qn . ○

3.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设 a1 、 a2 、 a3 ,…, an 是任意实数,则
2 2 2 2 (a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn ) 2 ? (a12 ? a2 ? ? ? an )(b12 ? b2 ? ? ? bn ).

等号当且仅当 bi ? kai (k 为常数, i ? 1,2, ?, n) 时成立. 4.利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , 则

a1b1 ? a 2 b2 ? ? ? a n bn a1 ? a 2 ? ? ? a n b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? . n n n

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例题讲解
. 1. a, b, c ? 0, 求证: ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

2. a, b, c ? 0 ,求证: a b c ? (abc)
a b c

a ?b ? c 3

.

3.: a, b, c ? R ? , 求证a ? b ? c ?

a 2 ? b 2 b 2 ? c 2 c 2 ? a 2 a 3 b3 c3 ? ? ? ? ? . 2c 2a 2b bc ca ab

4.设 a1 , a2 ,?, an ? N * ,且各不相同,

求证: 1 ? ? ? ? ?

1 2

1 3

1 a a3 a ? a1 ? 2 ? 2 ? ? ? n . . 2 n 2 3 n2

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5.利用基本不等式证明 a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca.

6.已知 a ? b ? 1, a, b ? 0, 求证: a ? b ?
4 4

1 . 8

7.利用排序不等式证明 Gn ? An

8.证明:对于任意正整数 R,有 (1 ?

1 n 1 n ?1 ) ? (1 ? ) . n n ?1

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1 1 1 9.n 为正整数,证明: n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? n ? (n ? 1)n n ?1 . 2 3 n

1 n

?1

例题答案:
1. 证明:?

ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6abc

? a(b 2 ? c 2 ? 2bc) ? b(a 2 ? c 2 ? 2ac) ? c(a 2 ? b 2 ? 2ab) ? a(b ? c) 2 ? b(c ? a) 2 ? c(a ? b) 2 ?0
? ab(a ? b) ? bc(b ? c) ? ca(c ? a) ? 6a b .c
评述: (1)本题所证不等式为对称式(任意互换两个字母,不等式不变) ,在因式分解 或配方时,往往采用轮换技巧.再如证明 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca 时,可将 a ? b
2 2 2 2 2

1 ? (ab ? bc ? ca) 配方为 [( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a ) 2 ] ,亦可利用 a 2 ? b 2 ? 2ab, 2

b 2 ? c 2 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ,3 式相加证明.(2)本题亦可连用两次基本不等式
获证.
2.分析:显然不等式两边为正,且是指数式,故尝试用商较法. 不等式关于 a, b, c 对称,不妨 a ? b ? c,则a ? b, b ? c, a ? c ? R ? ,且

a b , , b c

a 都大于等于 1. c

a abbc c (abc)
a ?b ? c 3

?a

2 a ?b ? c 3

b

2b ? a ?c 3

c

2 c ? a ?b 3

?a

a ?b 3

?a

a ?c 3

?b

b?a 3

?b

b ?c 3

?c

c ?a 3

?c

c ?b 3

a ?( ) b

a ?b 3

b ?( ) c

b ?c 3

a ?( ) c

a ?c 3

? 1.

评述: (1)证明对称不等式时,不妨假定 n 个字母的大小顺序,可方便解题. ( 2 ) 本 题 可 作 如 下 推 广 : 若 ai ? 0(i ? 1,2,?, n),则a1 1 a2 2 ?an
a a an

?

(a1a2 ?an )

a1 ? a2 ??? an n

.
a b b a

(3)本题还可用其他方法得证。因 a b ? a b ,同理 b b c c ? b c c b , c c a a ? c a a c ,

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另 a b c ? a b c ,4 式相乘即得证.
a b c a b c

(4)设 a ? b ? c ? 0, 则lg a ? lg b ? lg c. 例 3 等价于 a lg a ? b lg b ? a lg b ? b lg a, 类似例 4 可证 a lg a ? b lg b ? c lg c ? a lg b ? b lg c ? c lg a ? a lg c ? b lg b ? c lg a. 事实上,一般地 有排序不等式(排序原理) : 设有两个有序数组 a1 ? a2 ? ? ? an , b1 ? b2 ? ? ? bn , a1b1 ? a2 b2 ? ? ? an bn(顺 则 序和)

? a1b j1 ? a2b j2 ? ? ? an b jn (乱序和)
? a1bn ? a1bn?1 ? ? ? an b1 (逆序和)
其 中 j1 , j2 ,?, jn是1,2,?, n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a1 ? a2 ? ? ? an 或

b1 ? b2 ? ? ? bn 时等号成立.
排序不等式应用较为广泛(其证明略) ,它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序 数组的积的形式.如

a, b, c ? R ?时, a 3 ? b3 ? c 3 ? a 2b ? b 2 c ? c 2 a ? a 2 ? a ? b 2 ? b ? c 2 ? c
? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a;
. 3.思路分析:中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明.

a2 b2 c2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? a ? b ? c ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? ? a2 ? ? b2 ? ? c2 ? b c a b c a a b c

1 1 1 1 1 1 ? ? ,则 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (乱序和) c b a c a b 1 1 1 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? ( 逆 序 和 ), 同 理 a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? ( 乱 序 和 ) a b c c a b 1 1 1 ? a 2 ? ? b 2 ? ? c 2 ? (逆序和)两式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数 a b c 1 1 1 3 3 3 ? ? 组a ? b ? c 及 ,仿上可证第二个不等式. bc ac ab
不妨设 a ? b ? c, 则a ? b ? c ,
2 2 2

4.分析:不等式右边各项

ai 1 ? ai ? 2 ;可理解为两数之积,尝试用排序不等式. 2 i i

设 b1 , b2 ,?, bn是a1 , a2 ,?, an 的重新排列,满足 b1 ? b2 ? ? ? bn , 又1 ?

1 1 1 ? 2 ??? 2 . 2 2 3 n

a b b a 2 a3 b ? 2 ? ? ? n ? b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .由于 b1 , b2 ,?bn 是互不相同的正整 2 2 2 n 2 3 2 3 n2 b b b 1 1 数,故 b1 ? 1, b2 ? 2,?, bn ? n. 从而 b1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 ? ? ? ? ,原式得证. 2 2 2 2 n 2 3 n
所以 a1 ?

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评述:排序不等式应用广泛,例如可证我们熟悉的基本不等式, a 2 ? b 2 ? a ? b ? b ? a,

a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2 ? b ? b 2 ? c ? c 2 ? a ? a ? ab ? b ? bc ? c ? ca ? a ? bc ? b ? ac ? c ? ab ? 3abc.
5.思路分析:左边三项直接用基本不等式显然不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方 .. 法.

a 2 ? b 2 ? 2ab,同理b 2 ? c 3 ? 2bc, c 2 ? a 2 ? 2ca ;三式相加再除以 2 即得证.
评述: (1)利用基本不等式时,除了本题的轮换外,一般还须掌握添项、连用等技巧. 如
2 x2 x12 x2 ? ? ? ? n ? x1 ? x2 ? ? ? xn , 可 在 不 等 式 两 边 同 时 加 上 x 2 x3 x1

x2 ? x3 ? ? ? xn ? x1.
再如证 (a ? 1)(b ? 1)(a ? c) 3 (b ? c) 3 ? 256a 2 b 2 c 3 (a, b, c ? 0) 时,可连续使用基本不 等式.

a ? b 2 a2 ? b2 ) ? (2)基本不等式有各种变式 如 ( 等.但其本质特征不等式两边的次数及 2 2
系数是相等的.如上式左右两边次数均为 2,系数和为 1. 6. 思路分析:不等式左边是 a 、 b 的 4 次式,右边为常数

1 ,如何也转化为 a 、 b 的 4 次 8

式呢. 要证 a ? b ?
4 4

1 1 , 即证 a 4 ? b 4 ? (a ? b) 4 . 8 8
3 3

评述: (1)本题方法具有一定的普遍性.如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 1, xi ? 0, 求证: x1 ? x 2

1 1 1 3 3 求证: 1 x2 ? x2 x3 x ? x3 ? . 右侧的 可理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) . 再如已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , 3 3 3
+ x3 x1 ? 0 ,此处可以把 0 理解为 ( x1 ? x 2 ? x3 ) ,当然本题另有简使证法.
2

3 8

(2)基本不等式实际上是均值不等式的特例.(一般地,对于 n 个正数 a1 , a2 ,?an ) 调和平均 H n ?

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

几何平均 Gn ? n a1 ?a 2 ?an 算术平均 An ?

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

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2 2 a12 ? a2 ? ? ? an 平方平均 Qn ? 2

这 四 个 平 均 值 有 以 下 关 系 : H n ? Gn ? An ? Qn , 其 中 等 号 当 且 仅 当

a1 ? a2 ? ? ? an 时成立.
7. 证明: 令 bi ?

ai , (i ? 1,2,?, n) 则 b1b2 ?bn ? 1 ,故可取 x1 , x2 ,? xn ? 0 ,使得 Gn

b1 ?

x x x1 x , b2 ? 2 ,?, bn?1 ? n?1 , bn ? n 由排序不等式有: x2 x3 xn x1

b1 ? b2 ? ? ? bn
=

x x1 x2 ? ? ? ? n (乱序和) x 2 x3 x1
1 1 1 ? x2 ? ? ? ? xn ? (逆序和) x1 x2 xn

? x1 ?
=n,

?

a a ? a2 ? ? ? an a1 a2 ? ? ? ? n ? n,即 1 ? Gn . Gn Gn Gn n
1 1 1 , , ?, 各数利用算术平均大于等于几何平均即可得, Gn ? An . a1 a 2 an

评述:对

8.

分析:原不等式等价于 n?1 (1 ? ) ? 1 ?
n

1 n

1 ,故可设法使其左边转化为 n 个数的几何 n ?1

平均,而右边为其算术平均.
n ?1

1 1 1 1 1 n?2 1 (1 ? ) n ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? 1 ? ?1? . n ?1 n n ? n ? n ?1 n ?1 ??? ??n ? ??? ??n ?
n个 n ?1

评述:(1)利用均值不等式证明不等式的关键是通过分拆和转化,使其两边与均值不等 式形式相近.类似可证 (1 ?

1 n ?1 1 n?2 ) ? (1 ? ) . n n ?1

(2)本题亦可通过逐项展开并比较对应项的大小而获证,但较繁. 9.证明:先证左边不等式

1 1 1 n[(1 ? n) ? 1] ? 1 ? ? ? ? ? ? (1 ? n) n ? 1 ? 2 3 n

1 n

1

1?

1 1 1 ? ??? 2 3 n n

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1 1 1 ? ??? ? n 2 3 n ? (1 ? n) ? n 1 1 1 (1 ? 1) ? ( ? 1) ? ( ? 1) ? ? ? ( ? 1) 1 2 3 n ? (1 ? n) n ? n 3 4 n ?1 2 ? ? ??? 2 3 n ? n 1? n ? (*) n
1 n

1?

2?

3 4 n ?1 ? ??? 2 3 n ? n 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? 1 ? n n ? 1. n 2 3 n

? (*)式成立,故原左边不等式成立.
其次证右边不等式
? 1 1 1 ? ? ? ? ? n ? (n ? 1) ? n n?1 2 3 n 1

1?

?n

?

1 n ?1

?

n ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 ? ??? ) (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ? (1 ? ) 1 2 3 n ? n ?1 ? 2 3 n n ?1 n n ?1

1 2 n ?1 ? ??? 1 n ? n ?1 ? 2 3 n n ?1

(**)

(**)式恰符合均值不等式,故原不等式右边不等号成立.

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